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排列组合


行胜于言

专题能力训练 19

排列、组合与二项式定理

能力突破训练 1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排 甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有( )

A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 2.已知( 2 + )

的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x4 的系数为( ) A.5 B.40 C.20 D.10 3.(2015 湖北高考)已知(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二 项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 4.若( 6 + ) 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于( √ A.3 B.4 C.5 D.6
1 1 1



)

5.(2015 河北唐山高三一模)( 2 + 2 -2) 展开式中的常数项为( ) A.-8 B.-12 C.-20 D.20 6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名学生中选派四名学生参加,要求甲、乙两名同学 至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数 为( ) A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 020 7.(2015 贵州八校第二次联考)若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为 a,所有项的系数 的绝对值之和为 b,则 + 的最小值为( ) A.2 5 B.2 C. 6 D.
9 2 13

3

8.学校组织同学参加社会调查,某小组共有 5 名男同学、4 名女同学.现从该小组中选出 3 名 同学分别到 A,B,C 三地进行社会调查,若选出的同学中男女均有,则不同的安排方法有( ) A.70 种 B.140 种 1

行胜于言 C.840 种 D.420 种 9.在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 B.60 C.120 D.210
2

)

10.二项式(√ + 2) 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( ) A.180 B.90 C.45 D.360 11.(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 .(用数字填写答案) 10 7 12.(x+a) 的展开式中,x 的系数为 15,则 a= .(用数字填写答案) 13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工, 且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 . 14.(-2 + ) 的展开式中的常数项为
1 4

.

15.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴全运会的四个不同场馆 服务,不同的分配方案有 种.(用数字作答) 2 10 2 16.已知多项式 x +x =x +a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则 a9= . 4 17.(2015 广东高考)在(√ -1) 的展开式中,x 的系数为 . 18.(2015 广东高考)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么 全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 思维提升训练 19.将 2 名教师、4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组 由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 20.设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项式系数 的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 21.(2015 河南信阳第二次调研)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学 竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安 排方法有( ) A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种 22.若 x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则 log2(a1+a3+a5+…+a11)等于( ) 7 8 A.2 B.2 C.7 D.8 23.用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中 取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不 取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开 式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且 所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ) 2 3 4 5 5 5 A.(1+a+a +a +a +a )(1+b )(1+c) B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) 2

行胜于言 D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 1 2 3 10 24.1-90C10 +902C10 -903C10 +…+(-1)k90kC10 +…+9010C10 除以 88 的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 25.(2015 四川绵阳高三二诊)某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选 2 个不同字母,从 {0,2,6,8}中选 3 个不同数字编拟车牌号,要求前 3 位是数字,后两位是字母,且数字 2 不能排在首 位,字母 Z 和数字 2 不能相邻,那么满足要求的车牌号有( ) A.198 个 B.180 个 C.216 个 D.234 个 10 26.已知(x+1) =a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列 a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增 数列,则 k 的最大值是 . 27.设二项式(- ) 的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a=
6

.

参考答案
能力突破训练

1.B 解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A5 5 =120 种不同的排法; 4 第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有 4 种排法,其余位置有A4 =24 种不同的排法.所以共有 4 A5 5 +4A4 =216 种不同的排法.
2 5-r 10-3r 2.D 解析:令 x=1,得 2n=32,所以 n=5,则C5 ( x ) ( ) = C5 x .令 10-3r=4,得 r=2,所以展开 2 式中 x4 的系数为C5 =10. 3 7 3.D 解析:由条件知C = C ,∴n=10. 10 ∴(1+x) 中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29. 6 n-r 6- 2 4.C 解析:展开式的通项为 Tr+1=C (x ) ( ) = C ,因为展开式中含常数项,所以 6n15 1 1



15

r=0 成立,即 n=4r.当 r=4 时,n 有最小值 5.故选 C. 2 5.C 解析:因为( 2 + 2 -2) = (- ) ,
1

5



3

1 6

3 所以当 r=3 时为常数项,常数项为-C6 =-20. 6.C 解析:依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数 :第一类,甲、 1 3 乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C2 · C6 · 4 A4 =960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序 2 2 2 的种数为C2 · C6 · A2 2 · A3 =180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为 960+180=1 140.故选 C.

6-r 6-2r 所以 Tr+1=C6 x (- ) =(-1)rC6 x ,

1

7.B 解析:令 x=1,a=2n,令 x=-1,b=4n, + =2n+ ,令 t=2n,t≥2,则 + =2n+ =t+ ≥2+ = . 故选 B. 8.D 解析:由题意,满足条件的事件是选出的 3 名同学中男女都有,包括两种情况,一是一男 1 2 1 2 两女,二是一女两男,共有C5 C4 + C4 C5 =70(种),分别到 A,B,C 三地进行社会调查,有A3 3 =6(种),故共 有 70×6=420 种. h r 9.C 解析:∵(1+x)6 展开式的通项为 Tr+1=C6 x ,(1+y)4 展开式的通项为 Th+1=C? 4y , 6 4 ? r h ∴(1+x) (1+y) 展开式的通项可以为C6 C4 x y , ∴f(m,n)=C6 C4 . 3 2 1 1 2 3 ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C6 + C6 C4 + C6 C4 + C4 =20+60+36+4=120.故选 C. 10.A 解析:由二项式系数的性质,得 n=10,
2 2 2 2





1





1

1

1

5

3

行胜于言
2 ∴Tr+1=C10 (√)10-r(2 ) =2rC10 5 2

·

5 5- 2

,

8-r r 11.-20 解析:(x+y)8 的通项为 Tr+1=C8 x y (r=0,1,…,8). 7 7 7 6 2 6 当 r=7 时,T8=C8 xy =8xy ,当 r=6 时,T7=C8 x y =28x2y6, 所以(x-y)(x+y)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x· 8xy7-y· 28x2y6=-20x2y2,故系数为-20. 1 10-r r 12. 解析:设展开式的通项为 Tr+1=C10 x a,
2

令 5-2r=0,则 r=2,从而 T3=4C10=180.

3 7 3 3 3 令 r=3,得 T4=C10 x a ,即C10 a =15,得 a=2. 13.36 解析:先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1 和 3,1,1.①若分成 2,2,1 三组,共有 1 3 1 3 C3 A3=18 种分法;②若分成 3,1,1 三组,共有C3 A3=18 种分法.由分类计数原理知,共有 18+18=36 种分法.

1

14.70

解析:(-2 + ) =

1 4

(-1)8 4

8-r ,由二项式定理知(x-1)8 通项为 Tr+1=C8 x (-1)r,令 r=4 得

4 4 T5=C8 x (-1)4=70x4,故(-2 + ) 的展开式中的常数项为 70.

1 4

15.1 080

解析:先将 6 位志愿者分组,共有
2 C2 6 C4

2 C2 6 ·C4

A2 2

种方法;再把各组分到不同场馆,共有A4 4 种方法.

由乘法原理知,不同的分配方案共有

16.-10 解析:x2+x10=x2+[(x+1)-1]10,a9 是(x+1)9 的系数,则[(x+1)-1]10 的通项为 1 Tr+1=C10 (x+1)10-r· (-1)r,令 r=1,T2=-C10 (x+1)9=-10(x+1)9,故 a9=-10. 17.6 解析:该二项展开式的通项为 Tr+1=C4 (√)4-r(-1)r,当 x 的指数为 1 时,4-r=2,解得 r=2. 2 故 T3=C4 (√)2(-1)2=6x,即 x 的系数为 6. 18.1 560 解析:该问题是一个排列问题,故共有A2 40 =40×39=1 560 条毕业留言.
思维提升训练

A2 2

· A4 4 =1 080.

19.A 解析:将 4 名学生均分为 2 个小组共有

2 C2 4 C2

将 2 个小组的同学分给两名教师带有A2 2 =2 种分法, 最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有A2 2 =2 种分法, 故不同的安排方案共有 3×2×2=12 种. 20.B 解析:由题意可知,a=C2 ,b=C2+1 , (2)! (2+1)! ∵13a=7b,∴13· =7· ,
!! !(+1)!

A2 2

=3 种分法,

21.B 解析:首先从四个人中选择 2 个人作为一组,其余 2 个人各自一组分派到三个竞赛区, 2 3 2 3 共有C4 · A3 3 种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数A3 排除,继而所求的安排方法有C4 · A3 ? A3 3 =30 种,故答案为 B. 22.C 解析:令 x=-1,得 a0+a1+a2+…+a12=28, ① 令 x=-3,得 a0-a1+a2-a3+…+a12=0, ② 8 由①-②,得 2(a1+a3+…+a11)=2 , ∴a1+a3+…+a11=27, ∴log2(a1+a3+…+a11)=7. 23.A 解析:本题可分三步:第一步,可取 0,1,2,3,4,5 个红球,有 1+a+a2+a3+a4+a5 种取法;第二 步,取 0 或 5 个蓝球,有 1+b5 种取法;第三步,取 5 个有区别的黑球,有(1+c)5 种取法.所以共有 (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 种取法.故选 A. 1 2 10 24.B 解析:1-90C10 +902C10 +…+(-1)k90kC10 +…+9010C10 =(110 10 10 10 9 1 9 90) =89 =(88+1) =88 +C1088 +…+C1088+1,∵前 10 项均能被 88 整除,∴余数是 1.

即7 =

13

2+1 +1

.解得 m=6.故选 B.

4

行胜于言 25.A 解析:不选 1 1 字的中间,有A2 3 C2 C3 =36 种,当 72+72+36+18=198,故选 A.
2 2 时,有A3 3 A4 =72 种;选 1 2 2 2 2,不选 Z 时,有C2 C3 A2 A3=72 种;选 2,选 Z 时,2 在数 2 1 2 在数字的第三位时,有A3 A3 =18 种,根据分类计数原理,共有 -1

26.6 解析:由二项式定理知 an=C10 (n=1,2,3,…,n). ∵(x+1)10 的展开式中二项式系数最大项是第 6 项. 5 ∴a6=C10 ,则 k 的最大值为 6.
3 r=3,B=-a3C6 =-20a3,代入 B=4A 得 a=-3. 6-r 6-2r 2 27.-3 解析:Tr+1=C6 x · (- ) =(-a)rC6 x ,令 6-2r=2,得 r=2,A=a2C6 =15a2;令 6-2r=0,得


5


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