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2015年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科) 配套款 后附答案版


2015 年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)
一、 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格 内直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分。 1、(2015·黄浦区·二模·理)函数 f ( x) ? lg( x ? 3) ? 度:0.80) 2、(2015·黄浦区·二模·理)函数 y ? log2 ( x ?1) 的单

调递减区间是______。 (难度:
2

( x ? 2) 0 的定义域是________。 (难 x ?1

0.80) 3、( 2015 · 黄 浦 区 · 二 模 · 理 ) 已 知 集 合 A ? {x | x ? 16 ? 0, x ? R} ,
2

(难度:0.80) B ? {x | x ? 3 ? a, x ? R} ,若 B ? A ,则正实数 a 的取值范围是_______。

4、(2015·黄浦区·二模·理)若二次函数 y ? 2x2 ? (m ? 2) x ? 3m2 ? 1 是定义域为 R 的 偶函数,则函数 f ( x) ? xm ? mx ? 2( x ? 1, x ? R) 的反函数 f 0.80)
?1

(难度: ( x) =__________ 。

5、(2015·黄浦区·二模·理)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正半轴上,终边经过点 P(?3a, 4a)(a ? 0.a ? R) ,则 cos 2? 的值是_______。 (难度: 0.80) 6、(2015·黄浦区·二模·理)在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? b ? c ? 2bc sin A ,则 ?A ? ______。 (难度:0.80)
2 2 2

7、(2015·黄浦区·二模·理)在等差数列 {an } 中,若 a8 ? ?3 , a10 ? 1 , am ? 9 ,则正 整数 m =______。 (难度:0.80)

8、(2015· 黄浦区· 二模· 理) 已知点 A(?2,3) 、B(1, ?4) , 则直线 AB 的方程是_________。 (难度:0.80)

9、(2015· 黄浦区· 二模· 理) 已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点与双曲线 一个焦点重合,则双曲线的渐近线方程是_______。 (难度 0.80)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的 a 2 12

10、 已知 AB 是球 O 的一条直径, 点 O1 是 AB 上一点, 若 OO1 ? 4 OO1 ? 4 , 平面 ? 过点 O1 且垂直 AB , 截得圆 O1 , 当圆 O1 的面积为 9? 时, 则球 O 的表面积是_______。 (难度: 0.80) 11 、若二次函数 y ? f ( x) 对一切 x ? R 恒有 x2 ? 2x ? 4 ? f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 5 成立,且

f (5) ? 27,则 f (11) ?

. (难度:0.60)

x ? 3 ? t, 12、在平面直角坐标系中,直线 l : ? (t是参数,t ? R) ,圆 ? ? y ? 3 ? 2t

? x ? 2cos ? , (? 是参数,? ?[0, 2? )) ,则圆心到直线的距离是 C:? ? y ? 2 ? 2sin ?
0.80)

. (难度:

13、一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的 5 个白球,3 个红球,2 个黄球,将它 们充分混合后,摸得一个白球计 2 分,摸得一个红球记 3 分,摸得一个黄球计 4 分,若用随 机变量 ? 表示随机摸一个球的得分, 则随机变量 ? 的数学期望 E? 的值是 度:0.80) 分. (难

??? ? ??? ? ??? ? 14、 已知点 B(4, 0)、C (2, 2) , 平面直角坐标系上的动点 P 满足 OP ? ? ? OB ? ? ? OC (其中 O 是
坐标原点,且 1 ? ? ? a,1 ? ? ? b ),若动点 P 组成的区域的面积为 8,则 a ? b 的最小值 是 . (难度:0.40) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在

二、选择题(本大题满分 20 分)

答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、在空间中,下列命题正确的是( )。 (难度:0.60)

A.若两直线 a , b 与直线 l 所成的角相等,那么 a / / b B.空间不同的三点 A、B、C 确定一个平面 C.如果直线 l //平面 ? 且 l //平面 ? ,那么 ? // ? D.若直线 a 与平面 M 没有公共点,则直线 a //平面 M

16、设实数 a1 , a2 , b1 , b2 均不为 0,则“

a1 b1 ? 成立”是“关于 x 的不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 b2

a2 x ? b2 ? 0 的解集相同”的(
A.充分非必要条件

)。 (难度:0.80) D.非充分非必要条件

B.必要非充分条件 C.充要条件

17、若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i , z ? iz ,则 z ? ( 复数) (难度:0.80) A. 1 ? i B. i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

).( i 是虚数单位, z 是 z 的共轭

18、 已知数列 ?an ? 共有 5 项, 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 , 且对任意 i、j (1 ? i ? j ? 5) , 有 ai ? a j 仍是该数列的某一项,现给出下列 4 个命题: (1) a5 ? 0 ;(2) 4a4 ? a1 ;(3)数列 ?an ? 是等差数列; (4)集合 A ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? 5 中共有 9 个元素。 则其中真命题的序号是( A .(1)、(2)、(3)、(4) 定区域内写出必要的步骤. 19、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA 1 ? 3 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长 方体的一个角后,得到如下所示的几何体 ABCD ? AC (难度:0.60) 1 1D 1. (1) 若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小(结果用反 三角函数值表示) ;
D1 A1 C1

?

?

)。 (难度:0.40) B .(1)、(4)

C .(2)、(3)

D .(1)、(3)、(4)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规

d. (2)求点D到平面 A 1 BC1 的距离

D A B

C

第 19 题图

20、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g( x) ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1,x ? R ,函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图像关于原点对 2 2

称。 (难度:0.60) (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 在 [0,? ] 上的单调递增区间。

21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 有一块铁皮零件, 其形状是由边长为 40cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边形
ABCDE ,其中

,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮 AF ? 12 cm, BF? 10 cm

DMPN ,使得矩形相邻两边分别落在 CD, DE 上,另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上.设

(难度:0.60) DM ? x cm,矩形 DMPN 的面积为 y cm . (1)试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式, 并写出定义域; (2)试问如何截取(即 x 取何值时),可使得到的矩形 DMPN 的面积最大?

2

第 21 题图

22、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 8 分. (理科)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0.60) (1)求数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式;
*

1 * ,对任意 m、p ? N 都有 am? p ? am ? a p . (难度: 2

(2)数列 ?bn ? 满足 an ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? (?1)n ?1 n n ( n ? N* ),求通项公 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

式 bn ; (3)设 cn ? 2n ? ?bn ,问是否存在实数 ? 使得数列 ?cn ? ( n ? N )是单调递增数列?若存
*

在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明你的理由. 23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 9 分. 已知点 F , 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 一 个 动 点 P ( x, y ) 满 足 1 (? 2,0)、F 2 ( 2,0)

???? ???? ? (难度:0.40) |PF1|+|PF2 |=4 .设动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点, GH 为圆 N : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 的任意一条直径,求 ???? ? ???? ? MG ? MH 的取值范围; (3)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:直 线 AB 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程.

??? ?

??? ?

2015 年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)答案

1、 【考点】函数的定义域及其求法。 【专题】函数的性质及应用。 【分析】结合对数函数的性质以及指数幂的性质得到不等式组,从而求出函数的定义域。 【解答】解:由题意得:

?x ?3 ? 0 ? ?x ? 2 ? 0 ? x ?1 ? 0 ?

解得: x ? 3 ,

故答案为: (3, ??) ; 【点评】 本题考查了函数的定义域问题, 考查对数函数以及指数幂的性质, 是一道基础题。 2、 【考点】复合函数的单调性。 【专题】函数的性质及应用。 【分析】令 t ? x ? 1 ? 0 ,求得函数 y 的定义域,结合函数 y ? log 2 t ,本题即求函数 t 在
2

定义域内的减区间,再利用二次函数性质可得结论。 【解答】 令 t ? x ?1 ? 0 , 求得 x ? 1 或 x ? ?1 , 故函数 y 的定义域为 {x | x ? 1 或 x ? ?1} ,
2

可得函数 y ? log 2 t ,本题即求函数 t 在定义域内的减区间。 结合二次函数性质可得 t ? x ? 1 在定义域 {x | x ? 1 或 x ? ?1} 内的减区间为
2

(??, ?1) 。
故答案为: (??, ?1) 。 【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质、复合函数的单调性,体现了转化的数 学思想,属于基础题。 3、 【考点】集合的包含关系判断及应用。 【专题】集合。 【分析】 先把集合 A 、 B 解出来,再根据 B ? A ,求正实数 a 的取值范围即可。 【解答】解:因为 A ? {x | x ?16 ? 0, x ? R} ? [?4, 4] ,
2

B ? {x | x ? 3 ? a, x ? R} ? [3 ? a,3 ? a] ,
又B ? A,

所以 ?

?3 ? a ? ?4 , ? 3? a ? 4

解得 a ? 1 , 又 a 是正实数, 故 a ? (0,1] , 故答案为: (0,1] 【点评】本题主要考查集合间的关系,属于基础题。 4、 【考点】反函数;二次函数的性质。 【专题】函数的性质及应用。 【分析】由二次函数的性质易得 m ? 2 ,可得 f ( x) 的解析式,由反函数的求法可得。 【解答】解:? 二次函数 y ? 2x2 ? (m ? 2) x ? 3m2 ? 1 是定义域为 R 的偶函数,

? 函数的图像关于 y 轴对称,即 ?

m?2 ? 0 ,解得 m ? 2 , 2? 2

? 函数 y ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 , ? y ? 1 ? ( x ? 1)2 , y ? 1 , ? x ?1 ? x ?1 ? ? y ?1

? 反函数 f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) ,
故答案为: 1 ? x ? 1,( x ? 1) 【点评】本题考查但函数,涉及二次函数的性质,属基础题。 5、 【考点】二倍角的余弦;任意角的三角函数的定义。 【专题】三角函数的求值。 【分析】利用三角函数的定义、倍角公式即可得出。 【解答】解: OP ?

(?3a) 2 ? (4a) 2 ? 5 a

? cos ? ?

?3a , 5a

? cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? (
故答案为: ?

?3a 2 7 ) ?1 ? ? 。 5a 25

7 。 25

【点评】本题考查了三角函数的定义、倍角公式,属于基础题。 6、 【考点】余弦定理。

【专题】解三角形。 【分析】根据余弦定理,建立方程关系即可得到结论。 【解答】解:由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc sin A , ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc sin A ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,
则 sin A ? cos A , 即 tan A ? 1 , 解得 A ?

?
4



故答案为:

? 。 4

【点评】 本题主要考查三角函数值的求解, 根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键。 7、 【考点】等差数列的通项公式。 【专题】等差数列与等比数列。 【分析】 由已知数据易得等差数列的公差, 再由通项公式可得 m 的方程, 解方程可得 m 值。 【解答】解:? 在等差数列 {an } 中,若 a8 ? ?3 , a10 ? 1 ,

? 等差数列 {an } 的公差 d ?

a10 ? a8 ? 2, 10 ? 8

? am ? 9 , ? am ? a10 ? (m ? 10)d ,
代入数据可得 9 ? 1 ? 2(m ? 10) , 解得 m ? 14 , 故答案为:14。 【点评】本题考查等差数列的通项公式,属基础题。 8、 【考点】直线的两点式方程。 【专题】直线与圆。 【分析】利用点斜式即可得出。 【解答】解: k AB ?

?4 ? 3 7 ?? , 1 ? (?2) 3

7 ? 直线 AB 的方程是: y ? 3 ? ? ( x ? 2) , 3
化为 7 x ? 3 y ? 5 ? 0 , 故答案为: 7 x ? 3 y ? 5 ? 0 。 【点评】本题考查了直线的点斜式方程,属于基础题。 9、 【考点】 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质。

【专题】 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程。 【分析】 现根据抛物线方程求得抛物线的焦点,进而可知双曲线的一个焦点,求出 a ,即 可求出双曲线的渐近线方程。 【解答】解:? 抛物线 y 2 ? 16x 的焦点为 ( 4,0) ,

? 双曲线的一个焦点为 (4,0) , ? a 2 ? 12 ? 16 , ? a ? 2,

? 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ? 3x 。 4 12

故答案为: y ? ? 3x 。 【点评】本题给出抛物线与已知双曲线有公共的焦点,求双曲线的渐近线方程,着重考查了 抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题。 10、 【考点】球的体积和表面积; 【专题】计算题;空间位置关系与距离。 【分析】利用圆 O1 的面积为 9? ,可得圆 O1 的半径为 3,根据 OO1 ? 4 ,平面 ? 过点 O1 且 垂直 AB ,截得圆 O1 ,可得球 O 的半径为 5,即可求出球 O 的表面积。 【解答】解:? 圆 O1 的面积为 9? ,

? 圆 O1 的半径为 3, ? OO1 ? 4 ,平面 ? 过点 O1 且垂直 AB ,截得圆 O1 , ? 球 O 的半径为 5, ? 球 O 的表面积是 4? ? 52 ? 100? 。
故答案为: 100? 。 【点评】本题考查球 O 的表面积,考查学生的计算能力,确定球 O 的半径是关键。 11、 【考点】函数与方程的综合运用。 【专题】函数的性质及应用。 【分析】利用二次函数求出两个函数值相等时, x 的值,利用函数的对称性设出函数的解析 式,求出函数然后求解函数值。
2 2 【解答】解:二次函数 y ? f ( x) 对一切 x ? R 恒有 x ? 2x ? 4 ? f ( x) ? 2x ? 4x ? 5 成立,

可得 x ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 4 x ? 5 ,解得 x ? 1 , f (1) ? 3 ,
2 2

函数的对称轴为 x ? 1 , 设函数 f ( x) ? a( x ? 2 x) ? b ,
2

由 f (1) ? 3 , f (5) ? 27 , 可得 ? a ? b ? 3 , 15a ? b ? 27 ,

3 9 ,b ? 。 2 2 3 9 f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? , 2 2 3 9 f (11) ? (112 ? 2 ?11) ? ? 153 。 2 2
解得 a ? 故答案为:153。 【点评】本题考查函数与方程的应用,二次函数的对称性,函数的解析式的求法,恒成立条 件的应用,考查分析问题解决问题的能力,题目比较新颖。 12、 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程。 【专题】坐标系和参数方程。 【分析】 直接把直线的参数方程和圆的参数方程转化为直角坐标方程, 进一步利用点到直线 的距离公式求出结果。 x ? 3 ? t, 【解答】解:直线 l : ? (t是参数,t ? R) , ? ? y ? 3 ? 2t 转化成直角坐标方程为: 2 x ? y ? 9 ? 0 ,

? x ? 2cos ? , 圆C : ? (? 是参数,? ?[0, 2? )) , y ? 2 ? 2sin ? ?
转化成直角坐标方程为 x ? (y? 2) ? 4 ,
2 2

则圆心到直线的距离 d ?

2?9 5

?

7 5 。 5

故答案为:

7 5 。 5

【点评】本题考查的知识要点:参数方程与直角坐标方程的互化,点到直线的距离的应用, 主要考查学生的应用能力。 13、 【考点】离散型随机变量的期望与方差。 【专题】概率与统计。 【分析】随机变量 ? 的取值为 2,3,4,由等可能事件计算出相应的概率,利用公式求均值 即可。 【解答】解:随机变量 ? 的取值为 2,3,4,由题意

P (? ? 2) ?

5 1 3 2 1 ? , P (? ? 3) ? , P (? ? 4) ? ? 。 10 2 10 10 5

随机变量 ? 的均值为 2 ?

1 3 1 ? 3 ? ? 4 ? ? 2.7 。 2 10 5

故答案为:2.7。 【点评】 本题考查离散型随机变量的期望与反差, 求解本题的关键是确定变量的取值以及用 等可能事件的概率计算出相应的概率,熟练掌握求期望的公式也是解题的关键。 14、 【考点】平面向量的基本定理及其意义。 【专题】平面向量及应用。 【分析】先作向量 a ? OB , b ? OC ,结合图形,根据 ? 、 ? 的范围找到动点 P 所在的区域: 平行四边形 FGHI ,由向量 OB , OC 求出 sin ?BOC ,求平行四边形 FGHI ,从而可得 到

??? ?

??? ?

??? ?

????

1 1 1 1 ? ? 1 ,从而 a ? b ? (a ? b)( ? ) ,根据基本不等式即可求得 a ? b 的最小值。 a b a b

【解答】解:如图,在 x 轴上取点 D ,使 OD ?a OB ,延长 OC 到 E ,使 OE ?b OC ;

作 CH / / OD , BF / / OE , EG / / OD , DG / / OE ,则: 动点 P 组成的区域为平行四边形 FGHI 及其内部;

??? ? ??? ? ? OB ? (4,0) , OC ? (2, 2) ; ??? ? ???? OB ? OC 8 2 ; ? cos ?BOC ? ??? ? ? ???? ? 2 OB OC 8 2

? sin ?BOC ?

2 ; 2

? S四边形FGHI ? (a -1) ? 4 ? (b ? 1) ? 2 2 ?
? (a ? 1) ? (b ? 1) ? 1 ;
? ab ? a ? b ? 0 ;

2 ? 8; 2

1 1 ? ? ?1; a b

1 1 a b ? a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,当 a ? b ? 2 时取“=” ; a b b a ? a ? b 的最小值为 4。
故答案为:4。 【点评】考查数乘的几何意义,平面向量基本定理,根据点的坐标求向量的坐标,向量夹角 余弦公式的坐标运算,数量积的坐标运算,平行四边形的面积公式,以及基本不等式用于求 最值。 15、 【考点】命题的真假判断与应用。 【专题】简易逻辑。 【分析】 A .由已知可得: a 与 b 不一定平行; B .利用公理 1 即可判断出正误; C .利用线面平行的判定定理即可判断出正误; D .利用线面平行的判定定理即可判断出正误。 【解答】解: A .若两直线 a 、 b 与直线 l 所成的角相等,那么 a 与 b 不一定平行,因此不 正 确; B .空间不在同一条直线上的三点 A 、 B 、 C 确定一个平面,因此不正确;

C .如果直线 l / / 平面 ? 且 l / / 平面 ? ,那么 ? / / ? 或相交,因此不正确;

D .若直线 a 与平面 M 没有公共点,则直线 a / / 平面 M ,正确。 故选: D 。
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、线线线面位置关系,考差了推理能力,属于中档 题。 16、 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。 【专题】简易逻辑。 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可。 【解答】解:若

a1 b1 ? ? m, (m ? 0 ) , a2 b2

则 a1 ? ma2 , b1 ? mb2 ,

? 不等式 a1 x ? b1 ? 0 等价为 m(a2 x ? b2 ) ? 0 ,
若 m ? 0 ,则 m(a2 x ? b2 ) ? 0 ,等价为 a2 x ? b2 ? 0 ,此时两个不等式的解集 相同, 若 m ? 0 ,则 m(a2 x ? b2 ) ? 0 ,等价为 a2 x ? b2 ? 0 ,此时两个不等式的解集 不相同,即充分性不成立, 若关于 x 的不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 的解集相同, 即 a1a2 ? 0 ,

? a1 , a2 , b1 , b2 均不为 0, ? a1 , a2 ? 0
则不等式的解为 x ? ?

b1 b ,x?? 2 , a1 a2

则?

b1 b a b ? ? 2 ,即 1 ? 1 成立, a2 b2 a1 a2

若 a1 , a2 ? 0 则不等式的解为 x ? ?

b1 b ,x?? 2 , a1 a2

则?

b1 b a b ? ? 2 ,即 1 ? 1 成立, a2 b2 a1 a2

即必要性成立, 故“

a1 b1 ? 成立”是“关于 x 的不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 的解集相同” a2 b2

的必要不充分条件, 故选: B 。 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用不等式的解法与系数之间的关系是 解决本题的关键,比较基础。 17、 【考点】复数相等的充要条件。 【专题】数系的扩充和复数。 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数相等即可得出。

a b i? 【解答】解:设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) ,z?



? z ? z ? 2i , z ? iz , ? 2bi ? 2i , a ? bi ? i(a ? bi) ? ?b ? ai , ? 2b ? 2 , a ? ?b , ?b ? a ,
解得 b ? 1 , a ? ?1 ,

? z ? ?1 ? i 。
故选: D 。 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数相等,考查了计算能力, 属于基础题。

18、 【考点】命题的真假判断与应用。 【专题】等差数列与等比数列。 【 分 析 】 1 ? i ? j ? 5 , 有 ai ? a j 仍 是 该 数 列 的 某 一 项 , 因 此 0 ??an ? , 由 于

a4 ? a5 ? a4 ?{an },(a4 ? 0) ,可得 a3 ? a4 ? a4 ,即 a3 ? 2a4 ,以此类推可得:a2 ? 3a4 ,
a1 ? 4a4 。即可判断出结论。
【解答】解:? 1 ? i ? j ? 5 ,有 ai ? a j 仍是该数列的某一项,

? ai ? a j ? 0 , ? 当 a5 ? 0 时,
则 a4 ? a5 ? a4 ?{an }, (a4 ? 0) , 必有 a3 ? a4 ? a4 ,即 a3 ? 2a4 , 而 a2 ? a3 ? a3 或 a4 , 若 a2 ? a3 ? a3 ,则 a2 ? a4 ? 3a4 , 而 3a4 ? a3 , a4 , a5 ,舍去; 若 a2 ? a3 ? a4 ?{an },此时 a2 ? 3a4 , 同理可得 a1 ? 4a4 。 可得数列 {an } 为: 4a4 , 3a4 , 2a4 , a4 , 0 ( a4 ? 0 ) 。 综上可得: (1) a5 ? 0 ; (2) 4a4 ? a1 ; (3)数列 {an } 是等差数列; (4)集合

A ? {x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? 5} ? {8a4 ,7a4 ,6a4 ,5a4 , 4a4 ,3a4 , 2a4 , a4 ,0(a4 ? 0)} 中
共有 9 个元素。 因此(1) (2) (3) (4)都正确。 故选:A。 【点评】本题考查了等差数列的性质、新定义,考查了分析问题与解决问题的能力、推理能 力与计算能力,属于难题。 19、 【考点】点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角。

【专题】空间位置关系与距离;空间角。 【分析】 (1)建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出

???? ? ????? BO1 ? (?1, ?1,3), A1D1 ? (?2,0,0) ,利用空间向量的连接求解异面直线 BO1 与
A1 D1 所成的角。
(2)求出平面 ABD 的法向量,通过空间向量的距离公式求解即可。 【解答】解: (1) 按如图所示建立空间直角坐标系.由题知,可得点

z
D1 C1

D(0, 0, 0)、 B(2, 2,0) 、 D1 (0,0,3) 、 A1 (2,0,3) 、 C1 (0, 2,3) .
由 O1 是 AC 1 1 中点,可得 O 1 (1,1,3) . 于是, BO1 ? (?1, ?1,3), A 1D 1 ? (?2,0,0) . 设异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 ? ,则

A1

???? ?

?????

y
D

C
B

x

A

???? ? ????? BO1 ? A D 2 1. 1 1 1 ? ????? c o?s ? ???? ? ? 11 | BO1 || A D | 1 1 2 11
因此,异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角为 arccos

11 . 11

? n (2)设 ? ( x, y, z) 是平面 ABD 的法向量.
? ???? ? n BA1 ? 0, ? ∴ ? ? ? ???? ? ? ?n ? BC1 ? 0.

???? ???? ? 又 BA1 ? (0, ?2,3), BC1 ? (?2,0,3) ,

?2 y ? 3z ? 0, ∴? ? ??2 x ? 3z ? 0.

n ? (3,3, 2) . 取 z ? 2 ,可得 ? y ? 3, 即平面 BAC 1 1 的一个法向量是
? ? z ? 2. ?

? x ? 3,

?

∴d ?

? ??? ? n ? DB ? |n|

?
(文科)

6 22 . 11

解(1)? AB ? BC ? 2 , AA 1 ?3,

?VABCD ? A1D1C1 ? V长方体 ? V三棱锥 1 1 =2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 10. 3 2
左视图如右图所示. (2)依据题意,有 A 1D 1 ? AD, AD ? BC ,即 A 1D 1 ? BC . ∴ ?C1BC 就是异面直线 BC1 与 A1D1 所成的角. 又? C1C ? BC , ∴ tan ?C1 BC ?

C1C 3 ? . BC 2 3 . 2

∴异面直线 BC1 与 A1 D1 所成的角是 arc tan

【点评】本题考查空间点线面距离的求法,异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及 计算能力。 20、 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性。 【专题】三角函数的求值。 【分析】 (1) 设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点, 利用对称性得到点 (? x, ? y ) 在

y ? g ( x) 的图象上,然后求解函数的解析式。
(2) 利用两角和的正弦函数化简函数的解析式, 通过正弦函数的单调性求解单调区 间,然后求解函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间。

【解答】解:(1)设点 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,由题意可知,点 (? x, ? y ) 在 y ? g ( x) 的 图像上, 于是有 ? y ?

1 3 sin(?2 x) ? cos(?2 x) ? 1, x ? R . 2 2

1 3 所以, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (理科)
1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1, x ?[0, ? ] ,记 D ? [0, ? ] . 2 2 3 5 ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,解得 k? ? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12 2 3 2

5 ? ? , k? ? ], k ? Z 的区间上单调递增. 12 12 结合定义域,可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1. 5 ? 令 k ? 0 得 D1 ? [? ? , ] ; k ? 1 时,得 D1 ? [ 7 ? , 13 ? ] .
则函数 f ( x) 在形如 [k? ?

12

12

12

12

所以, D ? D1 ? [0,

?
12

] , D ? D2 ? [ 7 ? , ? ] .
12

于是,函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是 [0, ? ] 和 [ 7 ? , ? ] . 12 12 (文科)

1 3 ? (2)由(1)可知, f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 3

, ], 4 2 ? ? 4 所以, ? ? 2 x ? ? ? .
6 3 3
考察正弦函数 y ? sin x 的图像,可知, ?

又 x ? [?

? ?

? ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , x ? [ ? , ] . 4 2 2 3

于是, ?

3 ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 . 2 3

所以,当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的取值范围是 ? 4 2

2? 3 ? f ( x) ? 0 . 2

【点评】 本题考查三角函数的解析式的求法, 两角和与差的三角函数正弦函数的单调性的应 用,考查计算能力。 21、 【考点】根据实际问题选择函数类型; 【专题】函数的性质及应用。 【分析】 (1) 依据题意并结合图形, 可知: 1 当点 P 在线段 CB 上,2
0 0

当点 P 在线段 BA

上,分别求解函数的解析式。 (2)利用(1)知,当 0 ? x ? 30 时,当 30 ? x ? 40 时,分别 求解函数的最大值即可。 【解答】(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解:(1)依据题意并结合图形,可知:

10 当点 P 在线段 CB 上,即 0 ? x ? 30 时, y ? 40 x ; 20 当点 P 在线段 BA 上,即 30 ? x ? 40 时,由

6 PQ BF ? ,得 QA ? 48 ? x . 5 QA FA

于是, y ? DM ? PM ? DM ? EQ ? 76 x ?

6 2 x . 5

?40 x, 0<x ? 30 ? 所以, y ? ? 定义域 D ? (0, 40] . 6 76 x ? x 2 . 30 ? x ? 40 ? 5 ?
(2)由(1)知,当 0 ? x ? 30 时, 0 ? y ? 1200 ; 当 30 ? x ? 40 时,

95 6 6 95 3610 3610 ,当且仅当 x ? 时,等号成立. y ? 76 x ? x 2 ? ? ( x ? ) 2 ? ? 3 5 5 3 3 3
因此, y 的最大值为

3610 . 3

95 cm ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P ,再过点 3 P 作 DE 的平行线交 DC 于点 N ,最后沿 MP 与 PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面 3610 cm2 . 积为 3
答:先在 DE 上截取线段 DM ? 【点评】 本题考查函数的实际应用, 函数的最值的求法, 分段函数的解析式以及最值的求解, 考查计算能力。 22、 【考点】数列的求和;数列的函数特性; 【专题】等差数列与等比数列。 【分析】 (1)利用 am? p ? am ? a p 成立, 令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* .即可得 到数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式。
*

(2)由(1) 求出 an ?

1 ( n ? N* ) 。 求出 an ? an?1 .即可求出 n 2

?3 , (n ? 1) ? ?2 bn ? ? ?(?1) n ( 1 ? 1). (n ? 2, n ? N* ) ? ? 2n
(3)化简 cn ? 2 ? ?bn ,通过 cn ? cn?1 的符号,求出 ? 的范围。
n

【解答】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. (理科) 解(1) ? 对任意 m、p ? N 都有 am? p ? am ? a p 成立,
*

∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N .
*

1 ? ?a1 ? , ∴数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式是 ? 2 ?a ? a ? a , n ? N* . ? n?1 1 n
*

(2)由(1)可知,数列 ?an ? ( n ? N )是首项和公比都为
*

1 的等比数列,于是 2

1 (n ? N* ) . n 2 b bn b b n ?1 * 由 an ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? (?1) ( n ? N ),得 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b3 b b1 b2 ?1 an ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? (?1) n n ?n ( n ? 2 ). 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 bn 1 n ?1 ? bn ? (?1) n ( n ? 1)(n ? 2) . 故 an ? an ?1 ? (?1) n 2 ?1 2 b 3 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? b1 ? . 2 ?1 2 an ?

?3 , (n ? 1) ? ?2 所以 bn ? ? ?(?1) n ( 1 ? 1). (n ? 2, n ? N* ) ? ? 2n
(3) ∵ cn ? 2n ? ?bn , ∴当 n ? 3 时, cn ? 2 ? (?1) (
n n

1 ? 1)? , 2n 1 cn ?1 ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ( n ?1 ? 1)? , 2
n ?1

依据题意,有 cn ? cn ?1 ? 2

? (?1)n ? (2 ?

2 n ?1 3 n ) ? 0 ( ? 1) ? ? ? ,即 . 3 2n ?2 2n
n ?1 恒成立,又 2 随 n 增大而 3 3 ?2 ?2 2n 2n

n ?1 10 当 n 为大于或等于 4 的偶数时,有 ? ? ? 2

? ? n ?1 128 ? ? 2 128 增大,则 ? ; ? (n ? 4) ,故 ? 的取值范围为 ? ? ? ? 35 3 35 ? n ?2? ?2 ?min
n ?1 32 20 当 n 为大于或等于 3 的奇数时, 有? ? 2 恒成立, 故 ? 的取值范围为 ? ? ; 19 3

2n

?2

5 3 30 当 n ? 2 时,由 c2 ? c1 ? (22 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? 0 ,得 ? ? 8 . 4 2

综上可得,所求 ? 的取值范围是 ? (文科)

128 32 ??? . 35 19

解(1) ? 对任意 m、p ? N* 都有 am? p ? am ? a p 成立, a1 ? 2 , ∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N* . ∴数列 ?an ? ( n ? N )是首项和公比都为 2 的等比数列.
*

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n (n ? N* ) . (2) 由 an ?

b b b1 b + 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ( n ? N* ),得 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b b ?1 b b an ?1 ? 1 + 2 2 ? 3 3 ? ? ? n ?n ( n ? 2 ). 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 1 ?1 b n ?1 n 2 n ?1 ? 2n ?1 (n ? 2) . 故 an ? an ?1 ? n n ? bn ? 2 (2 ? 1) ? 2 2 ?1 b 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? b1 ? 6 . 2 ?1
于是, bn ? ?

?6, (n ? 1) ?2
2 n ?1

? 2n ?1. (n ? 2, n ? N* )

当 n ? 1 时, B1 ? b1 ? 6 ; 当 n ? 2 时,

Bn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn =6+(22?2?1 +22?3?1 +22?4?1 + ? +22?n?1 )+(22?1 +23?1 +24?1 + ? +2n?1 ) 23 (1 ? 4n ?1 ) 2(1 ? 2n ?1 ) ? 1? 4 1? 2 2 4 = ? 4n ? 2n ? . 3 3 2 1 1 4 又 n ? 1 时, Bn ? ? 4 ? 2 ? ? 6 , 3 3 2 n 4 n * 综上,有 Bn ? ? 4 ? 2 ? ,n ? N . 3 3 B1 Bn ? 3, (3)? cn ? n , c1 ? 1 2 2 2 n 4 1 * ∴ cn ? ? 2 ? ? n ? 1 , n ? N . 3 3 2 =6+

? cn ? cn ?1 ?

2 n 4 1 2 4 1 ?2 ? ? n ? 1 ? (? n ?12? ? n ?1 ? 1) 3 3 2 3 3 2 2 1 = (2n ?1 ? n ?1 ) ? 0(n ? 2). 3 2
*

∴数列 ?cn ? ( n ? N )是单调递增数列,即数列 ?cn ? 中数值最小的项是 c1 ,其值为 3.

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,数列的函数特征,考 查分析问题解决问题的能力。 23、 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程。 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程。 【分析】 (1)设出动点 P ( x, y ) ,列出方程,化简求解所求曲线 C 的轨迹方程即可。 (2)设 M ( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任一点,推出 MG ? MN ? NG , MH ? MN ? NH ,

???? ?

???? ? ???? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? NH ? ? NG 。然后利用数量积推出表达式,利用椭圆的性质,求解表达式的范围。
(3)判断定圆的圆心必在原点,设 OA ? r 1 cos ? , r 1 sin ? ) ,利 1 , OB ? r 2 ,点 A(r 用面积相等 A , B 两点在曲线 C 上,推出 求出定圆的方程。 【解答】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 解(1)依据题意,动点 P ( x, y ) 满足 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 4 .
2 2 2 2

1 1 3 ? 2 ? 。然后说明直线 AB 总与定圆相切, 2 r1 r2 4

又| F 1F 2 |? 2 2 ? 4 , 因此,动点 P ( x, y ) 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,且 ?

? ?2a ? 4, ?b? 2. ? ? 2c ? 2 2

所以,所求曲线 C 的轨迹方程是 (2)

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
上 任 一 点 . 依 据 题 意 , 可 得

设 M ( x0 , y0 ) 是 曲 线 C

???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? MG ? MN ? NG, MH ? MN ? NH .
? GH 是直径, ???? ? ???? ???? ? NH ? ? NG .又 |NG|=1 ,

???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? MG ? MH =( MN ? NG) ? ( MN ? GH ) ???? ? ???? ???? ? ???? =( MN ? NG) ? ( MN ? NG) ???? ? ???? =|MN |2 ? | NG |2 .

???? ? ? | MN |2 ? ( x0 ? 3)2 ? ( y0 ? 0)2
= 由

1 ( x0 ? 6) 2 ? 7 . 2

x2 y 2 ? ? 1 ,可得 ?2 ? x ? 2 ,即 ?2 ? x0 ? 2 . 4 2

? ? ?2 ?? ?1 ?M | N | ?, 2 05
? ? ? ?? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?M| N ? | N |G . ?| 24
???? ? ???? ?

?M G ? M 的取值范围是 H 0 ? MG ? MH ? 24 . ???? ? ( 另 解 1 ? MN : 结 合 椭 圆 和 圆 的 位 置 关 系 , 有 | 2? | 2 5
|| OM | ? | ON ||?| MN |?| OM | ? | ON | ( 当且仅当 M、 N、 O 共线时,等号成立 ) ,于是有 1 ?| MN |? 5.)
(理科) (3)证明 因 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点,由曲线 C 关于原点对称,可知

直线 AB 也关于原点对称.若直线 AB 与定圆相切,则定圆的圆心必在原点.因此,只要证 明原点到直线 AB 的距离( d )是定值即可. 设 | OA |? r 1 ,| OB |? r2 ,点 A(r 1 cos ? , r 1 sin ? ) ,则

B(r2 c o s?(? r 2
利用面积相等,有

?

2

) , ?s ?i n ? (?r 2

?

2

? ) ) r

2

(? . s i n

,

c o s

)

2 2 1 1 1 . 1 r2 | OA | ? | OB |? | AB | ?d ,于是 d 2 ? r ? 2 2 2 2 1 1 r1 ? r2 ? 2 2 r1 r1

? cos 2 ? sin 2 ? 1 ? r12 cos 2 ? r12 sin 2 ? ? 4 ? 2 ? r2 , ? ? 1, ? 1 4 2 又 A、B 两点在曲线 C 上,故 ? 可得 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? sin ? ? cos ? ? 1 . ? r2 sin ? ? r2 cos ? ? 1. ? ? 2 r22 ? 4 2 ? 4
因此, 1 ? 1 ? 3 . r12 r22 4 所以, d ?
2

4 2 3 ,即 d 为定值 . 3 3
2 2

所以,直线 AB 总与定圆相切,且定圆的方程为: x ? y ?

4 . 3

(文科) (3)证明 设原点到直线 AB 的距离为 d , 且 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点.

10 若 点 A 在 坐 标 轴 上 , 则 点 B 也 在 坐 标 轴 上 , 有

1 1 | OA || OB |? | AB | ?d , 即 2 2

d?

ab a ?b
2 2

?

2 3 . 3
1 x. k

20 若点 A( xA , yA ) 不在坐标轴上,可设 OA : y ? kx, OB : y ? ?
4 ? 2 ? x2 y 2 xA ? , ? ? 1, ? ? ? 1 ? 2k 2 由? 4 得 2 ? 2 ? y ? kx. ? y 2 ? 4k . ? A ? 1 ? 2k 2 ?
? 2 4k 2 xB ? , ? 设点 B( xB , yB ) ,同理可得, ? 2 ? k2 ? ? y2 ? 4 . B ? 2 ? k2 ?

于是, | OA |? 2

2 3(1 ? k 2 ) 1? k 2 , 1? k 2 , 2 2 . | AB | ? OA ? OB ? | OB | ? 2 1 ? 2k 2 2 ? k2 (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 )

利用

1 1 2 3 | OA || OB |? | AB | ?d ,得 d ? . 2 2 3
0 0

2 可知,总有 d ? 综合 1 和

2 3 2 3 ,即原点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 3 3

(方法二:根据曲线 C 关于原点和坐标轴都对称的特点,以及 OA ? OB ,求出 A、B 的 一组坐标,再用点到直线的距离公式求解,也可以得出结论) 【点评】本题考查椭圆的方程的方法,椭圆的综合应用,圆与椭圆的位置关系,考查转化思 想及计算能力。


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