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必修4第3章(第3课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)


必修 4 第 3 章(第 3 课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)

王新敞



题:3 1.2
王新敞
奎屯 新疆

两角和与差的正弦、余弦、正切(2)
王新敞
奎屯 新疆

教学目的: 要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 教学重点:根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 教学难点:公式 T?+? ,T???及运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两角和与差的正、余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?
二、讲解新课: 两角和与差的正切公式 1 tan(?+?)公式的推导
王新敞
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cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

∵cos (?+?)?0 tan(?+?)=

sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?

当 cos?cos??0 时, 分子分母同时除以 cos?cos?得:

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? ? ?) ? 以??代?得: tan(

其中 ? ? R, ? ? R,? , ? ,? ? ? 都不等于 k? ?

?
2

,k ? Z

2.引导学生自行推导出 cot(?±?)的公式—用 cot?,cot?表示 cot(?+?)=

cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ?
cot ? cot ? ? 1 cot ? ? cot ?

当 sin?sin??0 时,cot(?+?)=

同理,得:cot(???)=

cot? cot ? ? 1 cot ? ? cot?
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必修 4 第 3 章(第 3 课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)

王新敞

三、讲解范例: 例 1 求 tan15?,tan75?及 cot15?的值:
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 解:1? tan15?= tan(45??30?)= 6 3 3? 3 1? 3 1? 3 3 ? 3 12 ? 6 3 3 ? ? ? 2? 3 2? tan75?= tan(45?+30?)= 6 3 3? 3 1? 3 1?

3? cot15?= cot(45??30?)=

1? 3 3 ?1

?

4?2 3 ? 2? 3 2

例 2
王新敞
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1 已知 tan?= ,tan?=?2 求 cot(???),并求?+?的值,其中 0?<?<90?, 3
1 ? tan ? tan ? 1 1 ? ? tan( ? ? ? ) tan ? ? tan ? 7

90?<?<180?

解:cot(???)=

tan ? ? tan ? ∵ tan(?+?)= ? 1 ? tan ? tan ?

1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

且∵0?<?<90?, 90?<?<180? 例 3 求下列各式的值: 1?
1 ? tan 75? 1 ? tan 75?

∴90?<?+?<270?

∴?+?=135?

2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?

解:1?原式=

tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 1 ? tan 45? tan 75? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

2? ∵ tan( 17? ? 28? ) ?

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 四、课堂练习: 五、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察,勤思考,善于联想,由例及类 归纳解题方法,如适当进行角的变换,灵活应用基本公式,特殊角函数的应用等是三角恒等 到变换中常用的方法和技能. 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

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