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一道联考向量题的解法探究


?

辅教导学 ?  

数 学通 讯 —— 2 O 1 5年 第 3期 ( 上半月)  

1 7  



道 联 考 向量 题 的解 法 探 究 
李   宁  
( 海 南 省 海 南 中学 ,5 7 1 1 5 8 )  

浙江 省五 校 2 0 1 4届 高 三 第 二 次 联 考 文 科 第 
1 6题 为 :  

( A) 1 .  
( C)  

( B) √ 2 .  
( D)2 .  

已知 O为 △A BC 的外 心 , A B=4 , AC 一 2 ,  


dB A C一 1 2 0 。 . 若A - - d—  
2 一
— —

+  A - d, 则2  +  

解  如图 1 , 以 A 点 为 坐标 原 点 建立 平 面直  角 坐标 系 , 则 A( 0 , o ) , B( 2 n , o ) , c ( 一一 1
,  

) .  

.  

本 题结 合 三 角形 外 心 考 查 向量 分解 , 具 有 一  定 难 度.下 面 对其解 法作一 探 究.  
思路 1 : 从 代 数 角 度 思 考 建 系 处 理 

线段 A B 的垂直平 分线 的方程 为 X— n , 线段  A C 的垂直平 分 线 的方 程 为 (  一 0 ) 。 +(  —O )  一 

( z十  ) 。 +( y- -4 f i - ) z


向量兼 具 数 与形 的特 点 , 我 们 从代 数 角 度 思  考 建立 平 面 直 角 坐 标 系 , 算 出各 个 点 的 坐 标 , 由  
一  

即 z一 

+  : o .  

+ 

获取 两个 关于  和 :的方 
+ 
J     l J ,  

联立 以上两 条直 线 的方 程 , 解 得 O( a , , 4   3 a  

程, 解 之则 问题 可求.  
解法 1   如图 1 ,  

) .  
a 

以 A 点 为 坐 标 原 点 建  立 平 面直 角 坐 标 系 , 则 
A( 0, 0 ) , B( 4, 0 ), C( 一 
1 ,   ) .  


线段 A B 的垂直 平  分 线 的 方 程 为  一 2 ,   线段 A C 的垂直 平分 线  的方 程 为 : ( z— O )  + 

≤   \/ / — — \   1 /  

~  

由  一 a  +  , 得 ( 口 , 孚十  ) 一  
+ 
a  以  0 
  ,

( 2  , 0 ) +口 ( 一   ,   ) , 所 以  一 2   一卫,  

\  

图 1  

a  口   解 得 a =  +  , a   一   卢 = 譬 0  0 +   2   .   从 而 由 均 值 不 等 式 , 有 a + 卢 一 号 +  + 譬  

(  —o ) 。 一(  +1 )   十(  一  )   , 即   一历 +2  
— 0.  

≥ ÷ + 2 √  ?   a 2 — 2 , 当   一 1 时 等 号 成 立 , 从  
而a +  的最 小值 为 2 , 选( D ) .  
思路 2 : 考 虑 向 量  分 解 系 数 和 几 何 意 义  如图 2 , 向量。  ,   0百 不 共 线 , 非 零 向量 
0( 7= z   0.  + Y   OB ,  

联 立 以上 两条直 线 的方程 , 解得 0( 2 ,   由   一  +  。   , 得( 2 ,  

) .  

)一 A   ( 4 ,  

0 ) +  : ( 一1 ,   ) , 所 以 2— 4   一  , . 4   一  
解 得 1一 了 5,  
O 

。 ,  

0 

直 线 

2 一  


与 AB 交 于 
一  oD ,  

图 2  

从而 2   1 + 2— 3 .  

点 D.设 

变式 1  ( 重庆 南开 中学 2 0 1 4届高 三月 考 ) 已 
知 0 为 △A BC 的 外心 , A B= 2 a , AC 一 三 n   ( 口> 

则0 - 5 一  0 - 3 ; 十 
^  ^ 

.由于 A, D, B三点共 线 ,  

则  +  一 1 , 即 x+y— .从 而 向量 分解 系数 和 

o ) , ,  ̄B A C一 1 2 0 。 .  ̄A - 6一  
R ) , 则 口 十 口的最 小值 为 

+ ̄ A - - d ( a ,  ∈  
(   )  

A 

A 

3 2 +  的几何 意义是 有 向线段 O C 与 OD 的 比值 .  

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数 学通 讯 一 一 2 O 1 5 年 第 3期 ( 上 半月 )  

?辅教 导学 ?  

下 面 用 这 个 几 何 意 义 来 解 这 个 联 考 向量 题 .  
解法 2   如 图 3,取 

B尊 时, 0 D取得最大值1 ? 从而x +y 一   ∈  
E 1 , 2 ] .  
思路 3 : 向 量 问 题 向 量 解 

AB 的中点 D, 连结 C D 交 
A0 于 E , 延 长 AO 交 

△A B C 的外接 圆于 F.  

C  

前面 我们从 代数 和 几何 两 个 角度 给 出 了这道  联 考题 的解答 , 下 面再 给 出一 种 基 于 向量 运 算 的  解 法.   图3  
解 法 3   如 图 5,取  

由a - 0— 2  
知 2 , l   + ! 一  由余弦 定理 , 有 

+   。  
.  

AB 的 中 点 D,则 O D 上 
A B, 从 而  .   一 (  
. 

B C= = : 1 6 + 4—2? 4? 2?( 一   1)一 2   V T
于是 △A B c的外接 圆 的直 径 2 R一 —
一 4

+茄 ) .  
1  I  
一  

一  


.  

= C  
?  
图5  

s m  /  BAC 

I : 于 是 由 
. 

√ 号 , 则 A O — R — z √   .  
由于 A F 是 直 径 ,从 而  舳 F : 9 0 。 .记 

+ 。  

得 2— 4   一  .  
? 

同理 ' 由  

.  

一 。  

.  

+| ; 【 。  

.  

a 2 .   E A D = a , 则 c 。 s   a = 筹: = : √ 萼 , 进 而 s i n   一   得 1一一 2A1+ 2

|  
7’  

联 立 以 上 两 式 , 解 得  : = : 吾 ,   。 一 百 4 , 从 而  
变式 3 ( 2 0 1 3 年 安 徽省 高 中数学 联赛 预赛 )  
一   (   +  ) , 则 

2 , 1 1+ 2— 3 .  

由 AC — A D 和  B AC 一 1 2 0 。 , 得 /E D A 一 
30 。


从 而 
s i n   AED — s i n ( a十 3 0 。 )  
一  

设 AA BC的外 心 P 满 
C OS   BA C 一
. 
— —

7  

. 

2  +  

7  .  2  


一   .

由  

.  

一   (   . 3 Z+ ̄ - - d.   )  

2   ^ √ 7’  

|  

由正弦定 理 , 有 

得 专  2 一 詈 (  。 +  ?   畦  2 一  


A d .  
类似地 , 由   .   一  (   .   4 -   .  

A E 一 
从而 2 1 , 。 + 。= = =  

= = : 呈


√ 吾 ,  
  f

一3 .  

变式 2 ( 2 O 0 9年安 徽高 考题 改编 )给定 两个  长 度 为 1的 平 面 向 量  和  , 它 们 的 夹 角 为 
上  1 2 0 。 , 如图4 所示 , 点 C在 以 0 为 圆 心 的 圆 弧 

- A  ̄ ) 得 丢  2 =  ?  一 丢  2 , 则 J  I —  
【 .  

变 动. 若  = z  
y的 取 值 范 围 县 

+ 
.  

, 其 中 x, y∈ R, 则 z+ 
B  

于 是c o s  c 一器


一  

- a - O   1  

T 

一  ’  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 —1 1 —2 3 )  

解 

设 

交 AB 于

D, 则 由向量 分 解 系 数 和 几  何 意义 得 z十  一   一 

面 1


当 O D 上 A B时, O D  


图 4  

取得最 小值  1; 当D ̄ j A 或 


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