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湖南师大附中2013届高三第五次月考文科数学试题


湖南师大附中 2013 届高三第五次月考
数学(文科)
命题:曾克平 洪利民 苏萍 审题:湖南师大附中高三数学文科备课 组

(考试范围:高中文科数学全部内容)

一.选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 U ? ?x x ? 3?

, A ? ? x x ? 2? ,则 CU A = A. ? x 2 ? x ? 3?
【解析】利用数轴易知选 A. 2.等差数列 ?an ? 中, a3 ? 1 , a1 ? a4 ? a7 ? 9 ,则 S8 ? S6 ? A.16 B.21 C.20 ( C ) D.31

( A )

B. ? x 2 ? x ? 3?

C. x 2 ? x ? 3?

?

D. ? x x ? 2?

【解析】由 a3 ? 1 , a1 ? a4 ? a7 ? 9 可求得 a1 ? ?3, d ? 2 . 3.给出如下四个命题: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;
S10 S S ), (100, 100 ), (110, 110 ) 共线; 10 100 110 2 2 ③ “?x∈R,x +1≥1”的否定是 “ ? x∈R,x +1≤1”; ④ 在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中正确的命题的个数是 ..

②若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 则三点 (10,

( D ) A.1

B. 4

C. 3

D.2

【解析】若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 至少有一个为假命题,所以①错;若等
?S ? 差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则数列 ? n ? 为等差数列, 所以②对; “?x∈R, ?n?

x2+1≥1”的否定是 “ ? x∈R,x2+1<1”; 所以③错;在 ?ABC 中,? A ? (0, ? ), B ? (0, ? ) ? “ A ? B ”等价于“ sin A ? sin B ”, 所以④对. 4. 已知平面内一点 P 及 ?ABC ,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的位置 关系是( C ) A.点 P 在线段 AB 上 段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 B.点 P 在线 D.点 P 在 ?ABC 外部

【解析】? PA ? PB ? PC ? AB,? PA ? PB ? PC ? PB ? PA ?2PA ? - PC ,所以 ? C 对. 5.定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? , 且当 x ? [0 , ( A ) A. ?
1 2

?
2

] 时, f ( x) ? cos x ,则 f (

5? ) 的值为 3

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

【解析】 f (

5? ? ? ? 1 ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? cos ? ? . 3 3 3 3 2

6.如下图,已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? , 记 ? ? 4b2 ? 12ac 则当

? ? 0且a ? 0时,f ( x) 的大致图像为
( B ). y y y y

o A

x

o B

x

o C

x

o D

x

【解析】? f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? a ? 0? , 且 ? ? 4b2 ?12ac ? 0, a ? 0

? y ? f ' ( x) 有两个零点,不防设为 x1 , x2 . 且 x1 ? x2 则当 x ? x1 或 x ? x2 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递减.当 x1 ? x ? x2 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递增.所以选 B.
7. 设双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y2 = x 的一个交点的 a 2 b2

横坐标为 x0,若 x0>1,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ( C ) A.(1, +∞)
6 ) 2

B. ( 2 ,+∞)

C.

(1, 2 )

D. (

6 , 2

b2 b2 【解析】 联立双曲线渐近线和抛物线方程, 消去 y 得: 2 x 2 ? x , x0>知 2 ? 1 , 由 a a



c2 ? a2 ? 1 ,故 e2 ? 2 ,又 e >1,所以 1< e < 2 ,故选 B. a2

? x ≤1 ? 8.在约束条件 ? x ? y ? m2 ≥ 0 下,若目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值不超过 4,则实 ? x ? y ? 1≥ 0 ?

数 m 的取值范围 ( D ) A (? 3, 3) B [0, 3]

[? 3, 3] 1 ? m 1 ? m2 , ) 处取得最大 【解析】作出可行域,即知目标函数 z ? 2 x ? y 在点 ( 2 2 值.
2

C

[? 3,0]

D

由 zmax ? ?2 ?

1 ? m2 1 ? m2 ?1 ? 3m2 ? ? ? 4得? 3 ? m? 3 2 2 2
x

?1? 9. 已知 f ?x ? ? ? ? ? log3 x ,实数 a、b、c 满足 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? <0,且 0<a ? 3?
<b<c,若实数 x0 是函数 f ?x ? 的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的 ... 是 A. x0 <a ( D ) B. x0 >b
x

C. x0 <c

D. x0 >c
x

?1? ?1? 【解析】 x ? x0 时, f ?x ? ? ? ? ? log3 x ? 0, 当 x ? x0 时 f ?x ? ? ? ? ? log3 x ? 0, 当 ? 3? ? 3?

? f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? <0,且 0 ? a ? b ? c ,所以 x0 ? c 不可能成立.
二.填空题:本大题共 7 个小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把 答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题:从下列两题中任意选做一题,若两题全做,则只按第 9 题记分. 10.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程为 ? ? 2sin ? 的圆与参数方程为

{x ??1? y ? 2t

2t

的直线位置关系是_ _______相交_____.

【解析】.圆心(0,1)到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离小于半径 1.

x 11. (优选法选做题) 下列五个函数: y ? 2|x| , y ? cos x , ? (? ① ②
x ? (?

? 3?
2 , 2

) , y ? sin x , ③

?
2

, ? ) ,④ y ? ? x2 ? 2 x ? 3 ,⑤ y ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x 中,不是单峰函数的是 3

________. 【解析】根据单峰函数的定义知②⑤是单峰函数. (二)必做题(11~16 题) 12.定义运算 (a ? b) ? (c ? d ) ? ad ? bc ,复数 z 满足 ( z ?1) ? (i ? i) ? 1 ? i
则复数 z 在复平面对应点为 P_(2,-1) .

【解析】设 z ? a ? bi ,则 ( z ?1) ? (i ? i) ? z ? i ? i ? (a ? bi)i ? i ? ?b ? (a ? 1)i ? 1 ? i 即 a ? 2, b ? ?1 ,所以 z 在复平面对应点为 P(2,-1). 13.已知 f ( x) ? ? x2 , g ( x) ? 2 x ? m ,若对 ?x1 ? ?? 1 , 3? , ?x2 ? ?0 , 2?,使

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 m 的范围

m ? 13

.

【解析】若对 ?x1 ? ?? 1 , 3? ,?x2 ? ?0 , 2?,;使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f (x) m ?g (x)mx n i a 当 x ? ?? 1 , 3?时, f ( x)min ? f (3) ? ?9 ;当 x ? ?0 , 2? 时, g ( x)max ? g (2) ? 4 ? m . 所以,由 ?9 ? 4 ? m ,得 m ? 13 . 14.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表 面积为( A A. 29? B. 30? C.
29? 2

) 3 4 主视图 2 左视图

D. 216?

俯视图

【解析】由三视图复原几何体,几何体是底面是直角三角形, 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥; 把它扩展为长方体, 两者有相同的外接球, 它的对角线的长为球的直径,即 2R ? 29 该三棱锥的外接球的表面积为:
S ? 4? ? 29 ? 29? . 4

15. 已知 M 是面积为 1 的△ ABC 内的一点 (不含边界) , MBC, MCA 和△ , 若△ △ MAB 的面积分别为 x, y, z ,则 【解析】由已知可得,
?x ? y ? z ? 1? 1 x? y x? y?z x? y z x? y ? ? ? ? 1? ? ? 3. x? y z x? y z x? y z 1 x? y 的最小值是 ? x? y z

3

.

16.对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f ( x) ,定义 f1 ( x) ? f ( x) ,

f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,?, fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 fn ( x) ? x 的
点称为 f 的 n 阶周期点. (1)设 f ( x) ? 2 x x ?[0,1] 则 f 的 2 阶周期点的个数是____1_______;
1 ? x ? [0, ] ?2 x ? 2 (2)设 f ( x) ? ? 则 f 的 2 阶周期点的个数是____4_______ 1 ?2 ? 2 x x ? [ ,1] ? ? 2

.

【解析】(1) f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f (2x) ? 4x f 2 ( x) ? 4x ? x 得 x ? 0 ;
1 1 , 0 ? x ? 时,f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f (2x) ? 4x .由 f 2 ( x) ? 4x ? x 即 2 4 1 1 1 得 x ? 0 ;当 ? 2 x ? 1 ,即 ? x ? 时, f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? f (2 x) ? 2 ? 2(2x) ? 2 ? 4x 2 4 2 2 由 f 2 ( x) ? 2 ? 4x ? x ,得 x ? ;同理可得另两个周期点. 5 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.

(2) 0 ? 2 x ? 当

17.(本题满分 12 分) 已知 A,B,C 是 ?ABC 的三个内角,A,B,C 对的边分别为 a,b,c,设平面向 ?? ? ?? ? 1 量 m=(cosB,-sinC) , n=(cosC,sinB) , m?n= ? . 2 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x , ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.
?? ? ?? ? 1 「解析」(Ⅰ)? m=(cosB,-sinC) , n=(cosC,sinB) ,且 m?n= ? 2 1 1 ? c o s c o s? B C sB n C? n ,即 cos( B ? C ) ? ? i si ? ???? 2 2 (3 分) ? A,B,C 是 ?ABC 的三个内角,? B ? C ? ? ? A

? c o s ( ?A ?

1 1 ) ? 即 cos A ? ,又? 0 ? A ? ? ? 2 2

?A?

?
3

??????????????????????????(6 分)

(Ⅱ)由 a ? 3 , A ?

?
3

及正弦定理得 ?????????????????

b c a 3 ? ? ? ?2 sin B sin C sin A sin ? 3

?(8 分)
? b ? 2sin x,c ? 2sin( ? y ? 2sin x ? 2sin( 2? ? x) 3

2? ? ? x) ? 3 ? 2 3 sin( x ? ) + 3 3 6 ? 2? ? ? 5? ? 分)? A ? , 0 ? x ? ,? x ? ? ( , ) 3 3 6 6 6 ?当x ?

???????(10

?

6

?

?

2

,即 x ?

?

3

时,

ymax ? 3 3

???????????????(12 分)

18.(本题满分 12 分) 某同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次 生活习惯是否符合低碳生活的调查, 若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族” , 否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 120 0.6 第一组 30 ?25, ? 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

35 ?30, ? 40 ?35, ? 45 ?40, ? 50 ?45, ? 55 ?50, ?

195 100 a 30 15

p 0.5 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图,并求 n,a,p 的值; (2)从年龄段在 ?40, ? 的“低碳族”中采用分层抽 50 样抽取 6 人参加户外低碳体验生活,其中选取 2 人

作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 ?40, ? 岁的概率。 50 解:(1)第二组的频率为 1(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3 0.3 =0.06 ????????????(2 所以高为 5 分)频率直方图如下: 120 =200 ,频率为 0.04 ? 5=0.2 ,所 第一组的人数为 0.6 200 =1000 以n ? 0.2 由题意可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的 195 ? 0.65 人数为 1000 ? 0.3 ? 300, 所以p ? 300 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 ????????????(6 分) (2)因为 ?40, ? 岁年龄段的“低碳族”与 ?45, ? 岁年龄段的“低碳族”的比值 50 50 为 60:30=2:1,所以采用分层抽样法抽取 6 人, ?40, ? 岁中有 4 人, ?45, ? 岁 45 50 中有 2 人. ????(8 分) 设 ?40, ? 岁中的 4 人为 a, b, c, d , ?45,50? 岁中的 2 人为 m, n , 则选取 2 人作为领队 45 的情况有:
(a, b),(a, c),(a, d ),(a, m),(a, n),(b, c),(b, d ),(b, m),(b, n),(c, d ), (c, m),(c, n),(d , m),(d , n),(m, n)

共 15 种,其中恰有 1 人年龄在 ?40, ? 岁的情况有: 45
(a, m),(a, n),(b, m),(b, n),(c, m),(c, n),(d , m),( d , n) , 8 种. ???????? 共 (11

分) 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 ?40, ? 岁的概率为 p ? 45 (12 分) 19.(本题满分 12 分) 如图, 三棱锥 A ? BCD 中,DC ? BC ,BC ? 2 3 ,CD ? AC ? 2 ,AB ? AD ? 2 2 . (Ⅰ)证明: AB ? CD ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的正弦值. 「解析」:(Ⅰ)在 ?ACD 中, AC ? CD ? 2 , AD ? 2 2 , B D C A
8 ?????? 15

2 2 2 ?A C ? C D ? A, D

? AC ? CD ????????????????(2 分) 又? DC ? BC ,且 AC ? BC ? C

? D C? 面 A B,又? AB ? 面ABC C
? A B? C D (6 分)

???????????????????????????

(Ⅱ)在三角形 ABC 中, AC ? 2 , AB ? 2 2 , BC ? 2 3
2 2 2 ? B C ? A B ? A ,? BA ? AC C

1 1 ? S?ABC ? ? AB ? AC ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 2 2

由(1)可知: DC ? 面ABC

?VD?

A B C

?

1 S ? 3

A B C

1 4 2 ? D C ? 2 2? 2 ? ? 3 3

??????????????

?(8 分)

在 Rt? BDC 中, BD ? BC 2 ? CD 2 ? (2 3) 2 ? 22 ? 4 ,

在 ?ABD 中, AB ? AD ? 2 2 ,? AB 2 ? AD2 ? BD2 ,故 AB ? AD
1 1 ? S?ABD ? ? AB ? AD ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 ??????????????? 2 2 (10 分) 设点 C 到平面 ABD 的距离为 h,CA 与平面 ABD 所成的角为 ?

?VC? ABD ? VD? ABC
?h ? 2
? sin ? ? 2 2

1 4 2 ? ? 4? h ? 3 3

h 2 ? 即 AC 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 AC 2

??????(12 分)20.(本题满分 13 分)

已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a4 ? 20, a3 ? 8 ; (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)若 bn ? an log 1 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整
2

数 n 的最小值. 【解析】(1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q,

1 ? ? a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? ?q ? 依题意,有 ? ,解之得 ? 或? 2 ;?????????? 2 ? a1 ? 2 ?a ? 32 ? a3 ? a1q ? 8 ? ? 1
(4 分)
?q ? 2 又 {an } 单调递增,∴ ? ,∴ ? a1 ? 2

an ? 2n .???????????????????.6 分)
(2)依题意,,

bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ???????????????????(8 分)
2

∴ ?Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ... ? n ? 2n ∴ ?2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ... ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②, ∴①-②得, Sn ? 2 ? 22 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

①,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

Sn ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 ?????????????????????????
??(10 分) ∴ Sn ? n ? 2n?1 ? 50 即为 2n?1 ? 2 ? 50,?2n?1 ? 52 , ∵当 n≤4 时, 2n?1 ? 25 ? 32 ? 52 ;当 n≥5 时, 2n?1 ? 26 ? 64 ? 52 . ∴使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5. ???????????????(13 分) 21.(本题满分 13 分) 为了使“神州七号”飞船的返回仓顺利返回地面,及时将航天员救出,地面指挥 中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援点 A、B、C(如图).其中点 B 在点 A 的正东方向,且与点 A 相距 6km;点 C 在点 B 的北偏东 30°方向,且与点 B 相 距 4km.某一时刻,返回仓于点 P 着陆,并同时发出着陆信号.由于 B、C 两地比 A 地距着陆点 P 远,因此在救援点 A 收到信号 4s 后,B、C 两个救援点才同时接受 到返回仓的着陆信号,已知该信号的传播速度为 1km/s. (1)试确定返回仓的着陆点 P 相对于救援点 A 的位置;

(2)若返回仓在着陆点 P 的正上方某处发出信号,那么救援点 A 与 B 收到信号 的时间差变大还是变小?说明你的理由.

P C

A

B

【解】(1)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系,则点 A(-3,0),B(3,0). ???? (2 分) 过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 D,由已知,|BC|=4, ∠CBD=60°.则|BD|=4cos60°=2,|CD|=4sin60°= 2 3 , 所以 C(5, 2 3 ). 因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 因为直线 BC 的斜率为 tan60°= 3 ,线段 BC 的中点为(4, 3 ). 1 (x - 4) , x + 3y - 7 = . 所以线段 BC 的垂直平分线方程为是 y - 3 = 即 0 y 3 P 因为|PB|-|PA|=4,所以点 P 在以 A、B 为焦点的
x2 y2 = 1(x < 0) .????(4 分) 双曲线左支上,且双曲线方程为 4 5 E A

C x O B D

ì x2 y2 ? 2 ? (7 - x )2 ? ? 4 - 5 = 1(x < 0) ? x = 1 ? 11x 2 56x - 256 = 0 , 由í ? 4 15 ? x + 3y - 7 = 0 ? ? ? 即(11x-32)(x+8)=0. 因为 x<0,所以 x=-8,点 P(-8, 5 3 ).过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 E,则|AE|=5,|PE|= 5 3 .所以|PA|=10,tan∠PAE= 3 , 即∠PAE=60°. 故着陆点 P 位于救援点 A 的北偏西 30°, 且与点 A 相距 10km. ???? 分) (8 (2) 设返回仓在着陆点 P 的正上方点 M 处发出信号, |PM|=h, |PA|=a,|PB| =b,如图.

则 | MB | - | MA |= b2 + h 2 - a 2 + h 2 b2 - a 2 b+ a = = (b - a ) 2 2 2 2 2 b +h + a +h b + h2 + a2 + h2 b+ a < (b - a ) = b - a = | PB | - | PA | . b+ a

M P A B

故救援点 A 与 B 收到信号的时间差变小. ??????????(13 分)

22. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R) (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 不等式 f ( x) ? bx ? 2 对 ?x ? (0, ??) 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (3)当 x ? y ? e ? 1时,证明不等式 ex ln(1 ? y) ? e y ln(1 ? x) 解: (1)函数的定义域是 (0, ??), 且 f ?( x) ? a ? (1 分) 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 a ? 0 时,若 0 ? x ?
1 ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ; a 1 ax ? 1 ? . ?????????? x x

1 若 x≥ ,则 ax ? 1≥0 ,从而 f ?( x)≥0 , a 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增. ???????(4 a a 分)

1 1 ,若 ? 1 ,则 a ? 1 . a a 若 f ( x) ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立,即 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立,只 1 ln x 需 b ? 1? ? 在 (0, ??) 上恒成立. ?????????????????? x x (6 分)

(2)由(1)可知,函数的极值点是 x ?

令 g ( x) ?

1 ln x 1 1 ln x ln x ? 2 ? ,则 g ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , x x x x x x2

易知 x ? e2 为函数 g ( x) 在 (0, ??) 内唯一的极小值点,也是最小值点,故
1 1 ln x 1 1 ) min = 1 ? 2 ,故只要 b ? 1 ? 2 即可. ,即 (1 ? ? 2 e x x e e 1? ? 所以 b 的取值范围是 ? ??,1 ? 2 ? .???????????????????? e ? ? (8 分) g ( x) min ? g (e 2 ) ? ?

(3)由题意可知,要证不等式 ex ln(1 ? y) ? e y ln(1 ? x) 成立,只需证

e x ?1 e y ?1 . ? ln( x ? 1) ln( y ? 1)
构造函数 h( x) ?
e ,则 h?( x) ? ln x
x

e x ln x ?

ex 1 e x (ln x ? ) x ? x ,因为在 (e, ??) 上单调递 2 2 ln x ln x
e x ?1 e y ?1 ,即 ? ln( x ? 1) ln( y ? 1)

增,由于 x ? y ? e ? 1,所以 x ? 1 ? y ? 1 ? e ,所以

ex ln(1 ? y) ? e y ln(1 ? x) .
?????????????????????????????????? ?(13 分)


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