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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

圆锥曲线的综合问题(文视情况

[知识能否忆起] 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时, 通常是将直线方程与曲线方程联立, 消去变量 y(或 x)得关于变量 x(或 y)的方程:ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0). 若 a≠0,可考虑一元二次方

程的判别式 Δ,有: Δ>0?直线与圆锥曲线相交; Δ=0?直线与圆锥曲线相切; Δ<0?直线与圆锥曲线相离. 若 a=0 且 b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长问题 设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|= 1+k2|x1 -x2|或 1 1+ 2|y1-y2|. k [小题能否全取] x y 1.(教材习题改编)与椭圆 + =1 焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是( 12 16 x2 A.y2- =1 3 3 3 C. x2- y2=1 4 8 y2 B. -x2=1 3 3 3 D. y2- x2=1 4 8
2 2

)

y2 x2 解析:选 A 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b a +b =c , ? ?c 则?a=2, ? ?c=2,
2 2 2

得 a=1,b= 3.

x2 故双曲线方程为 y2- =1. 3 x2 y2 2.(教材习题改编)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 9 4 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 )

解析:选 A 由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直

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线与椭圆必相交. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 )

解析:选 C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且平 行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). x2 y2 4.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M, a b 与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 解析:由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,所以 B 点的坐标为(0,a), a a c2 2 6 - , ?,代入椭圆方程得 a2=3b2,则 c2=2b2,则 2= ,故 e= . 故 M 点的坐标为? ? 2 2? a 3 3 答案: 6 3

y2 5.已知双曲线方程是 x2- =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,P2 两点,并使 2 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是________________.
2 2 y2-y1 2?x2+x1? y1 2 y2 解析:设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由 x2 = 1- =1,x2- =1,得 k= 2 2 x2-x1 y2+y1

2×4 = =4, 从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51 2 =0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案:4x-y-7=0 1.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲 线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算 弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜 率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量 间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦 达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.

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直线与圆锥曲线的位置关系

典题导入 x y2 [例 1] (2012· 北京高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 a b 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3
2

[自主解答]

a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2,

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

? ?y=k?x-1?, (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? ? 4 + 2 =1,
设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= 2k2-4 x1x2= , 1+2k2 所以|MN|= = = 2 ?x2-x1?2+?y2-y1?2 , 1+2k2 4k2

?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] ?1+k2??4+6k2? . 1+2k2 , 1+k2 |k|

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为

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|k| 4+6k2 1 S= |MN|·d= . 2 1+2k2 |k| 4+6k2 1+2k
2





10 ,解得 k=± 1. 3 由题悟法

研究直线与圆锥曲线的位置关系时, 一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程 组解的个数,但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解. 以题试法 1.(2012· 信阳模拟)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物 线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( 1 1? A.? ?-2,2? C.[-1,1] B.[-2,2] D.[-4,4] )

解析:选 C 易知抛物线 y2=8x 的准线 x=-2 与 x 轴的交点为 Q(-2,0),于是,可设 过点 Q(-2,0)的直线 l 的方程为 y=k(x+2)(由题可知 k 是存在的),
?y2=8x, ? 联立? ?k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. ?y=k?x+2? ?

当 k=0 时, 易知符合题意; 当 k≠0 时, 其判别式为 Δ=(4k2-8)2-16k4=-64k2+64≥0, 可解得-1≤k≤1.

最值与范围问题

典题导入 x2 y2 [例 2] (2012· 浙江高考)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 1 心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.不过原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. [自主解答] (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得

? ?2+c?2+1= 10, ? ?c 1 ? ?a=2,

?c=1, ? 得? ? ?a=2.

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x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的 条件不符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0),

? ?y=kx+m, 由? 消去 y,整理得 2 2 3 x + 4 y = 12 ? ?
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ① 则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

? ? 4m -12 ?x x = 3+4k .
2 1 2 2

8km x1+x2=- , 3+4k2

? 4km , 3m ? 所以线段 AB 的中点为 M?- 2 2?. ? 3+4k 3+4k ?
-2km 1 3m 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 = . 2 2 3+4k 3+4k2 3 得 m=0(舍去)或 k=- . 2 此时方程①为 3x2-3mx+m2-3=0,则

?x +x =m, Δ=3(12-m )>0,? m -3 x x = . ? 3
1 2 2 2 1 2

所以|AB|=

1+k2· |x1-x2|=

39 · 12-m2, 6

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= |8-2m| 32+22 = 2|m-4| . 13

设△ABP 的面积为 S,则

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1 3 S= |AB|· d= · ?m-4?2?12-m2?. 2 6 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3 ], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0. 由题悟法 1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法. (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这 就是几何法; (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求 这个函数的最值,这就是代数法. 2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立 等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 以题试法 2. (2012· 东莞模拟)已知抛物线 y2=2px(p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点, 则实数 p 的取值范围为( 2 ? A.? ?-3,0? 3 ? C.? ?-2,0? ) 2? B.? ?0,3? 3? D.? ?0,2?

解析:选 B 设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x1,y1)、N(x2,y2),设直线 MN 的方程为 y=x+b.将 y=x+b 代入抛物线方程,得 x2+(2b-2p)x+b2=0,则 x1+x2=2p -2b,y1+y2=(x1+x2)+2b=2p,则 MN 的中点 P 的坐标为(p-b,p).因为点 P 在直线 x +y=1 上,所以 2p-b=1,即 b=2p-1.又 Δ=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将 b=2p-1

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2 代入得 4p2-8p(2p-1)>0,即 3p2-2p<0,解得 0<p< . 3

定点定值问题

典题导入 x2 y2 [例 3] (2012· 辽宁高考)如图, 椭圆 C0: 2+ 2=1(a>b>0, a b a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2=t2 1,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点. (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2=t2 2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.
2 若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t2 1+t2为定值.

[自主解答] (1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程 y1 为 y= (x+a),① x1+a -y1 直线 A2B 的方程为 y= (x-a).② x1-a 由①②得 y = 2 (x2-a2).③ x1-a2
2 2 x2 y1 1 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故 2+ 2=1. a b 2 x1 x2 y2 2? ? 从而 y2 1=b 1-a2 ,代入③得 2- 2=1(x<-a,y<0). ? ? a b

-y2 1

(2)证明:设 A′(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,得 4|x1||y1| =4|x2|· |y2|,
2 2 2 故 x2 1y1=x2y2.

因为点 A,A′均在椭圆上,所以 b2x2 1

?1-x1 ? 2 2? x2 ? ? a2?=b x2?1-a2?.

2

2

2 2 2 2 2 由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x1 +x2 2=a ,从而 y1+y2=b , 2 2 2 因此 t2 1+t2=a +b 为定值.

由题悟法

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1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y=kx+b,然后利用条件建立 b、k 等量关系 进行消元,借助于直线系方程找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 以题试法 3. (2012· 山东省实验中学模拟)已知抛物线 y2=2px(p≠0)及定点 A(a, b), B(-a,0), ab≠0, b2≠2pa,M 是抛物线上的点.设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点坐标为________.
2 2 y0-b y1-y0 y2 0 ? y1 ,y1?, ? y2 ,y2?, ,y0?, 解析: 设 M? M M 由点 A , M , M 共线可知 = 2 , 2 1 2 1 ?2p ? ?2p ? ?2p ? y0 y1 y2 0 -a - 2p 2p 2p

by0-2pa y2-y1 2pa 得 y1= , 同理由点 B, M, M2 共线得 y2= .设(x, y)是直线 M1M2 上的点, 则 2 y0 y2 y2 1 y0-b - 2p 2p = y2-y by0-2pa 2pa ,即 y1y2=y(y1+y2)-2px,又 y1= ,y2= , 2 y2 y0 y0-b -x 2p 则(2px-by)y02+2pb(a-x)y0+2pa(by-2pa)=0. 2pa? 2pa 当 x=a,y= 时上式恒成立,即定点为? ?a, b ?. b 2pa a, ? 答案:? b ? ?

y2 1.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3

PA1 ,·PF2 ,的最小值为(
A.-2 C.1

) 81 B.- 16 D.0

解析:选 A 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),由双曲线方程得 y2

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=3(x2-1). PA1 ,· (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+y2-x-2=x2 PF2 ,=(-1-x,-y)· 1 81 x- ?2- ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时, PA1 ,· +3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4? PF2 ,取 ? 8? 16 得最小值-2. 2.过抛物线 y2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 2,则这样的直线( A.有且只有一条 C.有且只有三条 ) B.有且只有两条 D.有且只有四条

p p 解析:选 B 设该抛物线焦点为 F,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+ +xB+ =xA+xB+1=3 2 2 >2p=2.所以符合条件的直线有且仅有两条. x2 y2 3.(2012· 南昌联考)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线, a b 分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 M、N(均在第一象限内),若 FM ,=4 MN ,,则双 曲线的离心率为( 5 A. 4 3 C. 5 ) 5 B. 3 4 D. 5

b2 bc 解析:选 B 由题意知 F(c,0),则易得 M,N 的纵坐标分别为 , ,由 FM ,=4 MN , a a
2 b2 ?bc-b ?,即b=4.又 c2=a2+b2,则 e=c =5. 得 =4· ? a a? a c 5 a 3

x2 y2 4.已知椭圆 + =1 的焦点是 F1,F2,如果椭圆上一点 P 满足 PF1⊥PF2,则下面结 25 16 论正确的是( ) B.P 点有四个 D.P 点一定不存在

A.P 点有两个 C.P 点不一定存在

解析:选 D 设椭圆的基本量为 a,b,c,则 a=5,b=4,c=3.以 F1F2 为直径构造圆, 可知圆的半径 r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点. x2 x2 0 5. 已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1, F2, 点 P(x0, y0)满足 +y2 则|PF1|+|PF2| 0≤1, 2 2 的取值范围为________. 解析:当 P 在原点处时,|PF1|+|PF2|取得最小值 2;当 P 在椭圆上时,|PF1|+|PF2|取得 最大值 2 2,故|PF1|+|PF2|的取值范围为[2,2 2 ]. 答案:[2,2 2 ]

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x2 6.(2013· 长沙月考)直线 l:x-y=0 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,点 C 是椭圆上 2 的动点,则△ABC 面积的最大值为________.

? ?x-y=0, 6 解析:由?x2 得 3x2=2,∴x=± , 3 2 ? ? 2 +y =1,
∴A? 6 6? 6 6? ,B? , ? 3 , 3 ? ?- 3 ,- 3 ? 4 3 . 3

∴|AB|=

| 2cos θ-sin θ| 3? 设点 C( 2cos θ,sin θ),则点 C 到 AB 的距离 d= = · sin(θ-φ)? ? 2 2? ≤ 3 , 2 1 1 4 3 3 ∴S△ABC= |AB|· d≤ × × = 2. 2 2 3 2 答案: 2 y2 7.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 b 于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2.

? ?y=x+c, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 化简得(1+b2)x2 y2 2 ? ?x +b2=1,
+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= , x x = . 1 2 1+b2 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,

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4 所以|AB|= 2|x2-x1|,即 = 2|x2-x1|. 3 4?1-b2? 4?1-2b2? 8 8b4 2 则 =(x1+x2) -4x1x2= - = , 9 ?1+b2?2 1+b2 ?1+b2?2 解得 b= 2 . 2

x2 y2 2 8.(2012· 黄冈质检)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上任意一点到右 a b 2 焦点 F 的距离的最大值为 2+1. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 C(m,0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点),是否存在过点 F 且与 x 轴不垂 直的直线 l 与椭圆交于 A,B 点,使得|AC|=|BC|?并说明理由.

?e=c= 2 ? a 2 解:(1)∵? ? ?a+c= 2+1
x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 2

? ?a= 2 ,∴? ,∴b=1, ?c=1 ?

(2)由(1)得 F(1,0),∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线 l, x2 设 l 的方程为 y=k(x-1),代入 +y2=1 中,得 2 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0. 4k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 , 2k +1 2k2-2 x1x2= 2 , 2k +1 -2k ∴y1+y2=k(x1+x2-2)= 2 . 2k +1 k ? ? 2k 设 AB 的中点为 M,则 M? 2 ,- 2 ?. 2k +1? ?2k +1 ∵|AC|=|BC|,∴CM⊥AB,即 kCM· kAB=-1,
2

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k 2k +1 ∴ · k=-1,即(1-2m)k2=m. 2k2 m- 2 2k +1
2

1 ∴当 0≤m< 时,k=± 2

m 1-2m

,即存在满足题意的直线 l;

1 当 ≤m≤1 时,k 不存在,即不存在满足题意的直线 l. 2 x2 y2 9.(2012· 江西模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),直线 y=x+ 6与以原点为圆心, a b 以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2 为其左,右焦点,P 为椭圆 C 上任一点,△ F1PF2 的重心为 G,内心为 I,且 IG∥F1F2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的垂直平分线 1 ? 过定点 C? ?6,0?,求实数 k 的取值范围. x0 y0? 解:(1)设 P(x0,y0),x0≠± a,则 G? ? 3 , 3 ?. 又设 I(xI,yI),∵IG∥F1F2, y0 ∴yI= , 3 ∵|F1F2|=2c, 1 1 0 ∴S△F1PF2= · |F F |· |y |= (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)· , |y 2 1 2 0 2 3| ∴2c· 3=2a+2c, c 1 | 6| ∴e= = ,又由题意知 b= , a 2 1+1 x2 y2 ∴b= 3,∴a=2,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 x y ? ? 4 + 3 =1 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? ,消去 y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ? ?y=kx+m 8km 由题意知 Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即 m2<4k2+3,又 x1+x2=- ,则 3+4k2 6m y1+y2= , 3+4k2
2 2

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? 4km , 3m ? ∴线段 AB 的中点 P 的坐标为?- 2 2?. ? 3+4k 3+4k ?
1 1 x- ?, 又线段 AB 的垂直平分线 l′的方程为 y=- ? k? 6? 4km 1 3m 1? - ? 点 P 在直线 l′上,∴ =- ?- , 2 2 k ? 3+4k 6? ? 3+4k ?4k2+3?2 1 2 3 6 ∴4k +6km+3=0,∴m=- (4k +3),∴ <4k2+3,∴k2> ,解得 k> 或 k 6k 36k2 32 8
2

<-

6 , 8

∴k 的取值范围是?-∞,-

?

6? ? 6 ? ∪ ,+∞ . 8? ?8 ?

1. (2012· 长春模拟)已知点 A(-1,0), B(1,0), 动点 M 的轨迹曲线 C 满足∠AMB=2θ, | AM |,· | BM |,cos2θ=3,过点 B 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点. (1)求| AM |,+| BM |,的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△APQ 的面积的最大值. 解: (1)设 M(x, y), 在△MAB 中, | AB |,=2, ∠AMB=2θ, 根据余弦定理得| AM |,2+| BM |,2 -2| AM |,· | BM |,cos 2θ=| AB |,2=4, 即(| AM |,+| BM |,)2-2| AM |,· | BM |,· (1+cos 2θ)=4, 所以(| AM |,+| BM |,)2-4| AM |,| BM |,· cos2θ=4. 因为| AM |,· | BM |,cos2θ=3, 所以(| AM |,+| BM |,)2-4×3=4, 所以| AM |,+| BM |,=4. 又| AM |,+|BM|,=4>2=| AB |, 因此点 M 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆(点 M 在 x 轴上也符合题意), 设椭圆的方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 则 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以曲线 C 的方程为 + =1. 4 3

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(2)设直线 PQ 的方程为 x=my+1.

? ?x=my+1 由?x2 y2 ,消去 x, + =1 ? ?4 3
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.① 显然方程①的判别式 Δ=36m2+36(3m2+4)>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 1 则△APQ 的面积 S△APQ= ×2×|y1-y2|=|y1-y2|. 2 6m 9 由根与系数的关系得 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 , 3m +4 3m +4 所以(y1-y2) =(y1+y2) -4y1y2=48× . ?3m2+4?2
2 2

3m2+3

令 t=3m2+3,则 t≥3,(y1-y2)2=

48 , 1 t+ +2 t

1 由于函数 φ(t)=t+ 在[3,+∞)上是增函数, t 1 10 所以 t+ ≥ ,当且仅当 t=3m2+3=3,即 m=0 时取等号, t 3 48 所以(y1-y2)2≤ =9,即|y1-y2|的最大值为 3, 10 +2 3 所以△APQ 的面积的最大值为 3,此时直线 PQ 的方程为 x=1. 1 2. (2012· 郑州模拟)已知圆 C 的圆心为 C(m,0), m<3, 半径为 5, 圆 C 与离心率 e> 的 2 x2 y2 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的其中一个公共点为 A(3,1),F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点. a b (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切?若能,设直线 PF1 与椭圆 E 相交于 D,B 两点,求△DBF2 的面积;若不能,请说明理由. 解:(1)由已知可设圆 C 的方程为(x-m)2+y2=5(m<3), 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程中,得(3-m)2+1=5, 即(3-m)2=4,解得 m=1,或 m=5.

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∴m<3,∴m=1. ∴圆 C 的标准方程为(x-1)2+y2=5. (2)直线 PF1 能与圆 C 相切, 依题意设直线 PF1 的斜率为 k,则直线 PF1 的方程为 y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4 =0, |k-0-4k+4| 若直线 PF1 与圆 C 相切,则 = 5. k2+1 11 1 ∴4k2-24k+11=0,解得 k= 或 k= . 2 2 11 36 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11 1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为-4, 2 ∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0). ∴由椭圆的定义得: 2a=|AF1|+|AF2|= ?3+4?2+12+ ?3-4?2+12=5 2+ 2=6 2.

∴a=3 2,即 a2=18, 4 2 2 1 ∴e= = > ,满足题意. 3 2 3 2 故直线 PF1 能与圆 C 相切. x2 y2 直线 PF1 的方程为 x-2y+4=0,椭圆 E 的方程为 + =1.设 B(x1,y1),D(x2,y2), 18 2 把直线 PF1 的方程代入椭圆 E 的方程并化简得,13y2-16y-2=0,由根与系数的关系得 y1 16 2 +y2= ,y1y2=- , 13 13 故 S△DBF2=4|y1-y2|=4 ?y1+y2?2-4y1y2= 24 10 . 13

1.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相 交于 A,B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45° ,则弦 AB 的中点坐标为( A.(1,0) B.(2,2) )

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C.(3,2) 解析: 选C

D.(2,4)
2 ? ?y =4x, 依题意得, 抛物线 C 的方程是 y =4x, 直线 l 的方程是 y=x-1.由? ?y=x-1 ? 2

6 消去 y 得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0,因此线段 AB 的中点的横坐标是 =3,纵坐标是 y 2 =3-1=2,所以线段 AB 的中点坐标是(3,2). x2 y2 2.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点, 则过点(m,n)的直线与椭圆 + = 9 4 1 的交点个数为( A.至多 1 个 C.1 个 解析:选 B 由题意得
2

) B.2 个 D.0 个 4 >2,即 m2+n2<4,则点(m,n)在以原点为圆心,以 2 m +n2

x2 y2 为半径的圆内,此圆在椭圆 + =1 的内部. 9 4 x2 y2 3 3.(2012· 深圳模拟)如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆 C a b 2 的左顶点 T 为圆心作圆 T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ,· TN ,的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证: |OR|· |OS|为定值. c 3 解:(1)依题意,得 a=2,e= = , a 2 ∴c= 3,b= a2-c2=1.

x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)易知点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设 y1>0.
2 x1 由于点 M 在椭圆 C 上,∴y2 = 1 - .(*) 1 4

由已知 T(-2,0),则 TM ,=(x1+2,y1), TN ,=(x1+2,-y1),

TN ,=(x1+2,y1)· ∴ TM ,· (x1+2,-y1)=(x1+2)2-y2 1
x2 5 1 1- ?= x2 =(x1+2)2-? ? 4 ? 4 1+4x1+3

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8 5 1 x + ?2- . = ? 4? 1 5? 5 8 1 由于-2<x1<2,故当 x1=- 时, TM ,· ,取得最小值- . TN 5 5 8 3? 8 3 2 把 x1=- 代入(*)式,得 y1= ,故 M? ?-5,5?,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得 r 5 5 13 = . 25 13 故圆 T 的方程为(x+2)2+y2= . 25 y0-y1 (3)设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为:y-y0= (x-x0), x0-x1 x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 令 y=0,得 xR= ,同理:xS= , y0-y1 y0+y1 故 xR· xS=
2 2 2 x2 1y0-x0y1 2 y2 0-y1

.(**)

2 2 2 又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x2 0=4(1-y0),x1=4(1-y1),

代入(**)式, 得 xR· xS=
2 2 2 4?1-y1 ?y0-4?1-y2 0?y1 2 y2 0-y1 2 ?y2 0-y1? =4? 2 2?=4. ?y0-y1?

所以|OR|· |OS|=|xR|· |xS|=|xR· xS|=4 为定值.

平面解析几何

(时间:120 分钟,满分 150 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2012· 佛山模拟)已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值 是( ) A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1

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a+2 解析:选 D 由题意得 a+2= ,解得 a=-2 或 a=1. a 2.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 3 C.- 2 ) 1 B.- 3 2 D. 3

解析: 选 B 设 P(xP,1), 由题意及中点坐标公式得 xP+7=2, 解得 xP=-5, 即 P(-5,1), 1 所以 k=- . 3 3. (2012· 长春模拟)已知点 A(1, -1), B(-1,1), 则以线段 AB 为直径的圆的方程是( A.x2+y2=2 C.x2+y2=1 B.x2+y2= 2 D.x2+y2=4 )

解析:选 A AB 的中点坐标为(0,0), |AB|= [1-?-1?]2+?-1-1?2=2 2, ∴圆的方程为 x2+y2=2. x2 y2 4.(2012· 福建高考)已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该 4 b 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A. 5 C.3 )

B.4 2 D.5

x2 y2 解析:选 A ∵抛物线 y2=12x 的焦点坐标为(3,0),故双曲线 - 2=1 的右焦点为(3,0), 4 b 即 c=3,故 32=4+b2,∴b2=5, 5 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2

∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为

? 5×3? ?2 ?
5 1+ 4

= 5.

x2 y2 5.(2012· 郑州模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,线段 a b F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 7∶3 的两段,则此双曲线的离心率为( 9 A. 8 5 B. 3 )

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3 2 C. 4

5 D. 4

b 7 4 解析: 选 B 依题意得, c+ = ×2c, 即 b= c(其中 c 是双曲线的半焦距), a= c2-b2 2 7+3 5 3 c 5 5 = c,则 = ,因此该双曲线的离心率等于 . 5 a 3 3 6.设双曲线的左,右焦点为 F1,F2,左,右顶点为 M,N,若△PF1F2 的一个顶点 P 在双曲线上,则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点的位置是( A.在线段 MN 的内部 B.在线段 F1M 的内部或 NF2 内部 C.点 N 或点 M D.以上三种情况都有可能 解析: 选 C 若 P 在右支上, 并设内切圆与 PF1, PF2 的切点分别为 A, B, 则|NF1|-|NF2| =|PF1|-|PF2|=(|PA|+|AF1|)-(|PB|+|BF2|)=|AF1|-|BF2|. 所以 N 为切点,同理 P 在左支上时,M 为切点. 7.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 3)处的切线方程为( B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 ) )

解析:选 D 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设 切线方程为 y- 3=k(x-1), |2k-k+ 3| 3 即 kx-y-k+ 3=0,所以 =2,解得 k= . 2 3 k +1 所以切线方程为 y- 3= 3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 3

8.(2012· 新课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2= 16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4 B.2 2 D.8 )

解析:选 C 抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲线 C:x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. x2 y2 9.(2012· 潍坊适应性训练)已知双曲线 C: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,P 为 4 5 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则|PF2|=|F1F2|,则 PF1 ,· PF2 ,等于( A.24 B.48 )

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C.50 解析:选 C

D.56 由已知得|PF2|=|F1F2|=6,根据双曲线的定义可得|PF1|=10,在△F1PF2

5 5 中,根据余弦定理可得 cos∠F1PF2= ,所以 PF1 ,· PF2 ,=10×6×6=50. 6 14 3 10.(2012· 南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径 R= ,且∠ABC=120° ,BC=10,边 3 BC 在 x 轴上且 y 轴垂直平分 BC 边,则过点 A 且以 B,C 为焦点的双曲线方程为( x y A. - =1 75 100 x2 y2 C. - =1 9 16
2 2

)

x y B. - =1 100 75 x2 y2 D. - =1 16 9

2

2

BC 5 3 解析:选 D ∵sin∠BAC= = , 2R 14 11 ∴cos∠BAC= , 14 14 3 3 |AC|=2Rsin∠ABC=2× × =14, 3 2 sin∠ACB=sin(60° -∠BAC) =sin 60° cos∠BAC-cos 60° sin∠BAC = 3 11 1 5 3 3 3 × - × = , 2 14 2 14 14

14 3 3 3 ∴|AB|=2Rsin∠ACB=2× × =6, 3 14 ∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8, ∴a=4,又 c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9, x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 16 9 11.(2012· 乌鲁木齐模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两 个点,若△PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是( A.2± 3 C. 3± 1 B.2+ 3 D. 3-1 )

2 2 p ? ? y1 ,y1?,Q? y2 ,y2?(y1≠y2). ,0 , 解析: 选 A 依题意得 F? 设 P 由抛物线定义及|PF| ?2 ? ?2p ? ?2p ?

=|QF|, 得

1 y2 p y2 p 1 2 2 ? + = + , 所以 y1 =y2 所以 y1=-y2.又|PQ|=2, 因此|y1|=|y2|=1, 点 P? 2, ?2p,y1?. 2p 2 2p 2 1 p + =2,由此解得 p=2± 3. 2p 2

又点 P 位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|=

12.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 4 的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅

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有一个交点,则椭圆的长轴长为( A.3 2或 4 2 C.2 5或 2 7

) B.2 6或 2 7 D. 5或 7

解析:选 C 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n 且 m,n>0),与直线方程 x+ 3y+4=0 联立, 3 1 消去 x 得(3m+n)y2+8 3my+16m-1=0,由 Δ=0 得 3m+n=16mn,即 + =16,① n m 1 1 又 c=2,即 - =± 4,② m n

?m=7 由①②联立得? 1 ?n=3

1

? ?m=1 或? 1 , ? ?n=5

故椭圆的长轴长为 2 7或 2 5. 二、填空题(本题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2012· 青岛模拟)已知两直线 l1:x+ysin θ-1=0 和 l2:2xsin θ+y+1=0,当 l1⊥l2 时,θ=________. 解析: l1⊥l2 的充要条件是 2sin θ+sin θ=0, 即 sin θ=0, 所以 θ=kπ(k∈Z). 所以当 θ=kπ(k ∈Z)时,l1⊥l2. 答案:kπ(k∈Z) x2 y2 14.已知 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,A,B 分别是此椭圆的 a b 右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,O 是坐标原点,OP∥AB,PF1⊥x 轴,|F1A|= 10+ 5, 则此椭圆的方程是______________________. b b b 解析:由于直线 AB 的斜率为- ,故直线 OP 的斜率为- ,直线 OP 的方程为 y=- a a a x2 x2 2 2 2 x.与椭圆方程联立得 2+ 2=1,解得 x=± a.根据 PF1⊥x 轴,取 x=- a,从而- a= a a 2 2 2 -c, 即 a= 2c.又|F1A|=a+c= 10+ 5, 故 x2 y2 所以所求的椭圆方程为 + =1. 10 5 x2 y2 答案: + =1 10 5 15.(2012· 陕西高考)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 2c+c= 10+ 5, 解得 c= 5, 从而 a= 10.

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水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米. 解析:设抛物线的方程为 x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1,所以 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6,即 x=± 6,所以水面宽为 2 6. 答案:2 6 16.(2012· 天津高考)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴 相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最 小值为________. 解析:由直线与圆相交所得弦长为 2,知圆心到直线的距离为 3,即 = 3, m2+n2 1

1 1 1 1 ? ? 1? 所以 m2+n2= ≥2|mn|,所以|mn|≤ ,又 A? ?m,0?,B?0,n?,所以△AOB 的面积为2|mn|≥3, 3 6 最小值为 3. 答案:3 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4) 距离为 2 的直线方程.

? ? ?x-2y+3=0, ?x=1, 解:由? 得? ? ? ?2x+3y-8=0, ?y=2.
所以 l1 与 l2 的交点为(1,2),设所求直线 y-2=k(x-1)(由题可知 k 存在),即 kx-y+2 -k=0, |-2-k| ∵P(0,4)到直线距离为 2,∴2= , 1+k2 4 解得 k=0 或 k= . 3 ∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 18.(12 分)(2012· 南昌模拟)已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r> 0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; (2)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

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? 2 + 2 +2=0, 解:设圆心 C(a,b),则? b+2 ?a+2=1,
a-2 b-2 故圆 C 的方程为 x2+y2=2.

?a=0, ? 解得? ?b=0, ?

则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2,

(2)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x -1),

? ?y-1=k?x-1?, PB:y-1=-k(x-1),由? 得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.因 2 2 ?x +y =2 ?
k2-2k-1 k2+2k-1 为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解,故可得 xA= .同理可得 xB= , 1+k2 1+k2 yB-yA -k?xB-1?-k?xA-1? 2k-k?xB+xA? 所以 kAB= = = =1=kOP, xB-xA xB-xA xB-xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行. x2 y2 5 2 19.(12 分)(2012· 天津高考)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),点 P? a, a?在椭圆上. a b 2 ? ?5 (1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值. 解:(1)因为点 P? a2 a2 b2 5 5 2 ? 在椭圆上,故 + = 1 ,可得 = . 2 2 5a 2b a2 8 ? 5 a, 2 a?

a2-b2 b2 3 6 于是 e = 2 =1- 2= ,所以椭圆的离心率 e= . a a 8 4
2

(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 Q 的坐标为(x0,y0).

? ?y0=kx0, 由条件得?x2 消去 y0 并整理得 y2 0 0 + 2 2= 1, ? ?a b
x2 0= .① k2a2+b2 a2b2

由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及 y0=kx0,

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2 得(x0+a)2+k2x2 0=a . 2 -2a 2 2 2 a 整理得(1+k2)x2 ,代入①,整理得 (1 + k ) = 4 k · + 0+2ax0=0,而 x0≠0,故 x0= b2 1+k2

4. a2 8 32 由(1)知 2= ,故(1+k2)2= k2+4, b 5 5 即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5. x2 y2 2 20.(12 分)(2012· 河南模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个端 a b 2 1 点为 M(0,1),直线 l:y=kx- 与椭圆相交于不同的两点 A,B. 3 (1)若|AB|= 4 26 ,求 k 的值; 9

(2)求证:不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. c 2 解:(1)由题意知 = ,b=1. a 2 由 a2=b2+c2 可得 c=b=1,a= 2, x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 2

?y=kx-3, 由? x ? 2 +y =1
2 2

1

4 16 得(2k2+1)x2- kx- =0. 3 9

16? 16 2 64 Δ= k2-4(2k2+1)×? ?- 9 ?=16k + 9 >0 恒成立, 9 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k 16 则 x1+x2= ,x1x2=- . 2 3?2k +1? 9?2k2+1? 4 1+k · ?x1+x2? -4x1x2=
2 2

∴|AB|=

1+k · |x1-x2|=
2

?1+k2??9k2+4? 4 26 = , 9 3?2k2+1?

化简得 23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0, 解得 k=± 1. (2)∵ MA ,=(x1,y1-1), MB ,=(x2,y2-1),

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MB ,=x1x2+(y1-1)(y2-1), ∴ MA ,·
4 16 =(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+ 3 9 16?1+k2? 16k2 16 =- - + 2 2 9?2k +1? 9?2k +1? 9 =0. ∴不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. x2 y2 a2 21. (2012· 广州模拟)设椭圆 M: 2+ =1(a> 2)的右焦点为 F1, 直线 l: x= 2 与 a 2 a -2 x 轴交于点 A,若 OF1 ,+2 AF1 ,=0(其中 O 为坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直径(E,F 为

PF ,的最大值. 直径的两个端点),求 PE ,·

? a ,0? 解:(1)由题设知,A? ?,F1( a2-2,0),由 OF1 ,+2 AF1 ,=0,得 a2-2= 2 a - 2 ? ? ? a - a2-2? 2? ?, 2 ? a -2 ?
解得 a2=6. x2 y2 所以椭圆 M 的方程为 + =1. 6 2 (2)设圆 N:x2+(y-2)2=1 的圆心为 N,
2

2

PF ,=( NE ,- NP ,)· 则 PE ,· ( NF ,- NP ,)
=(- NF ,- NP ,)· ( NF ,- NP ,) = NP ,2- NF ,2 = NP ,2-1.

PF ,的最大值转化为求 NP― 从而将求 PE ,· →,2 的最大值.
因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0),
2 x2 y0 0 2 所以 + =1,即 x0 =6-3y2 0. 6 2 2 2 因为点 N(0,2),所以 NP ,2=x2 0+(y0-2) =-2(y0+1) +12.

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因为 y0∈[- 2,

2],所以当 y0=-1 时, NP ,2 取得最大值 12.

所以 PE ,· PF ,的最大值为 11. 22. (2012· 湖北模拟)如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心,F1,F2 为焦点的椭圆的一部 分. 曲线 C2 是以 O 为顶点, F2 为焦点的抛物线的一部分, A 是曲线 C1 和 C2 的交点且∠AF2F1 7 5 为钝角,若|AF1|= ,|AF2|= . 2 2 (1)求曲线 C1 和 C2 的方程; (2)设点 C 是 C2 上一点,若|CF1|=
2 2

2|CF2|,求△CF1F2 的面积.

x y 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 7 5 则 2a=|AF1|+|AF2|= + =6,得 a=3. 2 2 7?2 2 2 ?5?2 设 A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则(x+c)2+y2=? ?2? ,(x-c) +y =?2? ,两式相减得 xc 3 = . 2 5 由抛物线的定义可知|AF2|=x+c= , 2 3 3 3 则 c=1,x= 或 x=1,c= .又∠AF2F1 为钝角,则 x=1,c= 不合题意,舍去.当 c= 2 2 2 1 时,b=2 2, 3? 3? x2 y2 2 ? 所以曲线 C1 的方程为 + =1? ?-3≤x≤2?,曲线 C2 的方程为 y =4x?0≤x≤2?. 9 8 (2)过点 F1 作直线 l 垂直于 x 轴,过点 C 作 CC1⊥l 于点 C1,依题意知|CC1|=|CF2|. 在 Rt△CC1F1 中, |CF1|= 2|CF2|= 2|CC1|, 所以∠C1CF1=45° ,

所以∠CF1F2=∠C1CF1=45° . 在△CF1F2 中,设|CF2|=r,则|CF1|= 2r,|F1F2|=2. 由余弦定理得 22+( 2r)2-2×2× 2rcos 45° =r2, 解得 r=2, 1 1 所以△CF1F2 的面积 S△CF1F2= |F1F2|· |CF1|sin 45° = ×2×2 2sin 45° =2. 2 2


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