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2015高考数学二轮复习热点题型专题五 函数的单调性与最值


专题五 函数的单调性与最值 【高频考点解读】 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质. 3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值,比较或求函数值大小,是 高考的热点及重点. 4.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 5.题型多以选择题、填空题形式出现,若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】 题型一 考查函

数的单调性

k 例 1.探讨函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. x

【提分秘籍】 1.函数的单调区间是其定义域的子集. 2.由函数单调性的定义可知,若函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,则当 x1<x2 时, f(x1)<f(x2)((f(x1)>f(x2)).

3.一个函数在不同的区间可以有不同的单调性,同一种单调区间用“和”或“,”连接,不 能用“∪”连接. 4. 两函数 f(x)、 g(x)在 x∈(a, b)上都是增(减)函数, 则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x) 1 的单调性与其正负有关, 与 f(x)是否为 0 有关,切不可盲目类比. fx 5.判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是: 取值 ? 作差商变形 ? 确定符号 ? 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是: 求导函数 ? 确定符号 ? 得出结论 【举一反三】 设 x1,x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③ ④ fx1-fx2 >0; x1-x2 fx1-fx2 <0. x1-x2

其中能推出函数 y=f(x)为增函数的命题为________.

【热点题型】 题型二 求函数的单调区间

例 2. 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=
? ?fx,fx k, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( 2 ?k,fx k ?

)

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 1 1 解析:由 f(x)> ,得-1<x<1,由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2

2 ,x≥1, ? ?1 1 所以 f (x)=?2,-1<x<1, 2 ? ?2 ,x≤-1,
x

-x

1 故 f (x)的单调递增区间为(-∞,-1). 2 答案:C 【提分秘籍】 求函数的单调区间的常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点,最低点,求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值; (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 【举一反三】 1,x>0, ? ? 设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.(-∞,0] C.[1,+∞) B.[0,1) D.[-1,0]

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是(

)

【热点题型】 题型三 【例 3】 由函数的单调性求参数的范围 (1)定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( )

A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(-4)<f(-π)<f(3)
? ?a- x-1,x≤1 (2)已知函数 f(x)=? ,若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值 ?logax,x>1 ?

范围为________.

【提分秘籍】 单调性的应用常涉及大小比较,解不等式,求最值及已知单调性求参数范围等问题,解 决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用. 【举一反三】 a 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a x1-x2 2 2 (2)设 x2>x1≥2,则 f(x1)-f(x2)=x1 + -x2 - = [x x (x +x )-a], x1 x2 x1x2 1 2 1 2 由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0, x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16. 【热点题型】 题型四 函数的最值问题(换元法)

a 1 例 4、已知函数 y=-sin2x+asin x- + 的最大值为 2,求 a 的值. 4 2

【提分秘籍】换元法解题模板 第一步:换元 确定解析式中的某一部分作为一个新的变元 第二步:定范围 根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围 M. 第三步:转化 将问题转化为关于新变元的一个函数在区间 M 上的最值问题. 第四步:求最值 利用基本初等函数求最值得原函数的最值. 【举一反三】

求 y=x- 1-2x函数的值域:

题型四

函数的最值问题(数形结合法)

例 5、用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,则函数 f(x)=min{4x+1,x+4, -x+8}的最大值是________.

【答案】6 【提分秘籍】数形结合法解题模板 对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题,解题步骤是: 第一步:数变形 根据函数解析式的特征,构造图形转化为求几何中的最值. 第二步:解形 利用几何方法解决图形中的最值. 第三步:还形为数 将几何中的最值还原为函数的最值. 第四步:回顾反思 利用数形结合法求解函数最值,其实质就是利用函数图象或借助几 何图形求解函数最值,关键在于把握函数解析式的结构特征. 【举一反三】 函数 y= x+ 2+16+ x- 2+4的值域为________.

【高考风向标】 1. (2014· 北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1)2 C.y=2
-x

)

D.y=log0.5(x+1)

【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得,选项 B 中的函数在(0,1)上递减,选项 C,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除 B,C,D,选 A.
?x2+1,x>0, ? 2. (2014· 福建卷)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ? ?cos x, x≤0,

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

3. (2014· 四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=
?-4x2+2,-1≤x<0, ? 3? ? 则 f? 2?=________. ? ? x , 0≤ x <1 , ?

3? ? 1? ? 1? 1 2 2- =f - =-4?- ? +2=1. 【答案】1 【解析】由题意可知,f? = f ?2? ? 2? ? 2? ? 2? 4. (2014· 四川卷) 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 φ(x) 组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例 如,当 φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④ 【解析】若 f(x)∈A,则 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈R,一定 存在 a∈D,使得 f(a)=b,故①正确. 取函数 f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在 M=1,使得 f(x)的值域包含 于[-M,M]=[-1,1],但此时 f(x)没有最大值和最小值,故②错误.

5. (2014· 四川卷)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数 的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.

(2)设 x0 为 f (x)在区间(0,1)内的一个零点, 则由 f(0)=f(x0)=0 可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.

?x2+2x+a,x<0, ? 6. (2013· 四川卷)已知函数 f(x)=? 其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1)), ?lnx,x>0, ?

B(x2,f(x2))为该函数图像上的两点,且 x1<x2. (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,求 x2-x1 的最小值; (3)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 【解析】(1)函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).

7. (2013· 四川卷)设函数 f(x)= ex+x-a(a∈R,e 为自然对数的底数).若曲线 y=sinx 上存在(x0,y0)使得 f(f(y0))=y0,则 a 的取值范围是( A.[1,e] B.[e 1-1,1]


)

C.[1,e+1] D.[e 1-1,e+1]


x3 8. (2013· 四川卷)函数 y= x 的图像大致是( 3 -1

)

图 1-5

9. (2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形

)

C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0

【随堂巩固】

1.函数 y= 2 ? A.? ?3,+∞? 2 ? C.? ?3,+∞?

1 +lg(2x-1)的定义域是( 3x-2 1 ? B.? ?2,+∞? 1 2? D.? ?2,3?

)

? ?3x-2>0, 2 解析:选 C 由? 得 x> . 3 ?2x-1>0 ?

2.已知集合 A 是函数 f(x)= 集的个数为( A.4 C .8 )

1-x2+ x2-1 的定义域,集合 B 是其值域,则 A∪B 的子 x

B .6 D.16

3.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是 ( )

解析:选 C 由题意知,自变量的取值范围是[0,1],函数值的取值范围也是[0,1],故可排 除 A、B;再结合函数的定义,可知对于集合 M 中的任意 x,N 中都有唯一的元素与之对应, 故排除 D. 4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= x2-2x+1 1 C.y= 2 (x∈N) x +2x+1 )

x+2 B.y= (x∈(0,+∞)) x+1 1 D.y= |x+1|

5.已知等腰△ABC 周长为 10,则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y=10-2x,则函数的定 义域为( A.R C.{x|0<x<5} ) B.{x|x>0}
? 5 ? D.?x|2<x<5? ? ?

? ?x>0, 解析:选 C 由题意知? 即 0<x<5. ?10-2x>0, ?

2 6.函数 y= 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x -1 1 ? A.(-∞,0)∪? ?2,2? 1? C.? ?-∞,2?∪[2,+∞) B.(-∞,2] D.(0,+∞)

)

7.已知函数 f(x)=2 x+ 4-x,则函数 f(x)的值域为( A.[2,4] C.[4,2 5 ] B.[0,2 5 ] D.[2,2 5 ]

)

8.函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2]

)

B.[1,2] D.[- 2, 2]

1 10.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=|log x|的定义域为[a,b],值 2 域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________.

11.函数 y= x+1+

x- 0 的定义域是________. -x

12.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 1 1 x- ?2+ , 解析:y= x-x=-( x)2+ x=-? 2? 4 ? 1 即 ymax= . 4 1 答案: 4 13. 已知函数 f(x)的定义域为[0,1], 值域为[1,2], 则函数 f(x+2)的定义域为____________, 值域为__________. 解析:由已知可得 x+2∈[0,1],故 x∈[-2,-1],所以函数 f(x+2)的定义域为[-2,- 1].函数 f(x)的图象向左平移 2 个单位得到函数 f(x+2)的图象,所以值域不发生变化,所以函 数 f(x+2)的值域仍为[1,2]. 答案:[-2,-1] [1,2] 14.求下列函数的值域. 1-x (1)y= ;(2)y=2x-1- 13-4x. 2x+5

1 15.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a、b 的值. 2 1 1 解:∵f(x)= (x-1)2+a- ,∴其对称轴为 x=1. 2 2 即[1,b]为 f(x)的单调递增区间. 1 ∴f(x)min=f(1)=a- =1① 2 1 f(x)max=f(b)= b2-b+a=b② 2 3 ? ?a=2, 由①②解得? ? ?b=3. 16.已知函数 g(x)= x+1, h(x)= =g(x)· h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 1 ,x∈(-3,a],其中 a 为常数且 a>0,令函数 f(x) x+3

17.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单位:千米/小时).假 x2 2+ ?升,司机的工资是每小时 14 元. 设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油? ? 360? (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

18.若函数 f(x)=

2 a2- x2+a- x+ 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. a+1


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