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2003美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛


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中 等 数 学 

20 美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛  03
美国南卡 罗来纳大学每年主办一次全州范围 内   的高中数学竞赛, 目的是为一年 一度 的全美数 学联  赛选拔 队员, 竞赛成绩也作为评定学生奖学金 的依 
据之 一 .  

如 图 2 一圆 内切于  . ,
四边形 A C 且 A B D, B=1, 6 

C D=1. 四边形 的周长  0则
是(   ) .   ( )2 B 5  ( )6 0 5 
图2  

1如果 2 × 8 ×  贝 n=( . 4 3 =n 6 ,   

) .  

()   A5 0 ( )4 C 5  ( )8 E 5 

( )2 ( )   ( )7 ( )4 ( )1 A 1  B 2 4 C2  D 5  E 8 

2某三角形两边的长度分别为 2 9则第三边  . 和 , 的长度是(   ) .  

1. 0凯西、 鲍勃、 大卫是同一科学小组的成员, 现 
在他们要做一道判断题 , 三人独立答题 , 凯西、 鲍勃 

( )  ( )  ( )  ( )2 ( )4 A4 B6 c8 D1   E1  

3一件衬衫的价格在原价 1 美元的基础上减 . 0 0  
少了 4%, 0 某顾客在享有此价格的基础上又获得 了   2%的优惠. 0 试问该顾 客在南卡罗来 纳州的免税 日  

答对题的概率都是 8%, 0 大卫答对 题的概率是 
5 %, 0 当两个或三个人都答对题时才算小组回答正   确. 那么, 小组答对题的概率是(   ) .  
( )0 ( )4 ( )2 ( )5 ( )0   A 6 % B 6 % C7 % 0 7 % E 8 %

买这件衬衫要花去(  
( )4 A4

) 美元.  

( )5 ( )6 ( )7 ( )8 B 4  c 4  D 4  E 4 

l. 1 对于任意实数 o 定义[ ] , o 为小于或等于 。  
的最大整数 , ,49 = ,5 =5如果 实数  、, 例如 [.] 4 [] . ,  

4某 多边形 的每个角  .

都是直角, 且有两条边 的 1     长度分别为 1、6 如图 1 21(  
所示)则多边形 的周 长为  .
(   ) .   图1  

满足[ ] 9   = , ] 1,  + , 最大可能值是    = 2则[ , 的 ]
(   ) ,   ( )2 ( )4 ( )5 ( )6 ( )7  A 25 B 22 C 26 D 28 E 20

1. 2已知 n b为整数 . 、 如果 口  一b =203则     0,

( )0 ( )2 ( )4 ( )6 ( )8 A 5  B5  c 5  D 5  E 5 

n +b 的值是(      

) .  

5下列图形中面积最大的是( .   () A 半径为 3 的圆  () B边长为 5的正方形 

) .  

0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0  ( )  4 0  A 2 6 5 B 2 504 c 2 0  3 0 0 0 ( )  3 0 ( ) 0  1 0 2 0  2 E 2 20   0 0 0 0

1. 3如图3两条相互垂直  ,
的直线相交于半径为 1 的圆的 

() c长和宽分别为3 9 和 的长方形  () D边长分别是 681 的直角三角形  、、 0
() E边长为 7的等边三角形 
6  . 所在的区间是 (   ) .  

圆心, 且把该圆分成四 部分,   另


厂  
  ‘ /‘  

小圆与其中的一部分相切 .  
) .  

则小 圆的半径是(  

() 0,0 ] A [ 01 0   9  0 ()9  01   0 c[ 0 , 0 0] 00 00   ()2  03  0 E[ 0 , 0 ] 00 00 

()   01 0 ] B[0 ,  0 90 00  ( )   03 0] D[0 ,0   20  0

(  (  A ) { B ) 号
( ) 一1 c    () D  () 一 E2  

图  

7方程( +  一2 =(x .   4 ) 5 一1 )  的相异实根 

1. () (一 ) ( 一 )+ ( 1 1 则  4若, =  1+  2 …+ 一O0     ), , ) 1个根的和是( ) ( 的 0     .  
( )5 ( )9 ( )0 ( )1 ( )2  A 5 B9 C 1 0 Dt 0 E 10

个数是(  
( )  A0

) .  
( )  B1 ( )  C2 ( )  D3 () E4  

8下列数值中最小的一个是( .  
C) A3 ( ) g2 ( 要 Bl o c )


) .  

1已  ,0  , 足x=   , 5 知 、 , 、满 y ÷= 一, . , 且 , ≠ .  
则 + , 值为(   ' 的   ) .  

()   ( 4 Dl 1 E { o 0 )  g

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24 O 年第 3 O 期 

3  7
值是(   ) .  

(一 (一 c ( (   A  B  ) D E ) )1( ) ) 0   导
1已 、是 程l +o 3=一   6 知nb 方 o 3 l x {的 . g 3 g  
两个正根 . n+b的值是 ( 则  
() A  () B  () c 

( )1 ( )3 ( )9 ( )3 ( )7 A 2  B 2  C 2  D 3  E 3 

2. 4Ⅳ是被 5 除余数为 2被 7 、 除余数为 3被 9 、  
除余数为 4的数 中最小 的数 . Ⅳ的各个位上的数  则
字之和是(   ) .   ( )  B8 ( )3 ( )2 ( )0 C 1  D 2  E4  

) .  
() D  () E 

( )  A4

1. 7方程 c   0 03 0 1 =c8 0在[,  ] 85   0 1 上有( 8  
个根 .   ( )1 ( )2 ( )3 ( )4 ( )5 A1   B 1  C 1  D 1  E 1   1. 8一面积为 2 o的圆 

)  

2. 1 1 5在   0 0之间使得 / + 7 4与 /+ ,   7 3有一个  , 大于 1 的公 因数 的正整数 /有( 7   ,
( )  AO ( )  B3 ( )  c5

) . 个 
( )1 E1  

( >  D7

的圆心为 如 图 4所 示 的  固定点 , A C以该圆为  △ B

外 接 圆, | 且 s  

=8 ,  

a  、 y如 图所示 . 、    

则 sI i +i y的 ia+sI s    r   r   n 值为(   ) .  

(警(   A B ) ) 荨
( ( (  c D E ) ) ) 等 号 号
r   n+b  +2 c 9, a =2  

图 4  

{ +   2b 1  b c+ a= 8 ,
L   c+n +2 c 5   6 =2
.  

2 1 )一 )一) 一1  0 一 (  (  …1 ) .  ? ?  
( ) 05 A 2 0  ( )  1 B 10 0
.  

() c 

() D 

() E 

2. 知 , ) 1已 ( 是实函数,   ≠ , ( 满足    且 0又, )

{+ 一 = . 2值 ( ) )   2  ) 是 .   )  的     则
2. 2如果 t     , n = 1 则 s2  + a A: t     n a i(   n


△佃c的 面 积 比 等 于 

图7  

(1 B  (  ( (   A ) c D E ) 丢 ) ) )  ( 号   {
2. 3 已知  、 、 均 为小于 1 yz 0的正整数, 且满足 

(  

) .   ( ): ( ) : (): ( ) : ( ) : A 31 B 1 4 C72 D 1 1 E 1 3 3 45 0 

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3  8

中 等 数 学 

参 考 答 案 
1 E. .  



 

= +1即 X 一   , -  1 因此 ,  


y   =一 3
. 

1 D. 6.  

2.   C. 3.   E.

令 t +l   . =1 o 将原式变形为 只含有底数为 3 g  
的对数的方程 , 有 
1g 3 o 3 


10 6 % × 0 = R 0×O 8 % 4 美元 .  
4.   D.

1g 3+ lg  o3 03

一  

lg 3+ lg  。 o3 03  

l勘 2   0 7

—  

4   3  

5.   A. 6.   B. 8  0  0 10 O 0 0<8   5   2 7 6 4 3 1<1l   f . 0 D( 胂  
7.   D. 8.   B.

∞   一 拿 f += 一+   广 4    甘2 t30 +    +:
∞ 一   +   一

甘( +1( +3 = . t )t ) 0 

所以, + o3 2 l  =t = 或 4 l 3 g +1 0 +0  =t 3 0 g +=.   故 13 o  :一 或 一 ,   戥  g 2 4  = 1 1
. 

这是惟一数值小于 1 的选项 .  
9.   B.

因 ,一  . 此吉 =  
1 C. 7.  

1 E. 0.  

令 A= ., 08则三个人都 回答正确 的概率 为 A×  
A× .=05   凯西和鲍勃 回答正确而大卫 回答错  05 .A ;

令  = 0则问题变为有 多少  ∈[,  , 得  3. 03 ]使 CS x O . O 5 =CS 该等式成立 当且仅 当存在整数  ,     使 
得 5 =2 Ⅱ   ,   x  ± 即
丁  【。 或  了  丌
‘ 

误的概率为 A×A×05 05 凯西和大卫 回答正  .= .A ; 确而 鲍勃 回答 错误 的概率 为 A×05×( —4 = . 1 )  05 ( 一A ; . 1 )鲍勃和大卫 回答正确丽凯 西回答错 误  A 的概率为 A× .×(一A = .A 1 ) 05 1 ) 05 (一A .  


当  为  的整数倍时 , 同时满足上面两式 , 且在  [, ] 03 上有 4个值 . x   当 不为  的整 数倍 时, 有 3     个在  , ] 的值满足  = , 6 [, ] 的  03 上     有 个 03 上   值满足  : . ,+3 6 3   因此 4 + :1.  
1 A. 8.  

所 以, 小组正确的概率为 

05(    ( 一 +A 1 )=A  .[A +A +A 1 A) (一A ] .
1 D. 1.  

因[ =9[] 2则  <1 , <1 ,    ] ,) =1, , 0 Y 6 [ 0 9  +
<29 又  =9 ., =185 6. 95 ) 6 . 时满足条件 .   + , 阻  


2 8. 6   1 A. 2.  

设 圆心为 O 半径为 r由已知条件易得  , .
s   =   2sn口  1   i  


直观的方法 是, 易看 出 a +b :  的尾数 只能 是 

1 2s     i np


1Ts  =8  2i y     n

5因此 , , 只能是( ) A.  
1.   3 C.

=>i =sn口+ ,   +s   i n i y:— n 1   6
.  

设小圆半径为 , 则有  + =( 一   即   1 ),  
+2 一1   =0.  

而 的积 2  =, , 警 圆 面为0 r2 此 , 20 等= . 即 因  
1 E. 9.  

解得  =± 一1   .   因为  > , 以. v —1 0所  =『   2
1 B. 4.  

令  =n+b . +c将三个 等式相加 , 得到  +   = 2即(    +9 =0因为 n b c 是正数, 7 ,  一8( ) . 、、 都   的系数除 以 
贝  > , n+b = . 0 0故 +c 8   注意 n 4 b , =3 = , =1c 满足这个方程组 .  
2 D. 0.  

n次多项式 的根 之和等 于 

的 商的相反数. 原式中, 的系数为 1因此,   . 各个根  
的和为 ’ 系数的相反数 .  一1   的系数为  在( )  中 1在( ,  —l) 中 ’的 系数为 一10 因此 , o” 0, 昕求 为 


原式 =  

×  

‘ 20x 3 20x  4 ×  1 0 ×  2 0   0 20 0   0 2

( —10 =9 . 1 0) 9 



 





 

1 A. 5.  

2×2 0 3—2 0 3‘  0  0  
21 E. .  

由左式知 ' 一 , Y =1如果 , 1右式变 , 1则   . = 一 .  
V  ’  

为  = 一1显然不成立 .   , 因此  =一1故右式变  .

令 =2 = 一 . 设 =     /) /  ) 别   , (, ( 分   =

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2O 年第 3 O4 期 
2得到  +   ,   , 2 :1  一


3  9
2 C. 8.  



:一 . 4 解得  : .     满 足这个 

设这个共 同的和为 S将这 9 . 个和相加 , 得  故  2 : :了 函数 / )   )  9 ( :
式子的条件 .  
2 .   2 D.

9 =1 2 s + +… + + ( +6 9 2 0 +… +i )  


3×4 5=9×1   5.

昕  。 1. 一 5 其中 6 个同内的数字相加得到 
9 0=6   S


2 C. 3.  

1 2 4 5 7 8 ( +6 ? + ) 0+ +g + + 斗 + + + 0 +。   + d   ‘
2 7+4 5+0+ d+ g=7 2+ 0+ d+g.  

令 ^=(0x 0 +z =( f 10 +1y )  +Y  ).   +   因为 
是2 的幂, 也是 5的幂 , 以. 所 它是 1 0的幂 . 因为  又 Ⅳ是一个三位数的平方且 
2  =(   323  ) = 2,  =(   4: 3) =23 ,  
4  :( ) =1 22       4, 0  



因此 , +d 0 +g= 0 2 8  9 —7 =1.
2 B. 9.  

设 n= q ,E{,,}因为  3 +rr 012 .
5 一1 5— )5 + +1 = ×3 ,   =( 1(  5 ) 4 1  

于是 , N=23( 42其他的数太大或太小 ) .  

则存在整数  , 使得 
5 一5 =5  一5 =5(3一1       g    5q )  


因此 , 2Y 4z 3  = , : ,= 是惟一满足条件的答案.  
2 C. 4.  

5(  )5q 5q +… +   ) 1     5 一1 ( 一      +   5 +1 =3  .

因为 , 5除 余数 为 2 可 以设 N=5 v被 , q+2   ( 为整数)则 2 q , N+1 0 + . 5 :1q 5故 整除 2 N+1同  .
理 。N+1 2 能被 7 9整除 , 2 和 则 N+1 能被 5 7   × ×9


5 + 能 被 3 整 除的充 要条件 是 5    1  +n = (  (“ ) 5 一   ) 5 +n 一(“ 5)能被 3 整除 . 1  

当 r 时 , =3 , =0 n q要求 5+n=1   +n能被 3 1   整除, 易见 n= 0 3 是满足条件的最小 n  ; 当 r 时, =1 要求 5+n 5   = +n能被 3 整除 , 1 满  足条件的最小 n 8; 是 8   当 r 时, :2 要求 5 +n=2   5+n能被 3 整除, 1   满足条件的最小 n 6. 是 8  
因此 , =3  n 0
3 B. 0.  

35 1 整除 . ,N+1 1, Ⅳ≥17 又 17 所以 2 ≥35 即 5 . 5 满 

足条件 , , 因此 N=1 , 5 各个位数字之和为 1. 7 3  
2.   5 D.

假设 n +4和 n+3能 同时被 d整除 .   因为 
n + 一( 3 ( 一3 =1,口 n 4和 n+3   4 n+ ) n ) 3女 果  + 有 

大于 1 的公因数, 则一定是 1. 3故只能是存在整数 
使得 n 3 +l 时 , + 才能被 1 整除 . =1k 0 n 3 3 这时 
(3 +1)+4 6 k + 6 k 0  1k 0  =19  20 +14 =1(3  2 k 8  3 1k + 0 + )

如图 8过点 C作  ,
△ A C边 A B B的高 , 垂  足为点  , 过点 ,作  △ M F边  的高 , ) 垂 
足为点 Y 则  .
△ A C △ AF X ∽ Y 

也能被 l 整除 . 3 易知当 ∈ {,,,,,,} n= 0 123456时,  
1k 0在 1 0 之间. 3 +1 ~10  
2.   6 A.

A E×B E:C E×D , E 由已知得 B 6  :2 E:. 4   x
. 

故Y { 砑  = . F =  
s △  =  1
×   ×   =

图 8  

取A B的中点 , 有 O 上A , D , F 曰 取 C的中点 G  , 有 O, C , C 上D , F=7 D I , G=5 则 O , F=G E=1 因此 , .  


7 +1 5. 2 = 0故圆面积为 5 .   


2.   7 B.

{ × ×  × A{ 3B 31A C =  . (× × )   B X s  

当 n 时, ≤4 易知 3 8 不是平方数 .  + 1 故假设 n   = + , 中 为正整数 ,   4其   则 
3 8 :8(  )  + 1 13 +1 .  

同 , 。5 = 5   理5 =△ 丢 .   啪
故 s =S +5 +Sx 埘     z ̄+5 c  


因为 8 是平方数 , l 则一定存在正整数  , 使得 
3 +1 2  一1 +1 = 一1 3 .   =X车 ( )   )  =   

( 言 丢 ) = 一.   + + 5  s   + 3.  

所以, 必存在  使 一1 ,  +1 都是 3的幂 .   又两个数相差 2 且都是 3的幂的只能是 1 3 和 ,  
从而 ,  =2 , . , = +4 5是惟 …使 3    =1因此 n   =  + 8 为平方数的正整数 . 1  

所以, 比例为  . 所求  
致谢 : 本文翻译在 陈传理先生指导下完成 .  

( 华中师范大学数 学与统计 学学院  邱珊珊 
稿)  


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