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第十四讲对数函数


第十四讲 对数函数及其图像性质

【知识点拨】
对数函数 0<a<1 a>1

图 象

表达式 定义域 值 域 过定点

y ? log a x

(0, ??)

R

(1,0)

当0

? x ? 1时,y ? 0,
各区间的取值

当0 ? x ? 1时,y ? 0, 当x ? 1时,y ? 0, 当x ? 1时,y ? 0
单调递增

当x ? 1时,y ? 0, 当x ? 1时,y ? 0
单调递减

单调性

例 1. 函数 f ( x) ? (a 2 ? 3a ? 3)log a x 是对数函数,则 a 的值是 ( A. a ? 1 或 a ? 2 答案:C 【求定义域】 例 2. 求下列函数的定义域: (1)y= lg(2-x); (2)y= 1 ; log3(3x-2) B. a ? 1 C. a ? 2

)

D. a ? 0或a ? 1

(3)y=log(2x-1)(-4x+8).

? ?lg(2-x)≥0, ? ?2-x≥1, (1)由题意得? 即? ?2-x>0, ?2-x>0. ? ?

∴x≤1,即 y= lg(2-x)的定义域为{x|x≤1}.

?log3(3x-2)≠0, ? ? ?3x-2≠1, 2 (2)由? 得? 解得 x> ,且 x≠1. 3 ? ? 3 x >2. ? ?3x-2>0,

1 2 ∴y= 的定义域为{x|x> ,且 x≠1}. 3 log3(3x-2)

-4x+8>0, ? ? ? 1 ? 1 (3)由题意得?2x-1>0, 解得?x>2, ∴y=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为{x| <x<2,且 x≠1}. 2 ? ?2x-1≠1. ? ?x≠1. x<2, 2-1.(2011· 江西高考)若 f(x)=

1 ,则 f(x)的定义域为 ( log 1 (2 x ? 1)
2

)

1 A.(- ,0) 2 1 C.(- ,+∞) 2 解析:根据题意得 log

1 B.(- ,0] 2 D.(0,+∞) 1 (2x+1)>0,即 0<2x+1<1,解得 x∈(- ,0). 2

1 2

【图像】 例 3. 右图为函数 y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x, y ? logd x ,则 a , b, c, d 与 1 的大小关系为 (
A. C. )

a ? b ?1? c ? d 1? a ? b ? c ? d

B. D.

b ? a ?1? d ? c a ? b ?1? d ? c

a b c d

4 3 1 3-1.如图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 的取值可为 3, , , , 3 5 10 则相应曲线 C1,C2,C3,C4 的底数 a 的值依次为( 4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10 )

4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5

3-2. 函数 y=|lg(x-1)|的图象是(

)

答案:C

例 4. (1)已知 a ? 0且a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 2 必过定点_____________.

(1)已知 a ? 0且a ? 1 ,函数 f ( x) ? 3 loga ( x ? 2) ? 1 必过定点_____________.

例 5.比较下列各组数的大小: (1)log2π 与 log20.9; log2π>log20.9

(2)log20.3 与 log0.20.3; 因为 log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0,所以 log20.3<log0.20.3. (4)log20.4,log30.4.

(3)log0.76,0.76 与 60.7; 因为 60.7>60=1,0<0.76<0.70=1, 又 log0.76<log0.71=0,所以 60.7>0.76>log0.76.

5-1.若 a=log0.23,b=log0.2e,c=log0.20.3,则( ) A.a>b>c B.a<b<c C.a>c>b D.c>a>b 解析:∵0.3<e<3,且 y=log0.2x 在(0,+∞)上是减函数,∴c>b>a. 答案:B 例 6. 已知函数 y ? log2
2

x x 2? x?4 ( ), ? log4 4 2

(1) 当 x ? 4 3 时,求 y 的值

(2)令 t ? log 2 x ,求 y 关于 t 函数关系式,t 的范围

(3)求该函数的值域

【巩固练习】 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.y= x2和 y=( x)2 C.y=loga x2 和 y=2logax ) B.|y|=|x|和 y3=x3 D.y=x 和 y=logaax

解析:对于 A,定义域不同;对于 B,对应法则不同;对于 C,定义域不同;对于 D,y=logaax?y=x. 答案:D 2.函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( A.(2,+∞) C.[2,+∞) ) B.(-∞,2) D.[3,+∞)

解析:当 x≥1 时,log2x≥0,所以 y=2+log2x≥2.答案:C

3.已知函数 f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则 f(x)在定义域上是(

)

A.增函数 C.奇函数

B.减函数 D.偶函数

? ?0=loga(4-m), 解析:将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有? 解得 a=4 和 m=3,则有 f(x)=log4(x-3).由于 ?1=loga(7-m). ?

定义域是 x>3,则函数不具有奇偶性.很明显函数 f(x)在定义域上是增函数. 答案:A 4.设 a=log32,b=ln 2,c=5 A.a<b<c C.c<a<b
? 1 2

,则(

)

B.b<c<a D.c<b<a
1

? 1 1 1 解析:a=log32= ,b=ln 2= ,而 log23>log2e>1,所以 a<b.又 c=5 2 = ,而 5>2=log24>log23,所 log23 log2e 5

以 c<a,综上知 c<a<b. 答案:C 5.函数 y=loga(x-2)+1 的图像恒过定点________. 解析:令 x-2=1,得 x=3 则,y=0+1=1.∴函数的图象恒过定点(3,1). 6.函数 f(x)= 2-log2x的定义域是________. 解析:由 2-log2x≥0 ? log2x≤2,∴0<x≤4. 7.求下列函数的定义域: (1)y= log2(4x-3); 解:(1)要使函数有意义,必须满足: log2(4x-3)≥0=log21,即 1≤4x-3?x≥1, ∴函数的定义域为[1,+∞). 2x-2>0, ? ? (2)要使函数有意义,必须满足:?5-x>0, ?1<x<5 且 x≠4, ? ?5-x≠1. 8.根据函数 f(x)=log2x 的图象和性质解决以下问题: (1)若 f(a)>f(2),求 a 的取值范围; (2)y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值. 解:函数 y=log2x 的图象如图. (1)因为 y=log2x 是增函数,故 f(a)>f(2),即 log2a>log22,则 a>2. (2,+∞). (2)∵2≤x≤14, ∴3≤2x-1≤27, ∴log23≤log2(2x-1)≤log227. ∴函数 y=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为 log23,最大值为 log227. 所以 a 的取值范围为 (2)y=log5-x(2x-2). 答案:(0,4] 答案:(3,1)

∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).


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