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双曲线及其标准方程(修改版)


2.2.1 双曲线及其标准方程

探索研究
椭圆的定义?
Y

平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

r />
思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么?

看图分析动点M满足的条件: ①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B),

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。

双曲线的定义
平面内与两定点F ,F 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
1 2

F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距记为2c
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(这里c>a)
F1

M

F2

1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
F1

y
M O F2 x

常数为2a
3.列式. |MF1|
2

|

- |MF2||= 2a
2 2 2

即 ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a.
4.化简.

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么?
F1 (0,-c) , F2 (0,c)

y
M F2

x
F1

| ( y ? c) ? x ? ( y ? c) ? x |? 2a.
2 2 2 2

化简为:

c ? a ?b
2 2

2

? 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4

(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点P, | |PF1| - |PF2| | = 6 若 |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16

例2 已知双曲线的焦点在x轴上,并且双曲线上

的两点P1、P2的坐标分别( ? 2 ,? 3), 15 ( 3 , 2 ),求双曲线的标准方程。
设法一:

设法二:
设法三:
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为

( ? 2 ,? 3),( 标准方程。

15 3

, 2),求双曲线的

随堂练习
已知方程
x 2? m
2

?

y2 m ?1

? 1 表示焦点在y轴的

m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________
变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 m<-2或m>-1 __________________ 求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3,焦点在x轴上; 2 2 y x 16 9 ②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5) y2 x2 20 16

?

?1 ?1

?

课时小结:
1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标准方程 以及方程中的abc之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、求双曲线标准方程关键(定位,定量)

作业 :P61 习题2.3 A. 2 B. 2


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