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例谈数列“裂项相消求和法”


. r   一  L 、 一  . 竺 ! ±   二  = : =   丝   a1   a n +1   d   a1 a   +1   a1 nH +1 。   d   健 谈 羧   ( 充 分性 证 明略 ) .   勘毒   舅   裂 臻 撵   乘 和 罄   ●   ‘   通 项 可 以分 解 为等 差数 列 2项 倒 数 的 差 , 配乘 一个 适  当的系数 , 通过 裂项 , 前 后正 负相 消 , 对 数 列求 和.   2   础:   n   口   + j D   + r   一 嘉c q     。 去 a n D   n  N 一   a   +   o   n + 5   I . ◇ 安徽 孔 祥 士  ●0  ;   例 2 ( 2 0 1 0年 湖南卷 )给 出下 面 的数 表 序列 :   数列 “ 裂项相消求和法” 是 高 中 数 列 求 和 的 一 种  基本 方法 . 但它并不是一成不变的, 而 是 常 有 活水 注  入, 千 变万 化. 我 们 可 以从 这 些 变 化 的 试 题 中得 到启  发, 只有保 持 永远 活跃 的思 维 , 接 受 种种 不 同 的形式 ,   不 断汲取 鲜活 的知 识 , 方 能才 思 不断 , 新水 长流 .   1   通 项为等 差 、 等 比数 列几项 乘积 的倒 数  表 l   1   表 2   1   3   4   表3   1   3   5   4   8   1 2   ……  其 中表  ( 2 / —1 , 2 , 3 , …) 有  行 , 第 1行 的 n个 数 是  若数 列 { a   ) 是 公 差 为 d的等 差 数 列 , 且公差 d ≠  0 ; 数列{ b   } 是公 比为 q的 等 比数 列 , 且公 比 q ≠ 1( s 、   t 、 m 为 常数 , 且 s 、 t ∈N  ) .   l , 2 , 3 , …, 2  一 1 , 从 第 2行起 , 每 行 中的 每 个 数 都 等  于它肩 上 的两 数之 和.   ( 1 )写 出表 4 , 验 证 表 4各 行 中数 的 平 均 数 按 从  1 )形如 :   《  . ,0  一m  (1 一 一   )   上 到 下 的顺 序 构 成 等 比数 列 , 并 将 结 论 推 广 到 表  (   ≥3 ) ( a q 要求 证 明) ;   例 1 ( 2 0 1 0年安 徽卷 )设 数 列 a   , a   , …, a   , …  ( 2 )每个 数列 中最 后 一 行 都 只 有 一 个 数 , 它 们 构  成 数列 1 , 4 , 1 2 , …, 记 此数 列 为 ( b   } , 求和 :   +  + . . . +  (  ∈   .   中 的每一 项都 不为 0 . 证明: { a   } 为等差 数 列 的充 分 必  要条 件是 : 对任 何  ∈N  , 都有  — _ +—l 1 _ +… + . _L 一 一—  .   n 1a 2   a2 aa   a na  n十1   a 1a  + 1   思路点 拨 类 比表 1 、 表 2 、 表 3 , 易 得表 4及 推广  思 路点 拨  必 要性 的证 明 , 由{ a   } 为等 差数 列 推  结论 : 表  中每行 数 的均值 从上 到下 组 成首 项 为 

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