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2016年高考数学三轮复习冲刺之数学分类讨论的思想巩固练习


【巩固练习】 1.已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 a 等于( A.-3 B.- )

3 8 1 , ??) 2

C.3

D.

3 或-3 8
)

2.已知 a=(-1,-2),b=(1,λ).若 a 与 b 的

夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A. (??, ? )

1 2

B. (?

C. (?

1 , 2) ∪ (2, ??) 2

D.(2,+∞) )

3.对一切实数,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-2)
2

B.[-2,+∞)

C.[-2,2]

D.[0,+∞) )

4.若 A={x|x +(p+2)x+1=0,x∈R},且 A∩(0,+∞)= ? ,则实数 P 的取值范围是( A.p≥-2
2

B.p≤-2
2

C.p>2
2

D.p>-4 .

5.设集合 A={x|x +6x=0},B={x|x +3(a+1)x+a ―1=0},且 A∪B=A,则实数 a 的取值范围是
2 2 2

6.方程(1-k)x +(3-k )y =4 (k∈R),当 k=_________时,表示圆;当 k∈_________时,表示椭圆;当 k ∈_________时,表示双曲线;当 k=_________时,表示两条直线. 7.当点 M(x,y)在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时,目标函数 z=kx+y 取得最大值的一个最优解 为(1,2).则实数 k 的取值范围是________.

8.若函数 f ( x) ?

1 1 1 1 (a ? 1) x3 ? ax 2 ? x ? 在其定义域内有极值点,则 a 的取值范围为________. 3 2 4 5 2 2 x y ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的 9.设 F1、F2 为椭圆 9 4

三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则

PF1 PF2

的值为________.

10.连掷两次骰子得到的点数为 m 和 n,记向量 a=(m,n),与向量 b=(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈(0,

? ]的概率是________. 2
11.解关于 x 的不等式: ax ? 2 ? 2 x ? ax (a ? R) .
2

第1页

共9页

12.在数列{an}中,a1=a,前 n 项和 Sn 构成公比为 q 的等比数列. (1)求证在{an}中,第 2 项开始成等比数列; (2)当 a=2 , q ?
50

1 时,设 bn ? log2 | an | ,求|b1|+|b2|+?+|bn|. 2

13. 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ? ( x ? 0) . a x

(1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

? 3 3 x x ? x,sin x) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (1)求 a , b 及 | a ? b | ;
14.已知向量 a ? (cos

?

(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

? ?

3 ,求 ? 的值. 2

15.已知 A 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2,当 AC 垂直于 a 2 b2

x 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,如图.

(1)求该椭圆的离心率; (2)设 AF 1 ? ?1 F 1 B , AF 2 ? ?2 F 2C ,试判断 ?1 ? ?2 是否为定值?若是定值,求出该定值并证明; 若不是定值,请说明理由.

????

????

???? ?

???? ?

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【参考答案】 1. 【答案】D 【解析】当 a<0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=-1 时取得最大值,得 a=-3; 当 a>0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=2 时取得最大值,得 a= 2. 【答案】C 【解析】∵〈a,b〉为钝角,∴a· b<0,即有 λ>- 3. 【答案】B 【解析】本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为 y=x+

3 8

1 .又当 λ=2 时,a 与 b 反向.故选 C. 2 a 型,通过求解函数的最值 x

得到结论.由不等式 x2+a|x|+1≥0 对一切实数恒成立.①当 x=0 时,则 1≥0,显然成立;②当 x≠0 时, 可得不等式 a≥-|x|- 时,“=”成立. ∴f(x)max=-2,故 a≥f(x)max=-2. 4. 【答案】D 【解析】当 A∩B= ? 时,集合 A= ? 或 A 中方程没有正数解,要注意 A 本身为空集的情况. (1)当 A= ? 时,即二次方程无解 ? Δ =(p+2) -4<0 ? -4<p<0
2

1 1 1 对 x≠0 的一切实数成立.令 f(x)=-|x|- =- ( x ? ) ≤-2.当且仅当|x|=1 x x x

?? ? ( p ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? (2)当 A≠ ? 时,即方程的解为非正数 ? ? x1 ? x2 ? ?( p ? 2) ? 0 ? p ? 0 ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2
由(1) (2)知 p>-4,选 D. 5.【答案】 {a | ?
2

13 ? a ? ?1或 a ? 1} 5
2 2

【解析】A={x|x +6x=0}={0,―6},由 A∪B=A,得 B ? A. (1)当 B= ? 时,即方程 x +3(a+1)x+a ―1=0 无实数根, 由Δ =9(a+1) ―4(a ―1)<0,解得 ?
2 2

13 ? a ? ?1 . 5

(2)当 B≠ ? 时,即 B={0}或 B={―6}或 B={0,-6}. ①当 B={0}时,即方程 x +3(a+1)x+a -1=0 有两个等根为 0.
2 2

?a 2 ? 1 ? 0 ∴? ,∴a=-1 ?3( a ? 1) ? 0
②当 B={―6}时,即方程 x +3(a+1)x+a ―1 有两个等根为―6,
2 2

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∴?

? a 2 ? 1 ? 36 ?3( a ? 1) ? 12

,此方程组无解.
2 2

③当 B={0,―6}时,即方程 x +3(a+1)x+a ―1=0 有两个实根 0 和―6,

?a 2 ? 1 ? 0 ∴? ,∴a=1 ??3(a ? 1) ? ?6
综上可知实数 a 的取值范围是 {a | ?

13 ? a ? ?1或 a ? 1} . 5

6.【答案】 k=-1;k∈( ? 3 ,-1)∪(-1,1);k∈(-∞, ? 3 )∪(1, 3 );k=1 或 k= ? 3 【解析】 ①表示圆时,1-k=3-k >0,解得 k=-1
2

?1 ? k ? 0 ? 2 ②表示椭圆时, ?3 ? k ? 0 ,解得:k∈( ? 3 ,-1)∪(-1,1); ?1 ? k ? 3 ? k 2 ?
③表示双曲线时,(1-k)(3-k )<0, 解得 k∈(-∞, ? 3 )∪(1, 3 ); ④表示两直线时, ?
2

?1 ? k ? 0 ?3 ? k ? 0
2

或?

?1 ? k ? 0
2 ?3 ? k ? 0



解得 k=1 或 k= ? 3 . 7.【答案】[-1,1] 【解析】如图,延长 BC 交 y 轴于点 D,目标函数 z=kx+y 中 z 的几何意义是直线 kx+y-z=0 在 y 轴上的截距,由题意得当此直线经过点 C(1,2)时,z 取得最大值,显然此时直线 kx+y-z=0 与 y 轴的交点 应该在点 A 和点 D 之间,而 kAC= -1≤-k≤1,解得 k∈[-1,1].

2 ?1 2?0 ? 1 ,kBD=kBC= ? 1 ,直线 kx+y-z=0 的斜率为-k,所以 1? 0 1? 3

第4页

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8. 【答案】 a ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 或a ? 2 2
2

【解析】问题即 f '( x) ? (a ? 1) x ? ax ? 当 a―1=0 时满足;

1 ? 0 有解. 4

当 a―1≠0 时,只需Δ =a +(a-1)>0,解得 a ?
2

?1 ? 5 ?1 ? 5 或a ? . 2 2

9. 【答案】

7 或2 2

【解析】若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|= 2 5 解得|PF1|=

PF1 14 4 7 ,|PF2|= .∴ = . PF2 3 3 2

若∠F1PF2=90° ,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2. 解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴

PF1 PF2

=2.

综上,

PF1 PF2



7 或 2. 2

10. 【答案】

7 12

【解析】∵m>0,n>0, ∴a=(m,n)与 b=(1,-1)不可能同向. ∴夹角 θ≠0.∴θ∈(0,

? ]?a· b≥0,∴m≥n. 2

当 m=6 时,n=6,5,4,3,2,1; 当 m=5 时,n=5,4,3,2,1; 当 m=4 时,n=4,3,2,1; 当 m=3 时,n=3,2,1; 当 m=2 时,n=2,1; 当 m=1 时,n=1; ∴概率是

6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 7 = 6?6 12
2

11.【解析】原不等式可化为: ax ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 ,

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(1)当 a ? 0 时, x ? ?1 ,即 x ? (??, ?1] ; (2)当 a ? 0 时,不等式化为 ( x ? ∵ a ? 0 ,∴

2 )( x ? 1) ? 0 , a

2 2 ? 0 ? ?1,故不等式解为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) ; a a 2 (3)当 a ? 0 时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a 2 ①当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,不等式解为 x ?{?1} ; a 2 2 ②当 ? ?1 ,即 ?2 ? a ? 0 时,不等式解为 [ ,?1] ; a a 2 2 ③当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,不等式解为 [ ?1, ] ; a a
综上所述,原不等式的解集为:

a ? 0 时, x ? (??, ?1] ;

2 a ? 0 时, x ? (??, ?1] ? [ , ??) ; a 2 ?2 ? a ? 0 时, x ? [ , ?1] ; a
a ? ?2 时, x ?{?1} ;

2 a ? ?2 时, x ? [ ?1, ] . a
12. 【解析】 (1)由已知 S1=a1=a, Sn ? a ? qn?1 ,∴ Sn?1 ? aqn?2 , ∴当 n≥2 时, Sn ? Sn?1 ? a(q ?1) ? qn?2 ,即 an ? aqn?2 (q ?1) ,∴ an?1 ? aqn?1 (q ?1) , ∴

an ?1 ?q, an

∴当 n≥2 时,{an}为公比为 q 的等比数列. (2) a2 ? S2 ? S1 ? a(q ?1) ,∴ an ? ? ∴当 a=2 , q ?
50

?a ?a(q ? 1)q
n?2

n ?1 n?2

.

1 时, b1 ? log2 | a |? 50 ,n≥2, 2 1 1 bn ? log 2 | an |? log 2 | 250 ( ? 1)( ) n ? 2 |? 51 ? n . 2 2

∴ bn ? 51 ? n (n ? N*) . ①当 1≤n≤51 时,

第6页

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| b1 | ? | b2 | ? ?? | bn |? (51 ?1) ? (51 ? 2) ? ?? (51 ? n)
? 51n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 51n ?
②当 n≥52 时,

n(n ? 1) n(101 ? n) ? . 2 2

| b1 | ? | b2 | ??? | bn |? (50 ? 49 ? 48 ? ?? 1) ? [1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ? 51)]
? 50 ? 51 (n ? 51)(n ? 50) n(n ? 101) ? ? ? 2550 . 2 2 2

? n(101 ? n) (1 ? n ? 51) ? ? 2 ∴ | b1 | ? | b2 | ? ? ? | bn |? ? ? n(n ? 101) ? 2550 (n ? 52) ? ? 2
13.【解析】 (1)不等式 f ( x) ? 0 ,即 ? 整理得,(x-2a)·ax<0. ①当 a ? 0 时,不等式 x(x-2a)<0 的解集为{x|0<x<2a}. ②当 a ? 0 时,不等式 x(x-2a)>0 的解集为{x|x<2a 或 x>0}. 又由已知有 x>0, 故综上可知, 当 a>0 时原不等式的解集为{x|0<x<2a}; 当 a<0 时原不等式的解集为{x|x>0}. (2)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在(0,+∞)上恒成立,

1 2 ? x ? 2a ? ? 0 ,即 ?0. a x ax

1 2 ? ? 2 x ? 0 在(0,+∞)上恒成立, a x 1 1 于是 ? 2( x ? ) 在(0,+∞)上恒成立. a x 1 又 x>0,∴ 2( x ? ) 的最小值为 4. x 1 1 ∴ ? 4 ,解得 a<0 或 a ? . a 4
即? 14. 【解析】 (1) a ? b ? cos

? ?

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x . 2 2 2 2

? ? 3 x 3 x | a ? b |? (cos x ? cos )2 ? (sin x ? sin )2 ? 2 ? 2cos2x ? 2 cos2 x 2 2 2 2

第7页

共9页

∵ x ? [0,

?
2

? ? ] ,∴ cos x ? 0 ,∴ | a ? b |? 2cos x .

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ,即 f ( x) ? 2(cos x ? ? )2 ?1 ? 2? 2 ∵ x ? [0,

?
2

] ,∴ 0 ? cos x ? 1 ,

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值-1,这与已知矛盾.
2 ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 ? 2? ,

由已知得 ?1 ? 2? ? ?
2

3 1 ,解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4? , 由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ? 15. 【解析】

3 5 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

1 即为所求. 2

b2 (1)当 AC 垂直于 x 轴时, | AF2 |? , a
又∵|AF1|∶|AF2|=3∶1, ∴ | AF1 |?

3b 2 4b 2 ? 2a , ,从而 | AF1 | ? | AF2 |? a a
2 2

∴a =2b ,∴a =2c ,∴ e ?
2 2

c 2 . ? a 2
2 2 2

(2)由(1)得椭圆的方程为 x +2y =2b ,焦点坐标为 F1(-b,0) ,F2(b,0). ①当 AC、AB 的斜率都存在时,设 A(x0,y0) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 则 AC 所在的直线方程为 y ?

y0 ( x ? b) , x0 ? b

y0 ? ? y ? x ? b ( x ? b) 2 2 2 由? 得 ( x0 ? 2 y0 ? 2bx0 ? b2 ) y2 ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b2 y0 ?0. 0 ? x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 ?
又 A(x0,y0)在椭圆 x +2y =2b 上,∴ x0 ? 2 y0 ? 2b ,
2 2 2

2

2

2

则有 (3b ? 2bx0 ) y ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b y0 ? 0 .
2 2 2 2

∴ y0 y2 ? ?

2 b2 y0 , 3b2 ? 2bx0

第8页

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y2 b , ?? y0 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 | AF2 | y0 , ? ? | F2C | ? y2 b

故 ?2 ?

3b ? 2 x0 ,∴ ?1 ? ?2 ? 6 ; b 3b ? 2b ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; ②若 AC⊥x 轴,则 ?2 ? 1 , ?1 ? b
同理可得 ?1 ? ③若 AB⊥x 轴,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 . 综上可知 ?1 ? ?2 是定值 6.

第9页

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