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江苏省姜堰市蒋垛中学高二数学早练及作业5


班级: 姓名: 1. 直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 到直线 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离是 。 2. 椭圆一个焦点为 错误!未找到引用源。 长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的标准方程 是 。 3.椭圆中,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,焦点到相应准线的 距离也为 2 ,则该椭圆的离心率为
2 2

。<

br />
4. 直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则 AB 的垂直平分线方程 是 。 5. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,E、F、G、H 分别是 AB、AC、PC、BC 的中点且 PA=PB,AC=BC。 P (1)证明 AB⊥PC; (2)证明:PE∥平面 FGH。 G

A E B 6. 在平面直角坐标系 x O y 中,已知圆 B : ( x

F H

C

与点 A ( ? 1, 0 ) , P 为圆 B 上的动 点,线段 P A 的垂直平分线交直线 P B 于点 R ,点 R 的轨迹记为曲线 C. (1) 求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q ,过原点 O 且不与 x 轴重合的直线与曲线 C 的交点记 为 M , N ,连接 Q M , Q N ,分别交直线 x ? t ( t 为常数,且 t ? 2 )于点 E , F ,设 E , F 的纵坐
? 1) ? y
2 2

? 16

标分别为 y 1 , y 2 ,求 y 1 ?

y2

的值(用 t 表示). y

·P
l

·R ·O · A B

x

日期:

高二数学作业 5
1. 已知椭圆
x a
2 2

姓名:
12 5

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为 ,且过点 P(4,
5

3

) 为上顶点,F 为右 ,A

焦点.点 Q(0,t)是线段 OA(除端点外)上的一个动点,过 Q 作平行于 x 轴的直线交直 线 AP 于点 M,以 QM 为直径的圆的圆心为 N. (Ⅰ)求椭圆方程; y (Ⅱ)若圆 N 与 x 轴相切,求圆 N 的方程;
1

A Q N M P

(Ⅲ)设点 R 为圆 N 上的动点,点 R 到直线 PF 的最大距离为 d,求 d 的取值范围.

2. 设 F 1 , F 2 分别为椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点, 过 F 2 的直线 l 与椭圆 C

? 相交于 A , B 两点, 直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 .

(1) 求椭圆 C 的焦距; (2) 如果 AF 2 ? 2 F 2 B ,求椭圆 C 的方程.

日期:

高二数学基础知识早 5 练参考答案
1. 4 2.
x
2

?

y

2

?1

3.

1 2

4. 3 x ? y ? 3 ? 0

16

4

5. 解: (1)证明:连接 EC, 有 EC ? AB 又? PA ? PB ,
? AB ? PE
? AB ? 面 PEC , PC ? 面 PEC ? AB ? PC

(2)连结 FH,交于 EC 于 R.
? PE ? FHG .GR ? 面 FHG .

连接 GR. 在 ? PEC 中 , GR // PE .
? PE // 面 FHG .

6. 解:(1)连接 R A ,由题意得, R A ? R P , R P ? R B ? 4 , 所以 R A ? R B ? 4 ? A B ? 2 ,…………………………………………………………2 分 由椭圆定义得,点 R 的轨迹方程是
x
2

?

y

2

? 1 .……………………………………4



4

3

2

(2)设 M 则 kQM

( x0 , y0 )

,则 N ( ? x 0 , ? y 0 ) , Q M , k NQ
? y0 x0 ? 2

,QN

的斜率分别为 k Q M

, kQN



?

y0 x0 ? 2

,………………………………………………………6 分
y0 ( x ? 2)

所以直线 Q M 的方程为 y 令x
? t ( t ? 2 ) ,则 y 1 ?

?
y0

x0 ? 2

,直线 Q N 的方程 y
y0 x0 ? 2
2

?

y0 x0 ? 2

(x ? 2)

,…8 分

x0 ? 2

( t ? 2 ), y 2 ?
2

(t ? 2 )

,……………………………10 分 ,

又因为 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆
y0
2 2

x0 4

2

?

y0 3

? 1 ,所以 y 0 ? 3 ?

3 4

x0

2

(3 ? (t ? 2 ) ?
2

3 4

所以 y 1 ?

x 0 )( t ? 2 )
2 2

2

y2 ?

x0 ? 4

x0 ? 4

? ?

3 4

(t ? 2 )

2

,其中 t 为常数.……14 分

高二数学作业 5 参考答案
1. (Ⅰ)∵e= 故椭圆方程为
3 5
x
2 2

不妨设 c=3k,a=5k,则 b=4k 其中 k>0
? y
2 2

? 1( a ? b ? 0 )

…………………………………………………1 分
( 12 5 16 k
2

25 k

16 k

∵P(4,

12 5

)在椭圆上, ∴
x
2

4

2 2

)

2

?

?1

解得 k=1 …………………………3 分 分

25 k

∴椭圆方程为

?
? 4

y

2

? 1 …………………………………………………………………4

25
12

16
2 5
5(4 ? t) 2 5(4 ? t) 4 , t)

(Ⅱ) k AP

?

5 4
?

? ?

则直线 AP 的方程为 y ∴M(
5(4 ? t) 2 , t)

? ?

2 5

x? 4

…………………………5 分

令 y=t ,则 x

………………………………………………6 分

∵Q(0,t) ∴N(

………………………………………………………7 分
? t
5(4 ? t) 4

∵圆 N 与 x 轴相切 ∴

5(4 ? t ) 4

…………………………………………………8 分
? t

由题意 M 为第一象限的点,则 ∴N(
20 9 , 20 9 ? 12 5 )

,解得 t
20 9 ? )
2

?

20 9

………………………………9 分 ……………………………10 分

,圆 N 的方程为 ( x ?

20 9

)

2

? (y ?

?

400 81 12 5

(Ⅲ)F(3,0) k PF ,

∴直线 PF 的方程为 y
15 ( 4 ? t ) ? 5 t ? 36 13

( x ? 3)

即 12 x ? 5 y ? 36
6 ? 5t

? 0

………11 分

∴点 N 到直线 PF 的距离为 ∴d
?



24 ? 20 t 13



4 13

………………12 分

4 13

6 ? 5t



5 4

(4 ? t)

………………………………………………………………13 分
356 ? 145 t 52

∵0<t<4 ∴当 0<t≤ 当
6 5 6 5

时, d
?

? 4 13

4 13

(6 ? 5t ) ? (5t ? 6 ) ? 5 4

5 4

(4 ? t )



,此时
7 2

7 2

? d ? 56 13

89 13

………………14 分 ………………15 分

<t<4 时, d

(4 ? t )



164 ? 15 t 52

,此时

? d ?

3

∴综上, d 的取值范围为 ?

?7 ?2

,

89 ? ? 13 ?



…………………………………………………16 分

2. (1) 设焦距为 2 c , 由已知可得 F 1 到直线 l 的距离 3 c ? 2 3 ? c ? 2 . 所以椭圆 C 的焦距为 4 . (2) 设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) 由题意知 y 1 ? 0 , y 2 ? 0 直线 l 的方程为 y ?
? y ? 3 (x ? 2) ? 2 2 2 2 ? (3 a ? b ) y ? 4 联立 ? x 2 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a 3b y ? 3b
2 4

3 (x ? 2) ,

? 0,

解得 y 1 ?

?

3b ( 2 ? 2 a )
2

3a

2

? b

2

, y2 ?

?

3b ( 2 ? 2 a )
2

3a

2 2

? b

2

.
? 2? ? 3 (2 ? 2a ) 3a
2

因为 AF 2 ? 2 F 2 B , ? ? y 1 ? 2 y 2 . 即 得?
?a ? 3 ?a
2

3b ( 2 ? 2 a ) 3a
2

? b

2

? b

2

,

?b

2

? 4

? b ?

5 , 故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1 .

9

5

4


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