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二维形式的柯西不等式(温州中学 孔娣)


高中数学模块选修4- 高中数学模块选修 -5 ----《不等式选讲》 温州中学 《不等式选讲》
孔 娣

1、已知a、b ∈ R, a + b = 1, 求ab的最大值。
2 2

2、已知a、b、c、d ∈ R, a + b = 1,
2 2

c + d = 1, 求ac + bd的最大值。
2 2

3、已知a、b、c、d ∈ R, a + b = 1,
2 2

c + d = 4, 求ac + bd的最大值。
2 2

1(二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式) 定理 1(二维形式的柯西不等式) 都是实数, 若 a, b, c, d 都是实数,则 (a2 + b2 )(c2 + d2 )≥(ac + bd)2 . 等号成立. 当且仅当 ad = bc 时,等号成立.

二维形式的柯西不等式

柯西(Cauchy)
法国数学家、力学家。 法国数学家、力学家。 柯西最重要的数学贡 献在微积分、 献在微积分、复变函 数和微分方程等方面。 数和微分方程等方面。 此外, 此外,柯西对力学和 天文学也有许多贡献。 天文学也有许多贡献。

1(二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式) 定理 1(二维形式的柯西不等式) 实数, 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac+bd)2 . 等号成立. 当且仅当 ad = bc 时,等号成立.

练、已知 a、 b、 c、 d ∈ R , a + b = 1,
2 2

c + d = 4, 求 ac + bd的最小值。
2 2

注 : 若

都 是 实 数 , 则 (a2 + b2 ) ? (c2 + d2 ) ≥ ac + bd .当且仅当 ad = bc 时 等号成立. 等号成立.

a, b, c, d

注:若 α = ( a , b ) , β = ( c , d ) ,则 u ur r | ac + bd | | cos α , β |= ≤1 2 2 2 2 a +b ? c +d
定理 2(柯西不等式的向量形式) 柯西不等式的向量形式 的向量形式) u u r r u u r r u u r r 是两个向量, 若 α, β 是两个向量 ,则 α β ≥α ? β . u r u r u r 当且仅当 β 是零向量或存在实数 k ,使 α = kβ 等号成立. 时,等号成立.

r u

ur

例 1(1)求函数 y1 =

x ? 1 + 5 ? x 的最大值. 的最大值.

的最大值. (2)求函数 y2 = 5 x ? 1 + 3 5 ? x 的最大值. 的最大值. (3)求函数 y3 = 5 x ? 1 + 10 ? 2 x 的最大值.

例 2、已知 a、 ∈R,求 : 1? b + b 1? a ≤ 1 、 b 证 a 。
2 2

思考、 思考、 用柯西不等式推导点到直线的距离公式: 用柯西不等式推导点到直线的距离公式:

已知: 已知:点P0(x0,y0)和l:Ax+By+C=0(A,B 不全为0),求点 到直线L的距离。 求点P 不全为0),求点P到直线L的距离。

d=

Ax0 + By0 + C A +B
2 2

a b 例3:已知a, b ∈ R , 求证: + ≥ a + b b a
+

2

2

课外思考: 课外思考: 求证: 设 x1 , x 2 , L , x n ∈ R + , 求证:
2 2 xn ?1 xn x12 x2 2 ≥ x1 + x2 + L + xn + +L+ + x2 x3 xn x1 年全国高中数学联赛题) ( 1984 年全国高中数学联赛题)

定 理 (一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ) 设 a , a , a ,L , a , b , b , b ,L , b 是 实 数 , 则 1 2 3 n 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 +L+ an )(b1 + b2 +Lbn )≥(a1b1 + a2b2 +Lanbn ) 当 且 仅 当 b = 0 ( i = 1, 2, L , n ) 或 存 在 一 个 数 i k , 使 得 a = kb ( i = 1, 2, L , n )时 , 等 号 成 立 . i i

猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 +L+ an )(b1 + b2 +Lbn )≥(a1b1 + a2b2 +Lanbb )2 ②

2 2 2 分析: 分析: A = a1 + a 2 + L + a n, B = a b + a b + L a b 设 1 1 2 2 n n

构造二次函数

C = b + b + L + b ,不 等 式 ②就 是 AC ≥ B 2
2 1 2 2 2 n

2 2 2 f ( x ) = (a1 + a 2 + L + a n ) x 2 + 2( a1b1 + a 2 b2 + L a n bn ) x 2 2 + (b12 + b2 + L bn ) 又f ( x ) = (a1 x + b1 ) 2 + (a 2 x + b2 ) 2 + L + (a n x + bn ) 2 ≥ 0

∴二次函数 f ( x ) 的判别式 △≤ 0 , 即 4(a1b1 + a2b2 +Lanbn ) ? 4(a + a +La ) ? (b + b +L+ b ) ≤0
2 2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

例 3 证 明 : 在 不 等 式 的 左 端 嵌 乘 以 因 式 ( x2 + x3 + L + xn + x1 ) ,也即嵌以因式 ( x1 + x2 + L + xn ) ,由 柯西不等式, 柯西不等式,得 2 2 2 x n ?1 xn x1 x2 2 + +L+ + ( x2 x 3 xn x1

) ? ( x2 + x3 + L + xn + x1 )

2 2 2 2 ?? ? xn?1 ? ? xn ? ? ? ? x2 ? x = ?? 1 ? + ? ? + L+ ? ? +? ?? ? ? ? x ? ? x ?? ?? x2 ? ? x3 ? ? ? n? ? 1? ? ?? ? x 2 + x 2 + L+ x 2 + x 2 ? ?? 2 3 n 1 ? ? ? ? x1 ? xn?1 xn x2 ≥? ? x2 + ? x3 + L+ ? xn + ? x1 ? ? x ? x3 xn x1 ? 2 ?

( ) ( )

( ) ( )

= ( x1 + x2 + L+ xn ) ,
2
2 2 2 xn ?1 xn x1 x2 2 于是 + ≥ x1 + x2 + L + xn . +L+ + x2 x3 xn x1

求证: ( ax1 + bx2 ) ? ( bx1 + ax2 ) ≥ x1 x2 求证: 分析:如果对不等式左端用柯西不等式, 分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的 前后项对调一 要证明的结论 若把第二个小括号内的前后项对调一 若把第二个小括号内的 下,情况就不同了. 情况就不同了 证明: 证明:∵ ( ax1 + bx2 ) ? ( bx1 + ax2 ) = ( ax1 + bx2 ) ? ( ax2 + bx1 )
由柯西不等式可知

课堂练习 1: 已知 a,b∈ R + , a+b=1, x1 , x2 ∈ R + ,

( ax1 + bx2 ) ? ( bx1 + ax2 ) ≥ ( a
2

x1 x2 + b x1 x2

= ( a + b ) x1 x2 = x1 x2 .得证 得证

)

2

练习 2、已知 a 1 ? b 2 + b 1 ? a 2 = 1, 、 求证: 求证: a 2 + b 2 = 1 。 证明:由柯西不等式, 证明:由柯西不等式,得 2 2 ?a2 +( 1?a2 ) ??b2 +( 1?b2 ) ? = 1 a 1?b + b 1?a ≤? ?? ?

1? b 上式取等号, 当且仅当 时,上式取等号, = 2 a 1? a b
2 2

∴ ab = 1 ? a ? 1 ? b ,
2

a 2b 2 = ( 1 ? a 2 ) ( 1 ? b2 ) ,

于是 a 2 + b 2 = 1 。 注: 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的

ac + bd = S阴 = a + b
2

2

c + d sin θ
2 2


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