当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省武汉市部分学校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省武汉市部分学校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数,需要做除法的次数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 2. (5 分)某校现有 2014-20

15 学年高一学生 210 人,2014-2015 学年高二学生 270 人,高三 学生 300 人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问 卷调查,如果已知从 2014-2015 学年高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人 数应为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 3. (5 分)已知圆 O:x +y =r ,点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短 2 弦所在的直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r =0,那么() A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离 B. l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切 C. l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交 D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离 4. (5 分)六件不同的奖品送给 5 个人,每人至少一件,不同的分法种数是() A. B. 5
6 2 2 2

C.

D.

5. (5 分)如图是将二进制数 11111(2)化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件 是()

A.i≤5

B.i≤4

C.i>5

D.i>4

6. (5 分)为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度,随机选取了 8 天,统计上午 8:00﹣10: 00 的点击量.茎叶图如图,设甲、乙的中位数分别为 x1,x2,方差分别为 D1,D2,则()

A.x1<x2,D1<D2

B.x1>x2,D1>D2

C.x1<x2,D1>D2

D.x1>x2,D1<D2

7. (5 分)学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响,经过统计,得到一个卖出饮料数与当 天气温的对比表: 摄氏温度 ﹣1 3 8 12 17 饮料瓶数 3 40 52 72 122 根据上表可得回归方程 A.141 B.191 中的 为 6,据此模型预测气温为 30℃时销售饮料瓶数为() C.211 D.241

8. (5 分)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位, 其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起 (指演讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: () A. B. C. D.

9. (5 分)下列命题中是错误命题的个数有() ①A、B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) ; ②若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件 ③A、B 为两个事件,p(A|B)=P(B|A) ④若 A、B 为相互独立事件,则 p( B)=P( )P(B) . A.0 B. 1 C. 2
2

D.3

10. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x, y)|f(x)﹣f(y)≥0},则若在集合 M 所表示的区域内撒 100 颗黄豆,落在集合 M∩N 所表 示的区域的黄豆约有多少() A.12 B.25 C.50 D.75

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)在运行如图的程序之后输出 y=16,输入 x 的值应该是.

12. (5 分)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切 线,A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为. 13. (5 分)点 P(4,﹣2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是. 14. (5 分)数阵满足: (1)第一行的 n 个数分别是 1,3,5,…,2n 一 1; (2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和; (3)数阵共有 n 行. 则第 5 行的第 7 个数是.
2 2

2

2

15. (5 分)甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1,按下列方法操作一次产生一个新的 实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这 样就可得到一个新的实数 a2,对 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a3,当 a3>a1 时,甲获胜,否则乙获胜.若甲获胜的概率为 ,则 a1 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某市十所重点中学进行高三联考,共有 5000 名考生,为了了解数学学科的学习 情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 频数 频率 [80,90) ① ② [90,100) 0.050 [100,110) 0.200

[110,120) 36 0.300 [120,130) 0.275 [130,140) 12 ③ [140,150] 0.050 合计 ④ (1)根据上面频率分布表,推出①,②,③,④处的数值分别为, , , ; (2)在所给的坐标系中画出区间[80,150]上的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体:①120 分及以上的学生数;②成绩落在[110,126]中的概率.

17. (12 分)已知圆 (Ⅰ)求弦 AB 的长;

与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 A,B 两点.

(Ⅱ)若圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2x+y+1=0, 求圆 C2 的方程. 18. (12 分)已知 ,且(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+anx .
n 2 3 n

(1)求 n 的值; (2)求 a1+a2+a3+…+an 的值; (3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 19. (12 分)某校要组建篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩一级的可作为入围 选手,选拔过程中每人最多投篮 5 次,且规定在确认已经入围后则不必再投篮.若投中 2 次 则确定为二级,若投中 3 次可确定为一级.已知根据以往的技术统计,某班同学王明每次投 篮投中的概率是 ,每次投篮结果互不影响. (1)求王明投篮 3 次才被确定为二级的概率; (2)现在已知王明已经入围,在此条件下求他实际投篮 5 次才入围的概率. 20. (13 分)已知圆 C 的圆心在射线 3x﹣y=0(x≥0)上,圆 C 与 x 轴相切,且被直线 x﹣y=0 截得的弦长为 . (1)求圆 C 的方程; (2)点为圆 C 上任意一点,不等式 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21. (14 分)已知过点 A(0,1)且方向向量为 ﹣3) =1 相交于 M,N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 O 为坐标原点,且 ,求 k 的值.
2

的直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y

2

湖北省武汉市部分学校联考 2014-2015 学年高二上学期期 中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数,需要做除法的次数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 排序问题与算法的多样性. 专题: 计算题. 分析: 用大数除以小数,得到商和余数,再用上面的除数除以余数,又得到商和余数,继 续做下去,知道刚好能够整除为止,得到两个数的最大公约数,从而得到需要做除法的次数. 解答: 解:∵459÷357=1…102, 357÷102=3…51, 102÷51=2, ∴459 和 357 的最大公约数是 51, 需要做除法的次数 3 故选 C. 点评: 本题考查辗转相除法,这是一个算法案例,还有一个求最大公约数的方法是更相减 损法,这种题目出现的比较少,但是要掌握题目的解法. 2. (5 分)某校现有 2014-2015 学年高一学生 210 人,2014-2015 学年高二学生 270 人,高三 学生 300 人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问 卷调查,如果已知从 2014-2015 学年高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人 数应为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分层抽样问题,根据所给的 2014-2015 学年高一学生的总数和 2014-2015 学年高一学生抽到的人数, 可以做出每个个体被抽到的概率, 根据这个概率值做出高三学生被 抽到的人数.

解答: 解:∵由题意知 2014-2015 学年高一学生 210 人,从 2014-2015 学年高一学生中抽取 的人数为 7 ∴可以做出每 =30 人抽取一个人, =10.

∴从高三学生中抽取的人数应为

故选 A. 点评: 抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少, 可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样. 3. (5 分)已知圆 O:x +y =r ,点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短 2 弦所在的直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r =0,那么() A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离 B. l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切 C. l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交 D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离 考点: 直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 用点斜式求得直线 m 的方程,与直线 l 的方程对比可得 m∥l,利用点到直线的距离 公式求得圆心到直线 l 的距离大于半径 r,从而得到圆和直线 l 相离. 解答: 解:由题意可得 a +b <r ,OP⊥l1. ∵KOP= ,∴l1 的斜率 k1=﹣ . 故直线 l1 的方程为 y﹣b=﹣ (x﹣a) ,即 ax+by﹣(a +b )=0. 又直线 l2 的方程为 ax+by﹣r =0,故 l1∥l2, 圆心到直线 l2 的距离为 > =r,故圆和直线 l2 相离.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

故选 A. 点评: 本题考查点和圆、直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离大于半径 r,是解题的关键. 4. (5 分)六件不同的奖品送给 5 个人,每人至少一件,不同的分法种数是() A. B. 5
6

C.

D.

考点: 排列、组合及简单计数问题. 分析: 将六件不同的奖品送给 5 个人,每人至少一件,则其中有 1 人分两件奖品,故先将 奖品分成 5 份, 其中一份有两个奖品, 共有 种情况, 再将 5 组奖品分别发给 5 个人, 共有

种情况,根据分步乘法原理,可得答案. 解答: 解:六件不同的奖品送给 5 个人,每人至少一件, 可先将 6 件不同的奖品分成 5 组

再分给 5 个人 故不同的分法种数有 种

故选 D 点评: 本题考查的知识点是排列组合及简单的计数问题,其中理清解决问题是分类的还是 分步的,分步需要分多少步,是解答的关键. 5. (5 分)如图是将二进制数 11111(2)化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件 是()

A.i≤5 考点: 程序框图. 专题: 图表型.

B.i≤4

C.i>5

D.i>4

分析: 首先将二进制数 11111(2)化为十进制数,得到十进制数的数值,然后假设判断框中 的条件不满足,执行算法步骤,待累加变量 S 的值为 31 时,算法结束,此时判断框中的条件 要满足,据此可得正确的选项. 解答: 解:首先将二进制数 11111(2)化为十进制数, 0 1 2 3 4 11111(2)=1×2 +1×2 +1×2 +1×2 +1×2 =31, 由框图对累加变量 S 和循环变量 i 的赋值 S=1,i=1, i 不满足判断框中的条件,执行 S=1+2×S=1+2×1=3,i=1+1=2, i 不满足条件,执行 S=1+2×3=7,i=2+1=3, i 不满足条件,执行 S=1+2×7=15,i=3+1=4, i 仍不满足条件, 执行 S=1+2×15=31, 此时 31 是要输出的 S 值, 说明 i 不满足判断框中的条件, 由此可知,判断框中的条件应为 i>4. 故选 D. 点评: 本题考查了程序框图,考查了进位制,本题是程序框图中的循环结构,虽先进行了 一次判断,实则是直到型性循环,此题是基础题. 6. (5 分)为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度,随机选取了 8 天,统计上午 8:00﹣10: 00 的点击量.茎叶图如图,设甲、乙的中位数分别为 x1,x2,方差分别为 D1,D2,则()

A.x1<x2,D1<D2

B.x1>x2,D1>D2

C.x1<x2,D1>D2

D.x1>x2,D1<D2

考点: 茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由茎叶图写出两组数据,分别求出两组数据的中间两数的平均数得两组数据的中位 数,然后求出两组数据的平均数,代入方差公式求它们的方差. 解答: 解:由茎叶图分别得到甲、乙的点击量数据为:甲 65,68,70,75,77,78,82, 85;乙 60,65,70,72,74,81,84,94 甲、乙的中位数分别为 甲的平均数为 乙的平均数为 所以甲乙的方差分别为 , , =75 =75

=42.

=



所以 x1>x2,D1<D2. 故选 D. 点评: 本题考查了茎叶图,考查了中位数概念及方差公式,一组数据的中位数是把这组数 据由小到大排列后的中间位置上的数, 若含有偶数个, 则是中间两数的平均数, 此题是基础题. 7. (5 分)学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响,经过统计,得到一个卖出饮料数与当 天气温的对比表: 摄氏温度 ﹣1 3 8 12 17 饮料瓶数 3 40 52 72 122 根据上表可得回归方程 A.141 B.191 中的 为 6,据此模型预测气温为 30℃时销售饮料瓶数为() C.211 D.241

考点: 回归分析的初步应用. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: 先计算样本中心点,求出回归方程,即可预测气温为 30℃时销售饮料瓶数. 解答: 解:由题意, ∵回归方程 ∴57.8=6×7.8+ ∴ =11 ∴ ∴x=30°时, 故选 B. 点评: 本题考查回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. (5 分)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位, 其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起 (指演讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: () A. B. C. D. 中的 为 6, =7.8, = =57.8

考点: 排列、组合及简单计数问题;等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的所有事件是 10 位同学参赛演讲的顺 序共有 A10 ;满足条件的事件要得到需要分为三步,根据分步计数原理得到结果,再根据古 典概型公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 10 ∵试验发生包含的所有事件是 10 位同学参赛演讲的顺序共有:A10 ; 满足条件的事件要得到“一班有 3 位同学恰好被排在一起而二班的 2 位同学没有被排在一起的 演讲的顺序”可通过如下步骤: 3 ①将一班的 3 位同学“捆绑”在一起,有 A3 种方法; 6 ②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的 5 位同学共 6 个对象排成一列,有 A6 种方法; ③在以上 6 个对象所排成一列的 7 个间隙(包括两端的位置)中选 2 个位置,将二班的 2 位 2 同学插入,有 A7 种方法. 3 6 2 根据分步计数原理(乘法原理) ,共有 A3 ?A6 ?A7 种方法. ∴一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连) , 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: .
10

故选 B. 点评: 本题考查的是排列问题,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的 实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.

9. (5 分)下列命题中是错误命题的个数有() ①A、B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) ; ②若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件 ③A、B 为两个事件,p(A|B)=P(B|A) ④若 A、B 为相互独立事件,则 p( B)=P( )P(B) . A.0 B. 1 C. 2 D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: ①互斥事件概率加法公式,使用前提是事件互斥,②对立事件概率之和为 1,但概 率之和为 1 不一定对立,③条件概率的计算公式,书写错误,④由 A、B 为相互独立事件, 和 B 也是独立事件,利用独立事件概率公式计算. 解答: 解:①只有 A、B 为两个互斥事件时,才有 P(A∪B)=P(A)+P(B) ,否则,此 式不成立,①错误, ②因为若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 不一定是对立事件.如单位圆的一条 直径把圆的面积分成相等的两部分,即区域 M 和区域 N(不含边界) ,向这两个区域内投一枚 绣花针, 若针尖落在区域 M 内记为事件 A, 若针尖落在区域 N 内记为事件 B, 显然满足 P (A) +P(B)=1,但 A,B 不是对立事件,因为针尖还有可能落在直径上,②错误, ③由条件概率的计算公式可得 p(A|B)= ,③错误,

④由 A、B 为相互独立事件,可得 和 B 也是独立事件,故由独立事件的概率公式可得 p ( B)=P( )P(B) .④正确, 综上,错误命题的个数是 3 个, 故选 D. 点评: 本题考察随机事件及其概率中互斥事件,对立事件及相互独立事件概率的关系,要 熟记概念,不可混淆,熟练运用公式,但容易在公式的使用条件上出错. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x, y)|f(x)﹣f(y)≥0},则若在集合 M 所表示的区域内撒 100 颗黄豆,落在集合 M∩N 所表 示的区域的黄豆约有多少() A.12 B.25 C.50 D.75 考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先分析 M,N 所表示的平面区域,并在平面直角坐标系中用图形表示出来,最后结 合平面几何的知识解决问题. 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣4x+3, 集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}, 集合 N={(x,y)|f(x)﹣f(y)≥0}, 2 2 ∴集合 M: (x﹣2) +(y﹣2 ≤2,是一个以(2,2)为圆心, 为半径的圆,面积是 2π. 2 2 集合 N: (x﹣2) ≥(y﹣2) ,或者(x+y﹣4) (x﹣y)≥0, 两条直线 x+y﹣4=0 和 x﹣y=0 把 M 平均分为 4 份,其中两份就是 M 与 N 的交集, 因此 M∩N 面积= ×2= ×2=π.
2

∴若在集合 M 所表示的区域内撒 100 颗黄豆, 落在集合 M∩N 所表示的区域的黄豆约有 =50.

故选 C. 点评: 求限制条件(一般用不等式组来表示)所表示平面区域的面积,一般分为如下步骤: ①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求 出面积. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中对应题号后的横 线上. 11. (5 分)在运行如图的程序之后输出 y=16,输入 x 的值应该是±5.

考点: 伪代码. 专题: 操作型;算法和程序框图. 分析: 由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数:y=(x+1) ,x<0:y=(x﹣1) , x≥0,根据 y=16,代入分别计算求出 x 的值即可. 解答: 解:本程序含义为: 输入 x 2 如果 x<0,执行:y=(x+1) 2 否则,执行:y=(x﹣1) 因为输出 y=16 2 由 y=(x+1) ,x<0,可得,x=﹣5 2 由 y=(x﹣1) ,x≥0,可得,x=5 故 x=5 或﹣5 故答案为:±5 点评: 本题选择选择结构的程序语句,根据两个执行语句分别计算.属于基础题. 12. (5 分)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条切 线,A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;压轴题;转化思想.
2 2 2 2

分析: 由圆的方程为求得圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1,由“若四边形面积最小,则圆心与 点 P 的距离最小时,即距离为圆心到直线的距离时,切线长 PA,PB 最小”,最后将四边形转 化为两个直角三角形面积求解. 2 2 解答: 解:∵圆的方程为:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 ∴圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1 根据题意,若四边形面积最小 当圆心与点 P 的距离最小时,距离为圆心到直线的距离时, 切线长 PA,PB 最小 圆心到直线的距离为 d=3 ∴|PA|=|PB|= ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,主要涉及了构造四边形及其面积的求法,同时, 还考查了转化思想. 13. (5 分)点 P(4,﹣2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是(x﹣2) +(y+1) 2 =1. 考点: 轨迹方程;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设圆上任意一点为 A,确定 A 与 AP 中点坐标之间的关系,再代入圆的方程,即可得 到结论. 解答: 解:设圆上任意一点为 A(x1,y1) ,AP 中点为(x,y) ,
2 2 2



,∴

代入 x +y =4 得(2x﹣4) +(2y+2) =4,化简得(x﹣2) +(y+1) =1. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y+1) =1 点评: 本题考查轨迹方程,考查代入法的运用,确定坐标之间的关系是关键. 14. (5 分)数阵满足: (1)第一行的 n 个数分别是 1,3,5,…,2n 一 1; (2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和; (3)数阵共有 n 行. 则第 5 行的第 7 个数是 272.

2

2

2

2

2

2

考点: 归纳推理. 专题: 规律型;函数的性质及应用. 分析: 先确定第 5 行的第一个数,由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑) 都成等差数列,且公差依次为:2,2 ,…,2 ,…,由此能求出第 5 行的第 7 个数. 解答: 解:设第 k 行的第一个数为 ak, 2 3 4 则 a1=1,a2=4=2a1+2,a3=12=2a2+2 ,a4=32=2a3+2 ,a5=2a4+2 =80 由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列,且公差依次为:2, 2 k 2 ,…,2 ,… ∴第 5 行组成以 80 为首项,32 为公差的等差数列, ∴第 5 行的第 7 个数是 80+6×32=272 故答案为:272 点评: 本题考查数列的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 15. (5 分)甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1,按下列方法操作一次产生一个新的 实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这 样就可得到一个新的实数 a2,对 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a3,当 a3>a1 时,甲获胜,否则乙获胜.若甲获胜的概率为 ,则 a1 的取值范围是(﹣∞,12]∪[24, +∞) . 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 按要求操作一次产生一个新的实数,实际上这是一个新定义问题,列举得到新的实 数的途径,列出不等式,根据所给的甲获胜的概率为 ,可求 a1 的取值范围. 解答: 解:由题意得,a3 的结果有四种: 1.a1→2a1﹣12→2(2a1﹣12)﹣12=4a1﹣36=a3, 2.a1→2a1﹣12→ (2a1﹣12)+12=a1+6=a3, 3.a1→ a1+12→ ( a1+12)+12= a1+18=a3, 4.a1→ a1+12→2( a1+12)﹣12=a1+18=a3, 每一个结果出现的概率都是
2 k

∵a1+18>a1,a1+6>a1, ∴要使甲获胜的概率为 ,即 a3>a1 的概率为 , ∴4a1﹣36>a1, a1+18≤a1, 或 4a1﹣36≤a1, a1+18>a1, 解得 a1≥24 或 a1≤12. 故 a1 的取值范围是(﹣∞,12]∪[24,+∞) 故答案为: (﹣∞,12]∪[24,+∞) 点评: 本题考查新定义,考查生分析问题、解决问题,理解题意有些麻烦,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某市十所重点中学进行高三联考,共有 5000 名考生,为了了解数学学科的学习 情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 频数 频率 [80,90) ① ② [90,100) 0.050 [100,110) 0.200 [110,120) 36 0.300 [120,130) 0.275 [130,140) 12 ③ [140,150] 0.050 合计 ④ (1)根据上面频率分布表,推出①,②,③,④处的数值分别为 3,0.025,0.1,1; (2)在所给的坐标系中画出区间[80,150]上的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体:①120 分及以上的学生数;②成绩落在[110,126]中的概率.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 图表型. 分析: (1)根据频率分步表中所给的频率和频数,根据样本容量,频率和频数之间的关系 得到表中要求填写的数字. (2)根据所给的频率分布表所给的数据,画出频率分步直方图.

(3)把各个部分的频率相加,得到要求的频率,乘以总体容量,即可估计满足条件的学生人 数. 解答: 解: (1)先做出③对应的数字, =0.1,

∴②处的数字是 1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025 ∴①处的数字是 0.025×120=3 ④处的数字是 1, 故答案为:3;0.025;0.1;1 (2)

(3)①120 分及以上的学生数为: (0.275+0.100+0.050)×5000=2125; ②成绩落在[110,126]中的概率为: 点评: 本题考查频率分布直方图,考查频率分布直方图的画法及频率分布直方图的应用, 其中频率=频数÷样本容量=矩形的高×组矩,是处理利用频率分布直方图问题关键. 17. (12 分)已知圆 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求弦 AB 的长; (Ⅱ)若圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2x+y+1=0, 求圆 C2 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用;点到直线的距离公式;圆的一般方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)求出圆心到直线 l 的距离,再利用勾股定理即可求出弦 AB 的长; (II)设圆 C2 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,与圆
2 2

方程相减,可

得公共弦所在的直线方程为: (D+2)x+(E+2)y+F=0,利用圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直

线 2x+y+1=0,可得 D=2E+6,再根据圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) ,可构建方程组,从 而可求圆 C2 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)圆心到直线 l 的距离 所以
2

, (2 分) (4 分)


2

(II)设圆 C2 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, ∵圆 ∴两方程相减,可得公共弦所在的直线方程为: (D+2)x+(E+4)y+F﹣4=0, ∵圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2x+y+1=0, ∴ ,即 D=2E+6. (6 分)

又因为圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) , 所以
2 2

所以圆 C2 的方程为 x +y +6x﹣16=0. (8 分) 点评: 本题考查圆中的弦长问题,考查两圆的公共弦,考查圆的方程,解题的关键是利用 圆的特征,确定公共弦的方程. 18. (12 分)已知 (1)求 n 的值; (2)求 a1+a2+a3+…+an 的值; (3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意,将 按排列、组合公式展开化简可得(n﹣5) (n﹣6)=90, ,且(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+anx .
n 2 3 n

解可得:n=15 或 n=﹣4,又由排列、组合数的定义,可得 n 的范围,即可得答案; 15 2 3 15 (2)由(Ⅰ)中求得 n 的值,可得(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+a15x ,令 x=1 可得 a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1,令令 x=0 得 a0=1,两式相减可得答案. (3)根据展开式的通项公式,可得展开式中第 r+1 项的系数绝对值为 2 ?
r

.由

求得 r=10,可得展开式中系数绝对值最大的项是第 11 项. 解答: 解: (1)∵已知 =56? ,∴n(n﹣1) (n﹣2) (n﹣3) (n﹣4) ,

即(n﹣5) (n﹣6)=90,解之得:n=15 或 n=﹣4(舍去) ,∴n=15. (2) (Ⅱ)当 n=15 时,由已知有(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+a15x , 令 x=1 得:a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1,再令 x=0 得:a0=1,∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2. (3)展开式的通项公式为 Tr+1= 2?
r 15 2 3 15

,故展开式中第 r+1 项的系数绝对值为





解得

≤r≤



∴r=10,故展开式中系数绝对值最大的项是第 11 项. 点评: 本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质,解题时要注意排列、组合数的定 义、性质,其次注意灵活运用赋值法,属于中档题. 19. (12 分)某校要组建篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩一级的可作为入围 选手,选拔过程中每人最多投篮 5 次,且规定在确认已经入围后则不必再投篮.若投中 2 次 则确定为二级,若投中 3 次可确定为一级.已知根据以往的技术统计,某班同学王明每次投 篮投中的概率是 ,每次投篮结果互不影响. (1)求王明投篮 3 次才被确定为二级的概率; (2)现在已知王明已经入围,在此条件下求他实际投篮 5 次才入围的概率. 考点: 相互独立事件;条件概率与独立事件. 专题: 计算题. 分析: (1)设王明投篮 3 次才被确定为二级为事件 A,分析可得其前 2 次投篮中有一次投 中,第 3 次投中,由独立事的概率乘法公式与 n 次独立事件中恰有 k 次发生的概率公式,计 算可得答案; (2)设王明入围为事件 B,他投篮 5 次为事件 C;由对立事件的概率公式易得 P(B) ,由独 立事件的概率乘法公式可得 P(BC) ,然后由条件概率公式计算可得答案. 解答: 解: (1)设王明投篮 3 次才被确定为二级为事件 A, 王明投篮 3 次才被确定为二级,即其前 2 次投篮中有一次投中,第 3 次投中, 故 P(A)= × × × = ;

(2)设王明入围为事件 B,他投篮 5 次为事件 C, 则 P(B)=1﹣ P(BC)= ﹣ × = , = = ,

故所求事件的概率为 P(C|B)=

点评: 本题考查相互独立事件概率的计算,理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键, 属基础题.

20. (13 分)已知圆 C 的圆心在射线 3x﹣y=0(x≥0)上,圆 C 与 x 轴相切,且被直线 x﹣y=0 截得的弦长为 . (1)求圆 C 的方程; (2)点为圆 C 上任意一点,不等式 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用;点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)依题意设圆心坐标为(a,3a) (a>0) ,由圆与 x 轴相切,得到半径为|3a|,进 而表示出圆 C 的标准方程, 由垂径定理及勾股定理表示出圆心到直线 y=x 的距离 d, 再利用点 到直线的距离公式表示出圆心到直线 y=x 的距离,两者相等列出关于 a 的方程,求出方程的 解得到 a 的值,即可确定出圆 C 的方程; (2)由(1)求出的圆 C 方程,设 x=1+3cosθ,y=3+3sinθ(θ∈[0,2π]) ,代入已知的不等式 中,分离出 m,去括号整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由不 等式恒成立得到 m 大于等于﹣x﹣y 的最大值,由正弦函数的值域确定出﹣x﹣y 的最大值,即 可得到满足题意 m 的范围. 解答: 解: (1)依题设圆心坐标(a,3a) (a>0) , ∵圆与 x 轴相切,∴圆的半径 R=|3a|, ∴圆 C 的方程可设为(x﹣a) +(y﹣3a) =9a , ∵R=|3a|,弦长为 2 , ∴圆心到直线 y=x 的距离 d= 由点到直线的距离公式得:d= ∴ = , , = ,
2 2 2

解得:a=±1, 又 a>0,∴a=1, 则圆 C 方程为(x﹣1) +(y﹣3) =9; (2)设 x=1+3cosθ,y=3+3sinθ(θ∈[0,2π]) , 则 m≥﹣x﹣y=﹣(1+3cosθ)﹣(3+3sinθ)=﹣4﹣3sinθ﹣3cosθ=﹣4﹣3 sin(θ+ ) ,
2 2

∵对任意 θ∈[0,2π]恒成立,∴m≥(﹣x﹣y)max, ∵(﹣x﹣y)max=﹣4+3 , ∴m≥﹣4+3 . 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆的标准 方程,垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,圆的极坐标方程,不等式恒成立问题,以 及正弦函数的定义域与值域,是一道综合性较强的题.
2

21. (14 分)已知过点 A(0,1)且方向向量为 ﹣3) =1 相交于 M,N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 O 为坐标原点,且 ,求 k 的值.
2

的直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y

考点: 平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知可设直线 l 的方程为 y=kx+1,联立直线方程和圆的方程,根据直线与圆 有两个交点,故方程有两个不等的交点,即△ >0,进而可得实数 k 的取值范围; (2)设出 M,N 的坐标,由(1)中方程及韦达定理,结合 于 k 的方程,解方程可得答案. 解答: 解: (1)直线 l 过点 A(0,1)且方向向量为 ∴直线 l 的方程为 y=kx+1 将其代入圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 得: 2 2 (1+k )x ﹣4(1+k)x+7=0…① 2 2 若直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y﹣3) =1 相交于 M,N 两点 2 2 则△ =16(1+k) ﹣28(1+k )>0 解得 <k<
2 2

=x1?x2+y1?y2,可构造关

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则由①得

=x1?x2+y1?y2=(1+k )x1?x2+k(x1+x2)+1= ∴k=1

2

+8=12

点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系, (1)的关键是 由直线与圆交点的个数判断联立所得方程有两个不等根, ( 2) 的关键是根据向量数量积构造关 于 k 的方程.


相关文章:
...学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析...解:A、由 2 得 =0,则 x=y,为真命题; B、由 x =1 得 x=±1,x 不...
...中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省部分重点中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_...分式不等式的求解及与区间长度有关的几何概率的求 解,属于知识的简单应用 3. ...
...中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科...
湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉市部分重点中学联考 2014-2015 学年...
...二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)一...
...2015学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解...
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高二下学期...
...联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省重点高中协作体联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省重点高中协作体联考 2014-2015 学年高二上学期...
...中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省黄冈市武穴中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析...2 2 解得,a =8,b =4. 则有椭圆 E 的方程为: + =1. 2 2 故选 D...
...重点中学2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)...
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试题(word含答案)_数学_高中教育_教育专区。1.直线 y ? 2 x ? 1 在 y 轴上的截距是( ...
湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试...
湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析_...解: 的展开式的通项 Tr+1= = , 令 8﹣ r=3,解得 r=2, 故 的展开...
...高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Wo...
湖北省孝感高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省孝感高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)一...
更多相关标签:

相关文章