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2003年全国高中数学联赛试题


2003 年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 (10 月 12 日上午 8:00-9:40) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+

b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.
2

B.

C.

D.

3.过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两 点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 (A ) 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3

4.若 x∈[- (A)

5? 2? ? ? ? ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 (B) 11 2 6 (C) 11 3 6 (D) 12 3 5

12 2 5

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 2 7.不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是



8.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ 9 4

x y

2

2

PF1F2 的面积等于 . 2 9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 .

3 5 10. 已知 a, b, c, d 均为正整数, 且 logab= , logcd= , 若 a-c=9, 则 b-d= 2 4



11.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个 圆柱内,并使得每个球都和其相邻的 四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 . 12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.- a1a2…an |ai 只取 0 或 1(i=1, 2, …, n-1), an=1},

Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim = n→∞Tn



五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆 周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所 有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

加试题 (10 月 12 日上午 10:00?12:00)
[来源:学§科§网]

一、 (本题 50 分) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A、B,所作割线交圆于 C、D 两点, C 在 P、D 之间.在弦 CD 上取一点 Q,使∠DAQ=∠PBC. 求证:∠DBQ=∠PAC.

二、 (本题 50 分) 设三角形的三边长分别是正整数 l,m,n.且 l>m>n>0.
?3 ? ?3 ? ?3 ? 已知? 4?=? 4?=? 4?,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角 ?10 ? ?10 ? ?10 ?
l m n

形周长的最小值.

三、 (本题 50 分) 1 2 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形, 其中 n=q +q+1, l≥ q(q+1)2+1, 2

q≥2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q+2 条 连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC、 CD、DA 组成的图形).


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