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北京市西城区2015年高三一模数学(文)试题


北京市西城区 2015 年高三一模试卷



学(文科)
共 40 分)

2015.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {0,1} ,集合 B

? {x | x ? a} ,若 A (A) a≤1 (B) a≥1

B ? ? ,则实数 a 的范围是(
(C) a≥0 (D) a≤0



2.复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限



3.关于函数 f ( x) ? log3 (? x) 和 g ( x) ? 3? x ,下列说法中正确的是( (A)都是奇函数 (C)函数 f ( x) 的值域为 R (B)都是偶函数



(D)函数 g ( x) 的值域为 R

4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 n 的值为______. (A) 4
开始

(B) 5 (C) 6 (D) 7
输入 x
n ?1

x ? 100
否 x=3x n=n+1



输出 n

结束

1 / 12

5. 设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x2 ? ( y ? 6)2 ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为( (A) 2 2 (C) 4 2 (B) 3 2 (D) 4



6.设函数 f ( x) 的定义域为 R ,则“ ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ”是“函数 f ( x) 为增函数”的 ( ) (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( (A) 7 (B) 15 2 (C) 23 3 (D) 47 6 2 1 1

) 1 1 1 侧(左)视图

正(主)视图 1 1 2 2 俯视图

8. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和 小于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( (A)2 枝玫瑰的价格高 (C)价格相同 )

(B)3 枝康乃馨的价格高 (D)不确定

2 / 12

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____. 10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期是____.

1 成立的概率为____. 11.在区间 [?2,1] 上随机取一个实数 x,则 x 使不等式 | x ? 1| ≤
12.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是抛物线 y2 ? 8x 的焦点,且双曲线 C a 2 b2

的离心率为 2 ,那么双曲线 C 的方程为____;渐近线方程是____.

? 1 x ? 0, ?x ? , x 13. 设函数 f ( x) ? ? 则 f [ f (?1)] ? ____;函数 f ( x) 的极小值是____. ?? x 2 ? 4 x, x ? 0. ?
14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品 3 件,二等奖奖品 6 件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异. 现有 甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原 料有限,最多只能制作 4 件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情况如下表: 奖品 收费(元/件) 工厂 甲 乙 则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 500 800 元. 400 600 一等奖奖品 二等奖奖品

3 / 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图, 在 ?ABC 中,?ABC ? 90 ,AB ? 4 ,BC ? 3 , 点 D 在线段 AC 上, 且 AD ? 4 DC . (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求 sin ?CBD 的值. A

D B 16. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a3 ? 2 , S5 ? a7 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及 Sn ; (Ⅱ)若 a4 , a4 ? m , a4 ? n ( m, n ? N* )成等比数列,求 n 的最小值. C

17. (本小题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF //AD , 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且 BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明: AG ? CD ; (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且

AM MC

?

1 3

,求证: GM //平面 ABF ;

(Ⅲ)已知空间中有一点 O 到 A, B, C , D, G 五点的距离相等,请指出点 O 的位置. (只 需写出结论) F A B C G E

D

4 / 12

18. (本小题满分 13 分) 2014 年 12 月 28 日开始, 北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表( . 不 考虑公交卡折扣情况)
乘公共电汽车 方案 10 公里(含)内 2 元; 10 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 5 公里(含). 6 公里(含)内 3 元; 乘坐地铁方案 (不含机场线) 6 公里至 12 公里(含)4 元; 12 公里至 22 公里(含)5 元; 22 公里至 32 公里(含)6 元; 32 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 20 公里(含).

已知在北京地铁四号线上, 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元, 现从那些只乘坐四 号线地铁, 且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人, 他们乘坐地铁的票价统计如图所示. (Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶
人数

然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘坐地 铁的票价小于 5 元的概率;

60 50 40 30 20 10 O 3 4 5 票价(元)

(Ⅱ)已知选出的 120 人中有 6 名学生,且
这 6 人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价 从 这 ... . .120 人中 分层 抽样 所选的结果相同,现从这 6 人中随机 .. .. .. 选出 2 人,求这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率;

(Ⅲ)小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽 车所花交通费也是 5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 s 公里,试 写出 s 的取值范围.(只需写出结论)

19. (本小题满分 14 分) 设点 F 为椭圆 E: 的离心率为

3 x2 y 2 点 P (1, ) 在椭圆 E 上, 已知椭圆 E ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点, 2 2 a b

1 2

.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设过右焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,记 ?ABP 三条边所在直线的 斜率的乘积为 t ,求 t 的最大值.

5 / 12

20. (本小题满分 13 分) 设 n ? N ,函数 f ( x) ?
*

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是否为单调函数,并说明理由; (Ⅱ)若当 n ? 1 时,对任意的 x1, x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 成立,求实数 t 的 取值范围; (Ⅲ)当 n ? 2 时,若存在直线 l: ,使得曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分 y ? t( t ? R ) 别位于直线 l 的两侧,写出 n 的所有可能取值. (只需写出结论)

北京市西城区 2015 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.A 2.C 6.B 3.C 7.D 4.B 8.A

2015.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 11. 13. 10. π 12. x 2 ?

1 3

y2 ?1 3

y ? ? 3x

10 3

2

14. 4900

注:第 12,13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分)
? (Ⅰ )解:因为 ?ABC ? 90 , AB ? 4 , BC ? 3 ,

所以 cos C ?

3 4 , sin C ? , AC ? 5 , 5 5

?????? 3 分 ?????? 4 分

又因为 AD ? 4 DC ,所以 AD ? 4 , DC ? 1 . 在 ?BCD 中,由余弦定理,

6 / 12

得 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C
2 2 2

?????? 7 分

3 32 ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? ? , 5 5
所以 BD ?

4 10 . 5
CD BD ? , sin ?CBD sin C

?????? 9 分

(Ⅱ)在 ?BCD 中,由正弦定理,得

1 所以 ? sin ?CBD

4 10 5 , 4 5
10 . 10

?????? 12 分

所以 sin ?CDB ?

?????? 13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设公差为 d ,

?a1 ? 2d ? 2, ? 由题意,得 ? 1 5a1 ? ? 5 ? 4d ? a1 ? 6d , ? ? 2
解得 a1 ? ?2 , d ? 2 , 所以 an ? ?2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 4 ,

?????? 4 分

???????5 分 ??????? 6 分 ??????? 7 分

1 Sn ? ?2n ? n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 3n . 2
(Ⅱ)解:因为 a4 , a4? m , a4? n 成等比数列,
2 所以 a4 ? m ? a4 a4? n ,

??????? 9 分 ??????? 10 分 ??????? 11 分

即 (2m ? 4)2 ? 4(2n ? 4) ,

1 化简,得 n ? (m ? 2)2 ? 2 , 2 1 考察函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 2 ,知 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2
又因为 f (1) ?

5 , f (2) ? 6 , n ? N* , 2
?????? 13 分
7 / 12

所以当 m ? 2 时, n 有最小值 6.

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点, 所以 AG ? EF . 又因为 EF //AD , 所以 AG ? AD . 因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ???????2 分 平面 ABCD ? AD , ???????1 分

AG ? 平面 ADEF ,
所以 AG ? 平面 ABCD . 因为 CD ? 平面 ABCD , 所以 AG ? CD . ??????5 分 ???????4 分

(Ⅱ)证明:如图,过点 M 作 MN // BC ,且交 AB 于点 N ,连结 NF , 因为

AM MC

=

1 3

,所以

MN BC

?

AM AC

=

1 4



??????6 分

因为 BC ? 2 EF ,点 G 是 EF 的中点, 所以 BC ? 4GF , 又因为 EF //AD ,四边形 ABCD 为正方形, 所以 GF // MN , GF ? MN . 所以四边形 GFNM 是平行四边形. 所以 GM //FN . ?????8 分 B A N M C D F G E

又因为 GM ? 平面 ABF , FN ? 平面 ABF , 所以 GM //平面 ABF . (Ⅲ)解:点 O 为线段 GC 的中点. ??????11 分 ??????14 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元”,

??????1 分

4 元、 5 元的人数分别为 60 ,40 ,20(人) . 由统计图可知, 得 120 人中票价为 3 元、 所以票价小于 5 元的有 60 ? 40 ? 100 (人).

??????2 分

8 / 12

故 120 人中票价小于 5 元的频率是

100 5 ? . 120 6

所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 P( A) =

5 . 6

??????4 分 ??????5 分

(Ⅱ)解:记事件 B 为“这 2 人的票价和恰好为 8 元”,

由统计图,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数比为 60 : 40 : 20 ? 3 : 2 :1 ,
则 6 名学生中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 3,2,1(人). ???6 分

记票价为 3 元的同学为 a, b, c ,票价为 4 元的同学为 d , e ,票价为 5 元的同学为 f , 从这 6 人中随机选出 2 人,所有可能的选出结果共有 15 种,它们是: (a, b), (a, c) ,

(a , d ) , a( e ,

)a , (f ,

b ) , c ( , b )d, ( b , e) , ( b , f ) , c( d,

)c, e ( , c) ( ,f ,( ,) d )e, ( , ,
??????8 分 ???9 分

),

(d , f ) , e ( f, . )

其中事件 B 的结果有 4 种,它们是: (a, f ), (b, f ), (c, f ), (d , e) . 所以这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率为 P( B) ?

4 . 15

?????? 10 分
??????13 分

(Ⅲ)解: s ? (20, 22] .

19.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ)解:设 c ?

a 2 ? b2 ,由题意,得

c 1 ? , a 2
???????2 分

所以 a ? 2c , b ? 3c .

则椭圆方程为

x2 y2 ? ?1, 4c 2 3c 2

又点 P (1, ) 在椭圆上, 所以

3 2

1 3 ? 2 ? 1 ,解得 c 2 ? 1 , 2 4c 4c
?????? 5 分 ?????? 6 分 ??? 7 分

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆方程为 4 3
(Ⅱ )解:由题意,直线 l 的斜率存在,右焦点 F (1, 0) ,

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

9 / 12

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 消去 y , ? ? 1, ? 3 ?4
得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 由题意,可知 ? ? 0 ,则有 x1 ? x2 ? ?????? 8 分 ??? 9 分

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以直线 PA 的斜率 k PA 所以 t ? kPA ? kPB ? k

3 3 y2 ? 2 ,直线 PB 的斜率 k ? 2 , ???? 10 分 ? PB x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

3 3 y2 ? 2? 2 ?k ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?
3 3 [k ( x1 ? 1) ? ] ? [k ( x2 ? 1) ? ] 2 2 ?k ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 3 9 k 2 [ x1 x 2 ? ( x 1 ? x )2? 1] ? k ( x ? 1 x ?22) ? 2 4 ?k ? x1 x 2 ? ( x 1 ? x )2? 1

3 9 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 4 ]? k ? [k ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
2

3 3 ? (?k ? ) ? k ? ?k 2 ? k . 4 4
即 t ? ?k ?
2

?????? 12 分

3 3 9 k ? ?( k ? ) 2 ? , 4 8 64 3 8 9 . ??14 分 64

所以当 k ? ? 时, ?ABP 三条边所在直线的斜率的乘积 t 有最大值

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. 求导,得 f ?( x) ? ???????1 分 ???????2 分

1 ? n ln x , x n ?1
1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e n .
10 / 12

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

1

1

(0, e n )

en
0

(e n , ??)

1

?

1

?

1

f ( x)

所以函数 f ( x ) 在区间 (0, e n ) 上为单调递增,区间 (e n , ??) 上为单调递减. 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. (Ⅱ )解:当 n ? 1 时,函数 f ( x) ? ???????4 分

ex ln x , g ( x) ? ,x ? 0. x x

由题意,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 恒成立, 只需当 x ? (0, ??) 时, f ( x)max ≤t≤g ( x)min . 因为 f ?( x) ? ???????5 分

1 ? ln x . x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

(0, e)

e
0

(e, ??)

?


?
↘ ???????7 分

f ( x)
所以 f ( x) max ? f (e) ? 又因为 g ?( x) ?

1 . e

e x ( x ? 1) . x2

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

x

(0,1)

1

(1, ??)

11 / 12

g ?( x )

?


0

?
↗ ???????9 分 ???????10 分 ???????13 分

g ( x)
所以 g ( x)min ? g (1) ? e . 综上所述,得 ≤t≤e .

1 e

(Ⅲ )解:满足条件的 n 的取值集合为 {3, 4} .

12 / 12


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