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北师大版高一数学必修4第一章第八节《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》+课件.ppt


探究:
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么 特征? 2、A,ω,φ对图象又有什么影响?

3、如何作出函数y=Asin(ωx+φ)的图 象? 4、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y= sinx的图象又有什么关系呢?

例1画出函数y=2sinx, x∈R , y= 1 sinx,x∈R的简图
2
解:列表

x
sinx

0

?
2

3? ? 2? 2
0

0

1
2
1 2

?1

0 0

y
2
1 2 1 ? 2

y ? 2 sin x y ? sinx

2sinx 0
1 1 y ? sin x s i n x 2 2 3?
2
2?

0 ?2
1 0 ? 2

1

0

0

o

?1
?2

? 2

?

x

提问:观察讨论上述三个函数图象及所列的表格,什么 发生了变化?它又是怎样变化的?与系数A有什么关系? 什么没有变?

上述变换可简记为: y=sinx的图象
所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变)

y=2sinx的图象

1 y= sinx的图象 所有点的纵坐标缩短到原来的1/2倍y=sinx的图象 2
(横坐标不变)

结论: 一般地,函数y=Asinx,

x∈R (其中A>0且 A≠1)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐 标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 A倍(横坐标不变)而得到。函数y=Asinx, x∈R 的 值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。

注:A引起图象的纵向伸缩,它决定函数的最大(最小) 值,我们把A 叫做振幅。

1. 已知函数y ? 3 sin x的图象为C.

为了得到函数y ? 4 sin x的图象, 只要 ? 把C上所有的点 ? ?

C ? ?
?

4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

例2
x+
X
?
3

画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R ? Y=Sin(X- 4 ) ,X∈R 的简图。
0
-π/3 0 0 π/4 0

?

π/2
π/6 1 π/2 3π/4 1

π
2π/3 0 π 5π/4 0

3π/2
7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1


5π/3 0 2π 9π/4 0

? Sin(X+ 3) x- ?
4

? Sin(X- 4)

X

1
? ? 2

Y
7? 6

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

? ? 3

O

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

-1

函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.

y=sinx

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? |个单位

y=sin(x+?)

注: ?引起图象的左右平移,它改变图 象的位置,不改变图象的形状.φ叫做 初相.

练习 1. 若将某函数的图象向右平移
? 图象的函数式是y=sin(x+ 4 ? 以后所得到的 2

),则原来的函数

表达式为( A )
3? A. y=sin(x+ ) 4 ?

B. y=sin(x+? )
2

C. y=sin(x-

4

)

? D. y=sin(x+ 4

? )- 4

2.已知函数 y ? 3 sin( x ?

?
5

)的图象为 C.

为了得到函数 y ? 3 sin( x ? 把 C 上所有的点

?
5

)的图象 , 只要

( C)
?

( A)向右平行移动

( B)向左平行移动

?

5

个单位长度 .

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度 . 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度 . 5

个单位长度 .

例3画出函数y=sin2x, x∈R ,y= sin 1 x,x∈R的简图
1) 列表:
2

2x

0 0

? ?
2

?

x

?
2

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

x
sin 1 2

?

2? 3? 4?

sin 2 x 0

1

0 ?1 0
y=sin2x

0

1

0 ?1

0

2) 描点、连线:

y

1

y ? sin x

o
?1

? ? 3? 4 2 4

?

3? 2

2?

y ? sin1 x 2

4?

3?

x

上述变换可简记为:
所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍 Y=sinx的图象 y=sin2x的图象 (纵坐标不变) 所有点的横坐标伸长到原来的2倍 Y=sinx的图象 y=sin 1 x的图象 2 (纵坐标不变)

结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长 (当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω 倍(纵坐标不变)而得到.
y=sinx, x∈R
横坐标伸长(0 < w < 1) 1 或缩短 (w > 1) w 倍
纵坐标不变

y=sinω x, x∈R

注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横 向伸缩(可简记为:小伸大缩).

例4、如何由

方法1:

y ? sin x 图象变换得 ? y ? 3 sin ( 2 x ? )的图象? 3
1 2

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法1: (按w , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

方法2:
?

函数 y=sinx

(1)向左平移 3
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3 ? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 (3)横坐标不变



纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , w , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

y ? sin x ?? ? y ? sin(w x ? ? )

1、若先平移再伸缩,则平移的单位:

?

? 2、若先伸缩再平移,则平移的单位: w

x ? 思考:怎样由 y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( ? )的图象? 2 6

y ? sin x
途径一:

所有点的横坐标

伸长为原来的2倍 所有的点向右 平移多少个单位? 所有点的纵坐标 伸长为原来的2倍

y ? sin x
途径二:

所有的点向右 平移多少个单位? 所有点的横坐标 伸长为原来的多少倍? 所有点的纵坐标

伸长为原来的多少倍?

x y ? sin 2 x ? y ? sin( ? ) 2 6 x ? y ? 2 sin( ? ) 2 6 ? y ? sin( x ? ) 6 x ? y ? sin( ? ) 2 6 x ? y ? 2 sin( ? ) 2 6

总结: y=sinx

y=Asin(wx+?)

方法1:(按 ω, ? , A 顺序变换)
横坐标缩短w>1 (伸长0<w<1)到原来的1/w倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sinwx

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/w个单位

? ? ? y ? sin (wx ? ? ) ? sin ?w ( x ? )? w ? ?
y=Asin(wx+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y=Asin(wx+?) 总结: y=sinx 方法2:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短w>1 (伸长0<w<1)到原来的1/w倍 纵坐标不变

y=sin(wx+?)

横坐标不变

y=Asin(wx+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

练习:
x y ? sin , x ? R 的图象,只需把正弦曲线上的所有的 1.为了得到函数 5 点的( A )
A.横坐标伸长到原来的5倍,纵坐标不变. 1 B.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变. 5 C.纵坐标伸长到原来的5倍,横坐标不变. 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变. 5

1 2.为了得到函数 y ? sin x , x ? R 的图象,只需把正弦曲线上的所有的 4 点的( D )
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变.
1 B.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变. 4

C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变. 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变. 4

3、 要得到函数 y ? sin( 3x ? 5 ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 3x 的图象 (D ) ? A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 ? C.向左平移个 15 单位 ? D.向右平移个 15 单位

?

x ? x 4.要 得 到 函 数 y ? si n ( ? )的 图 象 , 可 由y ? si n 2 6 2 ? 的图象 ?C ? ? ? ? ? A. 向 右 平 移 6 ? B. 向 左 平 移 6 ? C. 向 右 平 移 3 ? D. 向 左 平 移 3

? 5.已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5

? 为了得到函数 y ? 3 sin ( 2x ? )的 图 象, 只 要 5 ? 把C上 所 有 的 点 ? B ? ? ? ? ( A )横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍, 纵 坐 标 不 变 1 (B )横 坐 标 缩 短 到 原 来 的倍, 纵 坐 标 不 变 2 (C)纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍, 横 坐 标 不 变 1 ( D)纵 坐 标 缩 短 到 原 来 的倍, 横 坐 标 不 变 2

? ? 6.把y ? sin ( 2x ? )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 , 3 6 ? ? 这 时 图 象 所 表 示 的 函为 数? D ? ? ? ? A. y ? sin ( 2x ? ) 2 ? B. y ? sin ( 2x ? ) 6 3 C. y ? sin ( 2x ? ) 2 D. y ? sin2x


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