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基于微资源建设下的


2 6

?上 海 中 学 数 学



? 2 0 1 S

年第

5

? ? 期

基 于 微 资 源 建 设 下 的 等 比 数 列 及 其 通 项公 式 的 教 学 设 计 ? ?
2 0 1 8 0 8





?上 海 市

嘉定





? ? 徐李叶




?


_ ?.

?念 中 微 资 源 的 迁 移 得 到

? ? .

系 列 具有某



特征 的 数 ? ?

?列 及 其 相 关 性 质 授 课 对 象?
? ? 一

? ? 学生 来 自 实 验 性 示 范 性 高 中 的 T 理 科 实 验




班 基 础 较好 有 较 高 的 数 学 素 养






?1



识 微见 远

以 旧带 新 ? ?
? ? ,

2




教 学 设 计 原 理 与 内 容 分 析?上 节课 刚 学 了 等 差 数 列 的 概 念 及 其 通 项 公 式
” “ ”


等 比 数列 及 其 通项 公 式 是 等 比 数 列


的 第 ?教 师 先 请 学 生 回 忆 等 差 数 列 的 定 义 通 项 公 式 及 其 ? ?
, ,



课 时 教 材 将 等 比 数 列 安 排 在 等 差 数 列 之 后 有 ?相 关性 质 完成 表


1

的 填写
" " "

? ? .

承 前启 后 的 作 用





方 面 与 等 差 数 列 有 密 切 联 系 ?表


? ? 1

? ?  ̄

方 面为 进




步 学 习 数 列 求 和 等 有 关 内 容 做 好?
?

等 魏列

准备

? ? ?

?

微 资 源 是 指 针 对 教 学 内 容 的 重 点 难 点 及 教?



&义
? ? ?



? ? 学 方 式 中 探 究 教 学 的 实 施 教 师 为 落 实 重 点 难 点 ?递 推 关 系


的 突 破 提 高 探 究 的 质 量 而 在 课 前 进 行 的 资 源 准? m r i? ni
, ,


? ? :

备 是对 教 学 内 容 的 解 构 解 构 为 学 生 认 知 水 平 相
, , ,

? ? ?

当 的 资 源 或 者 说 是 教 师 备 课 时 依 据 学 生 认 知 水?


? ? ?

平 和 策 略 学 科 教 学 内 容 的 学 习 特 征 为 难 度 的 解?巾 敝 式

? ? ?

构 ?性 质 ? ? 本 节课 以 等 差 数 列 概 念 中 当 ” 彡 2 时 ?


‘‘



??

?? ? ?



常数




为 微 资 源 通 过 对 它 的 迁 移 得 到 等? 待 学 生 填 完 表 格 后 请







个 学生 来 总 结
? ? ?



下 等 ? ?


比 数列 的 定 义




以 等 差数 列 通 项 公式 中




差的运算



差 数 列 的 概念 中 有 哪 些 关 键 信 息


为 微 资 源 通 过 对它 的 迁 移 得 到 等 比 数 列 的 通 项 公 ? 生 当













常 数 是 它 的关 键 ? ?


式 和 相 关性 质 最 后 通 过 对 等 差 数 列 等 比 数 列 概 ?信 息






? ? -

念 中 微 资 源 的 迁移
?3






行定 义 得 到





系 列具 有某



?若将 等 差 数 列 中 的 差 迁 移 为 比











? ? 即 得到

特 征 的 数列 及 其 通 项 公 式 ?



? ? 个叫 等 比数列 的数列 若把加 减 乘 除 和乘
、 、 、 、

教学




标 ?方 开 方 运 算 视 为




? ? 低 到 高 的三个 运算等 级 记 等


1

正确 理 解 等 比 数 列 的 定 义


明确



个 数 列? 差 等 比 数 列 的 首 项 为




1



公差 公 比分 别 为




? ? 和

是 等 比 数 列 的 限 定 条件 掌 握 等 比 数 列 的 通 项 公 式


?g



类 比等差数列 将 表

? ? .

中 等 比 数列 的 相 关 内 容 ? ?

2



通过 对 等 比 数 列 的 研究 逐 步 培 养 学 生 观 ?填 写 完 整


察 类 比 归纳 猜想 等 思 维 能 力 并 进
、 、 、





? ? 步 培 养 学 生 ?在 填 表 过程 中 教 师 发 现 部 分 学 生 从 等 差 数 列




善 于 思 考 解决 问 题 的 能 力 ?的 定 义 类 比 到 等 比 数 列 定 义 时 忽 视 了 比 为 同






? ? 个



3



通 过参 与 问 题 的 提 出




思 考 解 决 的 过 程 ?非 零 常 数 这 个 限 制 条 件 经 教 师 提 醒 研 究 的 是 相 ? ?






理 解归 纳 类 比 思 想 在 数 学 学 习 中 的 作 用 培 养 学 生 ? 邻 两 项 的 比 则 这 个 比 是 否 应 该 有 什 么 限 制 条 件




? ? ?

? ? 勇 于 探 索 的 求 知 精 神 体 验 感 受 成 功 的 喜 悦 ?学 生 恍 然 大 悟 对 于 通 项 公 式 性 质 的 类 比 请 学 生












4



教学 重 点 及 难 点 ?上 黑 板板 演 基 本 没 问 题 如 文 末 表




2



? ? .

? ? 重 点 是 引 导 学 生 通 过 对 等 差 数 列 概 念 中 微 资 源?根 据 等 差 数 列 等 比 数 列 的 定 义 要 求 学 生 对 等



的 归 纳 类 比 得 到 等 比 数 列 的 定 义 及 其 通 项 公 式 ?差 数 列 等 比 数 列 的 异 同 点 进 行 比 较 总 结 填 写 ? ?









难 点 是 引 导 学 生 通 过 对 等 差 数 列 等 比 数 列 概 ?表


3

? ? .

上海 中 学 数 学

?
?



?2 0 1 S

年第



期? 2 ? ? 7



3

?


?

?







的所 有项 都 要 同 时 满 足




?—

或 都要 同 时 ? ?


不 同 点 ?相 同 点 ?满 足 ?


an


_



?

2



因 此 也 就 无 法 断言 数列


a?



为等 ? ?

?

?




1



强 调每




项与 前

项 的 差 ? CO 都 强 调 每




? ? 差 数列 或 等 比 数 列 了 事 实 上 满 足 条 件 的 数 列 有 无 有 是 可 既 不 能 等 差 数列 也 不是等 比 数 ? ? 项? 数 个 它 们
, , ,


2










可 以 为 零 ?与 前

一 .



项 的关 系

?列 如


一 一



1



1



1



3



5



7



7



7

? ? …


?

3



等差 中项唯
强调 每



?




2



结 果 都 必 须 是? 例


3

数列

? ? )





j 为 等 比数 列



? ? 则 下 列 结论 中 不



1



项与前

常 数 ?正 确 的 有 ?


等 比数列

项的比 ?


3



数列 都可 由





?A




? ? 数 列 心 是等 比数列


2











都 不 为 零 ?^ 或 ?






确定

? ? .


?

3



等 比 中项不唯



数列


是 等 比 数列 ? ?


?

2



研精究微
1





反 三?

2






数 列 七? 为 等 差 数 列 ? ?


6








6 <


是 三个 实 数 则





成等 比 数 列 的


? 条件 ? 分 析
6












数列


l {





a?



?}

为 等 差数 列 ? ?





本 题 旨 在 综 合考 查 等 差 数 歹


等 比数歹


? ? 《








不 定 大 于 零 所 以 C 是不 正 确 的 当 然 A B D ? 都 ? 充 要 ?a 既 非 充分 又 非 必要 ? 帛 可 賴 用 鮮 等 比 麵 的定 义 鳩 证 明 的 分 析 这 题 旨 在 職 学 賴 化 等 比 細 巾 a" ? 3 知 微 知 彰 触类 旁 通 ? ? g 都 不 为 零 这个 条 件 ? 通 过 对 上 述例 题 的 研究 学 生 们 对 等差 数歹 等 ? ? 厂 且? ^ 且 二 入+ 粉 ? 学 生当 比数 列 的 定 义有 了 更 清 晰 的 认 识 下 面请 3 iS ^ , a 念 微 通 对 概 H 专家 中 ? ? 麵的 过 等 差 数列 等 比 数列 v w db ^ z ? rv l ?1 ^


充 分 非 必 要? B 必 要 非 充 分 ?


的 定 乂 结合 选 项 f e息 首先考虑的是
, ,


C D



因 为


an ? ?







? ? .











广


?



二 ? ^ ? 5 ? 1 5 1 5 ? ?a 移 得 到 另 充 要? 既非 充分 又 非 必 要




_















? ? -





















D?








些具 有 某



? ? 特征 的 数 列 及 其 相 关 的 性


过 例
的是





^ : @不 为 零 且 等 比 中 项 不 唯 的 性 质
2

调 等 比 数 歹 ?a " q

l _

? ? ?p


?生



i?



仿照 等差 数列 的 定 义 将






? ? 类 比 到
2

赚列

7



1

4

… ,



4 4 8







和 ?? 正


下列结论



我定 义 等 和 数列





? :

如果



个数列 从第


? ? 项




起 每


项与它的前



项 的 和都等于 同


? ? 个常数 那



?* 可





旦可










ff f? 不 可 能 是 等差 ? 数 列 但 可 能 是等 比 数 列


?的 公 和




? ? ?么 这 个 数 列 叫 做等 和 数 列 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列


若 首项 记 为


_



公和为





? ? 则数列 ⑷ 的 通
? ? .



既 可 能 是 等 差 数 列 也 可 能 是 等 比 数 列? 项 公 式 为


= :i





是等 差
八 口
1




2





彳B &、



类 ?仏 仿 照 等 = 列 定 义 将 == 积 我定义 等积数列 如果 个数列 从第 ? S 的 J f? 资 源 可婦 幻 提

5

?=

2

k ?k

?



















比 到 ? ?
2















t、

!!





? ? 项





断有
=4




7



2



H U ?a

2

4 8







?

9

7

^4


种情 况 产 生 冑


起 每
, ,



项与 它賊



项的 积都等 于 同




个非 零 常 ? ? 则数列 ? ?









W\ ?a H

? ? 数 那 么 这 个 数 列 叫 做 等 积 数列 这 个 常 数 叫 做 等 差


4 8

拓展


已知
a?


数列 沁
2
)?

?





?数 列 的 公 积 若 首 项 记 为 a + 满足 当 时 ?







公积为
?

tti




















?

2











? ? ^W
? ? .



an















0

?






3



1

| ^
5 [

!1

?{

a?





?



?



a?



的 1 项 公式 为

?

?



2


? ?
?

A?




定是等 比 数 列 但 不



定 是 等 差 数 列?


w? j?
? ? =





?









3 等 比 数 列 中 涉 及 到 的 是 相 邻 两项 的 比 因 ? ? 是 等 差 数 列 或 是 等 比 数 列? 此 等 比 数 列 中 a g 都 不 为 零 而 等 积 数 列 中 涉 及 ? ? 可 以 既 不 是 等 差 数 列 也不 是 等 比 数 列? 的 是 相 邻 两 项 的 积 即 使 a w 中 有 零 也 是 可 行 的


定 是 等 差 数列 但 不




定 是 等 比 数 列? 生




















? ? ,

分析




由题目


条件 可 得


a?









an


2



?那 是 不 是 可 将 公 积 为 非零 常 数 这 个 条 件 去 掉 并 不 等 价 于 当 d 时 恒? 生 4 若 a 0 则 0 a 为任 意 实 ? ?








> 2 时 恒有


《?







? ? ?

















2 ?


2







成立 或 当




时 恒有



a ??



a?

==




?

?数 若



1 )



0

? ? ,

成立




这 正是 本 题 解 法 错 误 的 根 源 实 际 上 它 的 ?
2








0



同上

? ? ;

真 正 含 义 是 该 数列 从 第 或 是满 足 关 系 式
^?
=?

项起 每




项与它前



项?




2



关0





为任 意实 数

、‘


? ? ;







知―


或是满足关 系式




2



两者龍 任 选

个 S 并 不 意義 額

? 4 ??

?弁

啡 宁



? ? 件

2 8

?上 海 中 学 数 学






?

2 0

1

5

年第

5

? ? 期



?为 正 常 数 的 数 列 为 方 等 比 数 列



则? 的 性 质 迁 移 得 到 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 相 关 性 质


? ? ,

? ? 不 定 是 等 比 ?这 部 分 内 容 进 展 得 还 是 比 较 顺 利 的 这 与 之 前 对 学 生 类 比 思 想 的 培 养 是分 不 开 的 数列 同 样 笔 者 还 可 以 定 义 满 足 条 件 乂 乂 力 ? ? 课堂 当 堂 检 测 下 来 学 生 对 于 等 差 等 比 数 列 定 n^ 2 p 为 常 数 的 数 列 为 方等 差 数列 ?




? ? .



























? ? 让笔 ? 义 中 微 资 源 的 掌 握 还 是 不 错 的 拿 到 个 问 题 能 想 ? ? 者觉 得 很 惊 喜 为 了 进 步 开 拓 学 生 的 思 路 笔 者 还 ?到 以 微 资 源 为 抓 手 进 行 分 析 和 处 理 问 题 这 就 达 到 微 对 教学 难 进 笔 者 创 源 的 设 重 资 初衷 点 行 解构 给 他 们 提 供 了 个 数 列 与 函 数 相 结 合 的 思 考 题 ?了 生 更 受 识 助 学 和 ? ? 地 理 帮 好 接 知 并 能将 它 应 用 解 新 + 0 U 0 定义 在 上的函数

学生 能想 到 方 等 比 数 列










方 等 差 数列



















? ? ,















oo







如 果 对于 任 意 给 定 的 等 比 数 列











/(?







仍是
1

到 新 问 题 解 决 中 当 然 在例




2

? ? 的拓展中 或 的资源




等 比 数列 则 称


/( 工
?(



为 保等 比 数列 函 数




现 有定


信息 学 生 理解 有 误




义在


? ? ?迁移 中 产 生 偏 差 启 不 笔 者 在 今 后 的 概 念 教 学 中 要 Of /M ?创 设 有 关 突 破 前 文 字 影 响 的 微资 源 f fU ? ? 则其 中 是 保 等 比 数 列 函 数 的 / 的 序 号 为 ?最后 在 利 用 等 差 等 比 数 列 定 义 中 的 微 资 源 自 环 和 新 节 积 然 列 中 等 出 ? ? 来 义 很 行 定 数 等 列 自 就 数 ? ? ? A? ?B ? ?了 然后 却 陷 入 了 僵 局 不 过 生 的 质 疑 下 子 打 通 面 源 迁 破 对 微 ? ? 得 局 明 列 的 移 过 差 前 等 数 资 说 ?D ? ? 僵 C?




是 受 前 文 字 影 响 导致 在 概 念 ? ?



oo



0

)?



0



+ co 上 的 函 数








/( x


)?

?



?;

2





x)





2







3

















)?

?\



? ? ?





































1

) (

2







3 2





4







3







1

) (

3 )









4







? ? ?出 等 比数 列 的 定义 以及 后 面 为加强 等差 等 比数 列 课 后反 思 题 生 开 微 设 起 ? ? 始 ? 资 源而 的 例 训 练 到 了 作 用 学 已 经 ? ? 对 于 等 比 数 列 及 其 通 项 公 式 的 第 课 时 大? 关 注 到 数 学 知 识 中 的 相 关 微 资 源 并 对 此 加 以 思 考 课 ? ? 笔 随 的 堂 向 了 潮 是 之 整 这 生 义 了 定 将 推 高 多 数 教 师 设计 时 都 会 将 类 比 的 思 想 贯 穿 整 堂 课 由 ? 设 课 ? ? 等 差 数 列 定 义 中 的 差 类 比 到 等 比 数 列 的 比 借 ? 者 基 于 微 资 源 建 下设 计本 堂 最 想 达 到 的 教 学 效 果 学 过 把握 微 抓 质 这 能 问 题 生 通 源 而 资 住 的 本 ? ? 是 此再 将等 差 数 列 的 相 关 性 质 类 比 到 等 比 数 列 这 个?




_





‘‘



1







5





















模式 学 生 还 是 比 较 容 易 接 受 的 但 其 类 比 的 实 质 学


普 通 教学 很难 做 到 的 不 过


由 于 时 间 关系




课堂 上没 ? ?


? ? 目 知 半 解 换个 情景 进行 类 比 就 又 有 些 困 难 了 是 告 在 起 的 想 学 列 可 其 生 和 数 以 知 结 合 诉 他 ? ? 考 识 为 了 帮 助 学 生 在 学 习 中 能 知 其 然 更 知 其 所 以? 查 进 步开拓 学 生 的 思 路 然 笔 者 在 设 计 这 节课 时 紧 紧 抓 住 了 等 差 数 列 概 念 ? ? 中 当 时 ^ 常数 4— 这 个微 资 源 通 ?整 堂 课 留 给 学 生 自 主 探 究 的 巧 空 笔 者 依 搪 学 生 认 对 教 学 进 和 略 内 地 知 水 平 策 容 行 解 构 当 ? ? 为 恰 过 对 差类 比 到 商 实 现 了 概 念 的 迁移 给 出 等 比 数列 ? 学 生 导 航 引 路 引 导 学 生参 与 到 知 识 的 生 成 过程 中 的定 义 当 然 学生 在 自 行 归 纳 时 遗 漏 了 公 比 q 判







能 为这







版块 留 过 多 时 间 因 此 给 出


个 思 考题








? ? .









,,



















? ? ,







这 也 在 意 料之 中 经 提 醒 后 学 生 能 马 上 反 应 过 来 将 ?
, ,

体验 知 识 的 发 生 和 发 展 过 程 享 受 数 学 发 现 和 创 造 ? ?



条 件 补 上 在 此 过 程 中 学 生 体 会 了 在 类 比 过 程 中 要 ? 带 来 的 快 乐 让 学 生 在 实践 中 学 会 发 现 归 纳 类 比 ? ? 注 意 思 维 的 严 谨性 完 备 性 以 等 差 数 列 通 项 公 式 中 ? 总 结 发 展 学 生 的 推 理 能 力 培 养 学 生 分 析 问 题 解
、 、 ? ? 、











差 的 运 算 为 微资 源 通过 对差 的类 比 由 等 差 数 列
, ,



决 问 题 的 能力 进




步 提 高 学 生 的 数 学素 养

? ? ■



? ? 2

等 差 数 列? 等 比 数 列 ? ? 如果


个 数 列 从第


2

项起 每
, ,



项与它 的 前





如果



个 数 列 从第


2

项起 每
, ,



项与它 的前



? ? 项

定 义? 的 差 都 等 于 同


个常 数 那么 这个数列 叫 做等 差


的 比都等 于同


? ? 个非零 常 数 那 么 这个数 列 叫 做
? ? .

数 列 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 ?等 比 数 列 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比
递 推 公 式 ?当 ^ 2 时
7







?—


+ 办 常 数 ?当

= ?



2




a?



a?





9







0

的 常数

? ? )

通 项 公 式 ?+

?





_

l)



?a




?





? ? l

?



相 应 图 像 特 点? 是 直 线
中 项 公 式 ?若
?m,





?

Cr

l )



上 的 无 穷 多 个 离 散 点?是 曲 线











?









1

上 的 无穷多 个离 散点 ? ?










2w





+ 是 则? 2


a?








??



2 A

?若

s?


?





w, 是

GN



2



2



+ 务 则 ?d?




? ak ? ?

性 质 ?若

?















e N






+w





+ “ 则 ?a + a
m?



ha



?若?







+w


?

?









则 ?a



? ?a ?





a ? ?a s



? ? ,


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