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2013珠海二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


珠海市 2013 年 5 月高三综合试题(二) 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? ? x ? 2}, B ? {x | ? x ? 0} ,则 A ? B 等于( A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? ?1} ) D. {x | ?1 ? x ? 0}

C. {x | ?2 ? x ? 0}

4 ? 3i 的虚部为( ) i A. ?4 B. ?4i C. 4 D. 4i ? ? ? ? ? ? 3.已知非零向量 a , b 满足 a ? b ,则函数 f ? x ? ? ax ? b
2.设 i 为虚数单位,则复数

?

? ? x ? R? 是(
2



A. 偶函数

B. 奇函数

C. 既是奇函数又是偶函数
2

D. 非奇非偶函数 )

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) ,若 P(? ? c) ? a ,则 P(? ? 4 ? c) 等于( A. a B. 1 ? a C. 2a D. 1? 2a )

? x? y ?0 ? 5.已知变量 x 、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的值域是( ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
A. [0 , 3] B. (0 , 3) C. ( ?3 , )

3 2

D. [ ?3 , ]

3 2

y2 ? 1 的离心率为( 6.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ? m
2



A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

7.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体的体积 是( ) A.

8 3

B.

8 2 3

C.

4 3

D.

4 2 3

8.已知 f (x) 是 R 上的偶函数, f (0) ? 2 ,若 f (x) 的图象向右平移一个单位后, 则得到一个奇函数的图象,那么 f (1) ? f (3) ? f (5) ? f (7) ? f (9) 的值为( A.1 B.0 C. ?1 D. ? )

9 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 . 10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表。为了检验主修统计专业 是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 ? 2 ?
50(13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 2 ? 4.84 因为 ? ? 3.841 ,所以断定主修 23 ? 27 ? 20 ? 30

1

统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性最高为 专业 性别 男 女 11. ( x ? 非统计专业 13 7 统计专业 10 20 .(用数字作答)



P(K2≥k) k

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

1 8 ) 展开式中的常数项的值是 x3

12.在 ?ABC 中, b ? 1, c ?

3, C ?

2? ,则 a ? __________. 3

t 13.在等比数列 ?an ? 中,若 r , s, t 是互不相等的正整数,则 有等式 atr ? s ? ars ?t ? as ? r ? 1 成立.类比上述性质,相应

地,在等差数列 ?bn ? 中,若 r , s, t 是互不相等的正整数,则有等式 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,圆内的两条弦 AB , CD 相交于圆内一点 P , 已知 PA ? 4 , PB ? 2 , 4PC ? PD ,则 CD 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点 A( 2,

成立.

?

. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 , |? |? 示.(1)求 f ( x) 的解析式;(2) g ( x) ? 3 f ( x ?

O 是极点,则 ?AOB 的面积等于

6

) , B(4,

2? ), 3

?
2

) , ( x ? R) 的部分图像如图所

?
4

) ? f ( x) 且 tan ? ? 3 ,求 g (? ) .

17. (本小题满分 12 分)某公益活动分别从 A、B 两个单位招募 9 名和 11 名志愿者,将这 20 名志愿者的身高编 成如图所示的茎叶图,将身高 180cm 及以上的人组成甲队,不足 180cm 的人组成乙队 (1)根据志愿者身高茎叶图指出 A、B 两个单位志愿者身高的中位数. (2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是甲队的概率是 多少 (3)若只有 B 单位的志愿者能够胜任翻译工作,现从甲队中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能够胜任翻 译工作的人数,试写出 ξ 的概率分布列,并求 ξ 数学期望.

18. (本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (1)求证: AC ? 平面BDEF ;
2

(2)求证: FC // 平面EAD ; (3)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求和: S1Cn ? S2Cn ? S3Cn ? ? ? Sn ?1Cn ;
0 1 2 n

(3)设各项均为正整数的等差数列 ?bn ? 的公差为 1,并且满足:

? ? ? 1? 1? 1 ? lg 2 ? lg ?1 ? ? ? lg ?1 ? ? ? ? ? lg ?1 ? ? ? lg ? log 2 am ? ,试问数列 ?bn ? 最多有几项?并求这些项的和. ? b1 ? ? b2 ? ? bm ?
20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别为其左、右顶点,点 F1、F2 a 2 b2

分别为其左、右焦点,以点 A 为圆心, AF1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, OB 为半径作圆 B ;若直线

l:y??

15 3 . x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 6 3

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)己知 a ? 7 ,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

3 ?若存在,请 4

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? ax ? 1, x ? a ? x x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a ?

(1) 若 x ? a 时, f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围;

3

(2) 若 a ? ?4 时,函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

2013 年 5 月珠海市高三综合测试(二) 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:CAAB DCAC 二、填空题:9. 4 10. 5% 11. 28 12. 1 13. (r ? s)bt ? ( s ? t )br ? (t ? r )bs ? 0 14. 5 2 15. 4

16.解:(1)由图像知 A ? 1 , 分) (2 , 又 2 ? (?

?
6

) ? ? ? 0 得? ?

?
3

T ? ? ? 2? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? ,∴ ? ? ? 2 (4 分) 2 3 6 2 T

,∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?

(2)∵ f ( x) ? sin(2 x ?

?

3

)

(6 分)

? cos 2 x sin ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin = 2 sin 2 x (10 分) 6 6 3 3 4sin ? cos ? 4 tan ? 12 6 ∵ tan ? ? 3 ,∴ g (? ) ? 2sin 2? ? ? ? ? (12 分) 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 10 5
17.解:(1)A 单位中位数是 180cm,B 单位中位数是 173cm ……………………………………2 分 (2)∵总人数是 20 人, 甲单位 8 人, 乙单位 12 人, 设甲、 乙各抽 m 人和 n 人, 则 ∴甲队抽 2 人,乙队抽 3 人.………4 分, 设“5 人中选 2 人,其中至少有 1 人是甲队的”为事件 A,则 P ( A) ?
1 1 2 C2C3 ? C2 7 ? 2 C5 10

? 3(sin 2 x cos

?

) ,∴ g ( x) ? 3 sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) ? 3 sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 3 4 3 3 6 3

?

?

?

?

?

?

?

?

5 m n ? ? ,得 m ? 2 ,n ? 3 20 8 12

答:从这5人中选2人,至少有1人是甲队的概率是

7 10

………………………6 分 ………………7 分

(3)甲队中 B 单位有 3 人,这 3 人能胜任翻译工作,故 ? ? 0 ,, , 1 2 3

3 1 1 3 C3C52 15 C32C5 15 C5 C3 5 1 ? ? , P (? ? 3) ? 3 ? P (? ? 0) ? 3 ? , P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? 3 3 C8 28 C8 56 C8 28 C8 56

? 的概率分布列

?
P

0

1
15 28

2
15 56

3

…………………………11 分

5 28

1 56
………………………………12 分

? 的期望是 E? ? 0 ?

18. (1)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O,连结 FO.因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,且 O 为 AC 中 点.又 FA=FC,所以 AC ? FO . …………………………2 分 因为 FO ? BD ? O, FO ? 平面BDEF,BD ? 平面BDEF ,所以 AC ? 平面BDEF .………………3 分 (2)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,所以 AD / / BC , DE / / BF ,

5 15 15 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 28 56 56 8

4

因为 AD ? 平面FBC , DE ? 平面FBC ,所以 AD //平面FBC,DE//平面FBC 又 AD ? DE ? D,AD ? 平面EAD,DE ? 平面EAD ,所以平面 FBC / /平面EAD 又 FC ? 平面FBC ,所以 FC //平面EAD . ……………………6 分

(3)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60。 ,所以 ?DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD. 由(Ⅰ)知 FO ? AC, AC ? BD ? O ,故 FO ? 平面ABCD . 法一:

由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz .设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形, ,则 BD=2,所以 OB=1, OA ? OF ? 3 .则 ?DAB ? 60。

O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), C (? 3,0,0), F (0,0, 3 )

…………………8 分

? ?n ? CF ? 0 ??? ? ??? ? ? 3x ? 3z ? 0, ? ? 所以 CF ? ( 3,0, 3),CB ? ( 3,1,0) .设平面 BFC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则有 ? ? ??? ,所以 ? ? ? 3x ? y ? 0. ? ?n ? CB ? 0 ?
取 x ? 1 ,得 n ? (1, ? 3, ?1) .…………12 分,易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) .由二面角 A-FC-B 是锐角,

? ??? ?

?

?

? ? ? ? | n?v | 15 15 ? ? 得 | cos ? n, v ?|? ? .所以二面角 A-FC-B 的余弦值为 .………14 分 5 5 | n|?| v | 法二:取 CF 的中点 G ,连接 OG , BG , FD ,∵四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,

?DAB ? ?DBF ? 60。 ,且 FA ? FC ∴ AB ? BC ? CD ? DA ? BD ? BF ? FE ? ED ? FD ,设为 a
∵ O 为 AC 、 BD 中点,∴ , FO ? BD ,∴ OF ? OC ?

3 a 2

(8 分)

∴ OG ? CF , BG ? CF ,∴ ?BGO 是二面角 A ? FC ? B 的平面角 ∵ CF ?

(10 分)

6 6 10 a a ,∴ OG ? a , BG ? a ,又 BO ? (12 分) 2 4 4 2
15 OG 2 ? BG 2 ? BO 2 15 ? ,∴二面角 A-FC-B 的余弦值为 (14 分) 5 2OG ? BG 5

∴ cos ?BGO ?

19.解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即 an ?1 ? 2an .
n ?1 又 S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,?数列 ?a n ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列,? an ? 2 .………4 分 n (2)由(1)知 S n ? 2 ? 1 .

1 1 ? S1 ? Cn0 ? S 2 ? Cn ? S3 ? Cn2 ? ? ? S n?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn0 ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn2 ? ? (2n?1 ? 1) ? Cnn 0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(1 ? 2) n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n ………9 分

5

(3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ? 1 .又 ?bn ? 是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .?上式化为 b1 b2 bm

2(bm ? 1) 3b1 6 ,由 ? m ? 1 .……11 分,又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb1 ? 3b1 ? 2m ? 0 . m ? ? 3? b1 b1 ? 2 b1 ? 2
于 m ? N ? ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9.此时数列的所有项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 …14 分 20.解: (1)由 kl ? ?

3 a ,得直线 l 的倾斜角为 150? ,则点 A 到直线 l 的距离 d1 ? a sin(180? ? 150?) ? , 3 2
2 2 2

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 (a ? c) ? d1 ? 2 (a ? c) ? ( ) ,
2

a 2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L2 ? 2a cos(180? ? 150?) ? 3a , 分) (3

a 2 (a ? c) 2 ? ( ) 2 L 15 2 ? 15 , 分)化简得: 16e2 ? 32e ? 7 ? 0 , 分) 据题意有: 1 ? ,即 (4 (5 L2 6 6 3a
解得: e ?

7 1 1 或 e ? ,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ;故椭圆 C 的离心率为 e ? . 分) (6 4 4 4

(2)假设存在,设 P 点坐标为 (m, n) ,过 P 点的直线为 L ;当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 不能被两圆同时 所截;故可设直线 L 的方程为 y ? n ? k ( x ? m) ,则点 A(?7,0) 到直线 L 的距离 D1 ? 由(1)有 e ?

? 7k ? k m ? n 1? k 2



c 1 3a 21 2 2 = ,故直线 L 被圆 A 截得的弦长为 L1 ' ? 2 rA ? D1 , 分) (8 ? ,得 rA ? a ? c ? a 4 4 4

则点 B (7,0) 到直线 L 距离 D2 ?

7 k ? km ? n 1? k
2

,rB ? 7 ,故直线 L 被圆 B 截得弦长为 L2 ' ? 2 rB ? D2 , (10 分)
2 2

据题意有:

L1 3 2 2 ? ,即有 16(rA ? D12 ) ? 9(rB2 ? D2 ) ,整理得 4 D1 ? 3D2 , L2 4



4 7k ? k m ? n 1? k 2

?

3 7k ? k m ? n 1? k 2

,两边平方整理成关于 k 的一元二次方程得

(7m 2 ? 350 m ? 343)k 2 ? (350 m ? 14 mn)k ? 7n 2 ? 0 ,

(12 分)

?7m 2 ? 350 m ? 343 ? 0 ?n ? 0 ?n ? 0 ? 关于 k 的方程有无穷多解,故有: ?350 n ? 14 mn ? 0 , ?? 或? ?m ? ?1 ?m ? ?49 ? 2 ?7n ? 0
故所求点 P 坐标为(-1,0)或(-49,0) . (注设过 P 点的直线为 y ? kx ? m 后求得 P 点坐标同样得分) (14 分)

6

21. 解:(1) 因为 x ? a 时, f ? x ? ? 4 x ? 4 ? 2 x ? a ,所以令 t ? 2 ,则有 0 ? t ? 2a ,
x

f ? x ? ? 1当 x ? a 时恒成立,转化为 t 2 ? 4 ?
1 令 p (t)=t- , t ? 0, 2a t 所以

?

?

4 1 t a ? 1 ,即 a ? t ? 在 t ? 0, 2 上恒成立,………2 分 a 2 2 t 1 1 ,则 p? ? t ? ? 1 ? 2 ? 0 ,所以 p (t)=t- 在 0, 2 a 上单调递增, t t

?

?

?

?

4 1 ? 2a ? a ,所以 2a ? 5 ,解得 a ? log 2 5 .…………6 分 a 2 2 2 a? a2 ? 2 (2) 当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? ax ? 1 ,即 f ? x ? ? ? x ? ? ? 1 ? ,………7 分 2? 4 ? a 当 ? a 时,即 a ? 0 时, f ? x ?min ? f (a) ? 1 ; 2 a a2 a 当 ? a 时,即 ?4 ? a ? 0 , f min ( x) ? f ( ) ? 1 ? ;…………………8 分 2 4 2
4 2 ? 4 ? 当 x ? a 时, f ? x ? ? 4 ? 4 ? 2 ,令 t ? 2 , t ? ? 0, 2 ? ,则 h ? t ? ? t ? a t ? ? t ? a ? ? a ,………10 分 2 ? 2 ? 4 2 1 2 4 a 当 a ? 2 ,即 a ? 时, hmin (t ) ? h( a ) ? ? a ; 2 2 2 4 2 1 a a a 当 a ? 2 ,即 a ? 时, h (t ) 在开区间 t ? ? 0, 2 ? 上单调递减, h(t ) ? (4 ? 4,0) ,无最小值;………12 分 2 2 1 4 4 综合 x ? a 与 x ? a ,所以当 a ? 时,即 1 ? ? a ,函数 f ? x ?min ? ? a ; 2 4 4 1 当 0 ? a ? 时, 4a ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ? x ? 无最小值; 2
x x?a
x
a

2

2

当 ?4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ?
a

a2 ,函数 f ? x ? 无最小值.……………13 分 4

综上所述,当 a ?

1 4 1 时,函数 f ? x ? 有最小值为 ? a ;当 ?4 ? a ? 时,函数 f ? x ? 无最小值……………14 分. 2 4 2

7


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