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第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差


高考总复习?数学(理科)

第十章
第九节 离散型随机变量的分布列、均值与方差

高考总复习?数学(理科)

离散型随机变量分布列、期望、方差性质的运用
c 【例1】 (1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= ,k= k?k+1? ?1 5? 1,2,3,4,其中c为常数,则P?2<ξ<

;2?等于( ) ? ? 2 A.3 3 B.4 4 C.5 5 D.6

高考总复习?数学(理科) (2) 设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,

试求E(ξ),D(ξ).
ξ P -1
1 2

0 1-2q

1 q2

思路点拨:(1)根据分布列的性质,先求出c的值;(2)
应先按分布列的性质,求出 q 的值后,再计算出 E(ξ) , D(ξ).

高考总复习?数学(理科)

(1)解析:由离散型随机变量分布列的性质可知 c c c c + + + =1, 1×2 2×3 3×4 4×5 1 1 1 1 1 1 1 5 ∴c1-2+2-3+3-4+4-5=1,∴c=4, 1 5 5 1 1 5 ∴P2<ξ<2=P(ξ=1)+P(ξ=2)=4 + = .故选D. 1×2 2×3 6 答案:D

高考总复习?数学(理科)

点评:解答本题时,应防止机械地套用期望和方差的计算公 式,出现以下误解: 1 1 2 2 E(ξ)=(-1)×2+0×(1-2q)+1×q =q -2.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 1.设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

求:(1)2X+1的分布列;

(2)|X-1|的分布列;
(3)P(1<2X+1<9).

高考总复习?数学(理科) 解析:由分布列的性质知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3. 首先列表为: X 2X+1 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9

|X-1|

1

0

1

2

3

高考总复习?数学(理科) 从而由上表得两个分布列为: (1)2X+1的分布列: 2X+1 P 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3

高考总复习?数学(理科) (2)|X-1|的分布列: |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

(3)P(1<2X + 1<9) = P(2X + 1 = 3) + P(2X + 1 = 5) + P(2X+1=7)=0.1+0.1+0.3=0.5.

高考总复习?数学(理科) 求离散型随机变量的分布列 【例2】 一袋中装有 5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋

中同时取3只,以ξ表示取出的三只球中的最小号码,写出 随机变量ξ的分布列. 思路点拨: 因为在编号为 1,2,3,4,5 的球中,同时取 3 只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.

高考总复习?数学(理科) 解析:随机变量ξ的可能取值为1,2,3.

当 ξ = 1时,即取出的三只球中最小号码为 1,则其他
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(ξ 2 C 6 3 4 =1)= 3= C5 10=5; 当ξ=2时,即取出的三只球中最小号码为2,则其他 两只球只能在编号为3,4,5的三只球中任取两只,故有P(ξ 2 C 3 3 =2)= ; 3= C5 10

高考总复习?数学(理科) 当ξ=3时,即取出的三只球中最小号码为3,则其他 两只球只能在编号为4,5的两只球中任取两只,故有P(ξ= 2 C 1 2 3) =C3=10. 5

因此,ξ的分布列为
ξ 1 2
3 10

3
1 10

P

3 5

高考总复习?数学(理科) 点评:求离散型随机变量的分布列,应按下述三个 步骤进行:

(1) 明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值
所表示的意义; (2) 利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值 的概率; (3) 按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验

证.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 2 . (2013· 浙江卷 ) 设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球, c 个蓝 球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2分,取出 一个蓝球得3分. (1) 当 a = 3 , b = 2 , c = 1 时,从该袋子中任取 ( 有放回,且 每球取到的机会均等 )2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分

数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变 5 5 量η为取出此球所得分数.若E(η)= ,求a∶b∶c. 3,D(η)=9

高考总复习?数学(理科)

解析:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6, 3×3 1 故P(ξ=2)= =4, 6×6 2×3×2 1 P(ξ=3)= =3, 6×6 2×3×1+2×2 5 P(ξ=4)= =18, 6×6 2×2×1 1 P(ξ=5)= =9, 6×6 1×1 1 P(ξ=6)= =36, 6×6

高考总复习?数学(理科) 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6

P
(2)由题意知η的分布列为 η P 1 2 3

高考总复习?数学(理科)
a 2b 3c 5 所以E(η)= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3 ? ? 5?2 5?2 a b D(η)=?1-3? · +?2-3? · + ? ? a+b+c ? ? a+b+c ? 5?2 c 5 ? 3- ? · =9, 3 ? ? a+b+c ? ?2a-b-4c=0, 化简得? ? ?a+4b-11c=0, 解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.

高考总复习?数学(理科) 求离散型随机变量的数学期望 【例三】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组 ( 每小 无法确认,在图中以 a 表示.已知甲、乙两个小组的数学成绩 的平均分相同.

组4人)在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,

高考总复习?数学(理科) (1)求a的值; (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这

两名同学数学成绩之差的绝对值为X,求随机变量X的分布列
和均值(数学期望).

1 解析:(1)依题意,得4×(87+89+96+96)= 1 4×(87+90+a+93+95),解得a=3.

高考总复习?数学(理科)

(2)根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都 为 x =92. 所以乙组四名同学数学成绩的方差为 1 s =4[(87-92)2+(93-92)2+(93-92)2+(95-92)2]=9.
2

(3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4×4=16种可能的结果.

高考总复习?数学(理科) 这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表:

甲 X 乙 87 93
93 95

87 0

89 2

96 9

96 9

6
6 8

4
4 6

3
3 1

3
3 1

高考总复习?数学(理科)

所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,8,9. 1 2 1 由表可得P(X=0)=16,P(X=1)=16,P(X=2)=16, 4 2 3 P(X=3)=16,P(X=4)=16,P(X=6)=16, 1 2 P(X=8)=16,P(X=9)=16.

高考总复习?数学(理科) 所以随机变量X的分布列为 X
P

0
1 16

1
2 16

2
1 16

3
4 16

4
2 16

6
3 16

8
1 16

9
2 16

P

高考总复习?数学(理科)

随机变量X的数学期望为 1 2 1 4 E(X)=0×16+1×16+2×16+3×16+ 2 3 1 2 68 17 4×16+6×16+8×16+9×16=16= 4 .
点评:求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情 况确定ξ 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出 ξ

取各个值的概率,即必须解决好两个问题,一是求出ξ的所有
取值,二是求出ξ取每一个值时的概率. 因此,应按下述三个步骤进行:

高考总复习?数学(理科) (1)明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表 示的意义;

(2)利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概
率; (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.

高考总复习?数学(理科) 变式探究

3.(2013· 梅州二模)某幼儿园为训练孩子的数字运算能力,
在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各两张,让孩子从盒子 里任取 3 张卡片,按卡片上的最大数字的 9 倍计分,每张卡片被

取出的可能性都相等,用X表示取出的3张卡片上的最大数字.
(1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率; (2)求随机变量X的分布列及数学期望; (3) 若孩子取出的卡片的计分超过 30分,就得到奖励,求孩 子得到奖励的概率.

高考总复习?数学(理科)
解析:(1)“一次取出的3张卡片上的数字互不相同”的事件 1 1 1 C3 C 2 5 2C2C 2 记为A,则P(A)= C3 =3. 10
(2)变量X的可能取值为2,3,4,5, C3 1 4 P(X=2)=C3 =30, 10 1 2 1 C2C4 C2 C 2 2 4 P(X=3)= C3 + C3 =15, 10 10 1 2 2 1 C2C6 C2C6 3 P(X=4)= C3 + C3 =10, 10 10 1 2 2 1 C2C8 C2C8 8 P(X=5)= C3 + C3 =15, 10 10

高考总复习?数学(理科) 所以分布列为 X 2 3 4 5

P

1 30

2 15

3 10

8 15

1 2 3 8 13 从而E(X)=2×30+3×15+4×10+5×15= 3 .

高考总复习?数学(理科)

(3)“一次取卡片所得计分超过30分”的事件记为B, 5 所以P(B)=P(X=4)+P(X=5)=6. 5 所以孩子得到奖励的概率为6.

高考总复习?数学(理科) 不放回抽样中的概率分布 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球 都是白球的概率为 1 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个 7 球,甲先取,乙后取,然后甲再取 …… 取后不放回,直到 两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的 【例4】

机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中所有的白球的个数; (2)求随机变量ξ的概率分布; (3)求甲取到白球的概率.

高考总复习?数学(理科)
解析:(1)设袋中原有n个白球, n?n-1? 2 n?n-1? 1 C2 n 由题意知7=C2= = , 7×6 7×6 7 2 解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.

高考总复习?数学(理科)

(2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5. 4×3 2 3 P(ξ=1)=7;P(ξ=2)= =7; 7×6 4×3×3 6 4×3×2×3 3 P(ξ=3)= = ;P(ξ=4)= = ; 7×6×5 35 7×6×5×4 35 4×3×2×1×3 1 P(ξ=5)= =35; 7×6×5×4×3

高考总复习?数学(理科) 所以ξ的分布列为

ξ
P

1
3 7

2
2 7

3
6 35

4
3 35

5
1 35

高考总复习?数学(理科) (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第 5次取球,记“甲取到白球”为事件A,则

22 P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=35.
点评: 求解不放回抽样的概率分布问题要注意与放 回抽样的区别,再求分布列时,要注意组合公式的正确 应用.

高考总复习?数学(理科)

变式探究 4 .已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取
出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任 取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量

X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列; (2)求X的数学期望E(X).

高考总复习?数学(理科)

解析:(1)由题意得X取3,4,5,6, 1 2 C3 5 C C5 10 5 4· 且P(X=3)=C3=42,P(X=4)= C3 =21, 9 9 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X=5)= C3 =14,P(X=6)=C3=21, 9 9
所以X的分布列为 X P 3
5 42

4
10 21

5
5 14

6
1 21

高考总复习?数学(理科) 求离散型随机变量的方差 【例 5】 某单位需要从两名选手中选出一人参加上级组

织的普及法律知识竞赛,现设计了一个挑选方案:选手从 6道 备选题中一次性随机抽取3题,至少答对2题才算合格.通过考 查可知: 6道备选题中选手甲有 4 题能答对, 2 题答错;选手乙 答对每题的概率都是 2 ,且每题答对与否互不影响. 3 (1)分别写出甲、乙两名选手答对题数的概率分布,并计算 数学期望;

(2)你认为应该挑选哪个选手去参加比赛.

高考总复习?数学(理科) 解析:(1)设选手甲、乙答对的题数分别为ξ、η,则ξ的

可能取值为1,2,3;η的可能取值为0,1,2,3,则
2 1 0 C1 1 C2 3 C3 1 4C2 4C2 4C2 P(ξ=1)= C3 =5,P(ξ=2)= C3 =5,P(ξ=3)= C3 =5, 6 6 6

所以选手甲答对题数的概率分布为: ξ P 1 2 3

1 5

3 5

1 5

高考总复习?数学(理科)
1 3 1 E(ξ)=1×5+2×5+3×5=2. 23 0 由题知,P(η=0)=C3?1- ? =
? ? ?

3?

1 27,

22 1 2 P(η=1)=C3? ??1- ? =
?3??

? ??

?

3?

6 27,
? ? ?3?

2 12 2 2 2 3 2 3 ? ? ? ? 1- = ,P(η=3)=C3? ? = P(η=2)=C3
?3? ?

? ??

?

3?

27

8 27.

高考总复习?数学(理科) 所以选手乙答对题数的概率分布为: η 0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

P

1 6 12 8 E(η)=0×27+1×27+2×27+3×27=2.

高考总复习?数学(理科)

1 3 1 2 2 2 (2)因为D(ξ)=(1-2) ×5+(2-2) ×5+(3-2) ×5=5,
2

1 6 12 2 2 D(η)=(0-2) ×27+(1-2) ×27+(2-2) ×27+
2

8 2 (3-2) ×27=3,所以D(ξ)<D(η).
2

3 1 因为P(ξ≥2)=5+5=0.8, 12 8 P(η≥2)=27+27≈0.74,所以P(ξ≥2)>P(η≥2).

高考总复习?数学(理科) 从答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从答对

题数的方差考查,甲较稳定;从至少答对2题的概率考查,
甲获得通过的可能性大,因此应该让选手甲去参加比赛. 点评:在求得数学期望之后,利用方差公式求方差.

高考总复习?数学(理科)

变式探究
5.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零 件数相等,所得次品数分别为ξ,η.ξ和η的分布列分别为 ξ P η 0
6 10

1
1 10

2
3 10

0
5 10

1
3 10

2
2 10

P

试对这两名工人的技术水平进行比较.

高考总复习?数学(理科)

解析:工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为 6 1 3 E(ξ)=0×10+1×10+2×10=0.7, 6 1 3 2 2 2 D(ξ)=(0-0.7) ×10+(1-0.7) ×10+(2-0.7) ×10=0.81; 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为 5 3 2 E(η)=0×10+1×10+2×10=0.7, 5 3 2 2 2 2 D(η)=(0-0.7) ×10+(1-0.7) ×10+(2-0.7) ×10=0.61;
由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相 当,但D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定.

高考总复习?数学(理科) 与离散型随机变量的均值、方差有关的最

值问题
【例 6】 某校组织的一次篮球定点投篮比赛,其中甲、
1 、a 、a(0<a<1),三人各投一 2

乙、丙三人投篮命中率分别是

次,用ξ表示三人投篮命中的个数. (1)求ξ的分布列及数学期望;

(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求 实数a的取值范围.

高考总复习?数学(理科)
解析:(1)ξ的可能取值为0,1,2,3. 1 0 1 0 2 ? ? P(ξ=0)=C1 1- C2(1-a) = (1-a)2,P(ξ=1)=
? ? ?

2?

2

1 1 1 1 1 0 2 0 ? ? C1·C2(1-a) +C1 1- C2a(1-a)= (1-a2), 2
?

?

?

2?

2

1 2 2 11 1 0 P(ξ=2)=C1·C2a(1-a)+C1?1- ?C2a = 2
?

?

?

2?

2 1 1 a 2 1 2 2 (2 a - a ) , P ( ξ = 3) = C · C 1 2 2 2a = 2 .

高考总复习?数学(理科) 所以ξ的分布列为 ξ P 0
1 2 (1 - a ) 2

1
1 2 (1 - a ) 2

2
1 2 (2 a - a ) 2

3
a2 2

1 1 1 2 2 ξ的数学期望为E(ξ)=0×2(1-a) +1×2(1-a )+2×2(2a-a 2 4a+1 a 2 )+ 3× 2 = 2 .

高考总复习?数学(理科)
(2)∵P(ξ=1)的值最大,∴P(ξ=1)-P(ξ=0)= 1? 2 2? 1 - a - ? 1 - a ? ( ) ?=a(1-a)≥0,P(ξ=1)-P(ξ=2)= 2? 1-2a 1 2 2 ?1-a ?-?2a-a ?]= 2[ 2 ≥0 , 1 -2 a 1 2 2 P(ξ=1)-P(ξ=3)=2[?1-a ?-a ]= 2 ≥0, 1 1 解得 0≤a≤2.又 0<a<1,∴0<a≤2, ∴a
? 1? 的取值范围是?0,2?时,P(ξ=1)的值最大. ? ?
2

高考总复习?数学(理科) 点评:利用均值和方差的计算公式得出关于某变量的 函数,再求这个函数的最值.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 6.(2013· 福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置 了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2分;方案乙的中奖率为 2 ,中奖可以得3分;未中奖则不得
2 3

分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影
响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他

5

们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖, 问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

高考总复习?数学(理科)

2 解析:(1)由已知得:小明中奖的概率为3, 2 小红中奖的概率为5,两人中奖与否互不影响, 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则 A 事件的对立事件为“X=5”, 2 2 4 11 因为 P(X=5)=3×5=15,所以 P(A)=1-P(X=5)=15, 11 所以这两人的累计得分 X≤3 的概率为15.

高考总复习?数学(理科) (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,

都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X2 ,则这两人选择方案甲
抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1) ,选择方案乙抽奖累计 得分的数学期望为E(3X2),由已知:
? ? 2? 2? X1~B?2,3?,X2~B?2,5?, ? ? ? ?

2 4 2 4 E(X1)=2×3=3,E(X2)=2×5=5, 8 12 所以 E(2X1)=2E(X1)=3,E(3X2)=3E(X2)= 5 , 因为 E(2X1)>E(3X2).

所以他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数 学期望最大.


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