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北京市丰台区2016届高三二模文科数学试卷 Word版含解析


北京市丰台区 2016 届高三二模文科数学试卷
高中数学
第 I 卷(选择题) 本试卷第一部分共有 8 道试题。 一、单选题(共 8 小题)
A. B. =( ) C. D.

1. 复数

【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】 故答案为:D 【答案】D

2. 过点(2,0)且圆心为(1,0)的圆的方程是( )
A. C. 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】由题知: 所以圆的方程是: 故答案为:B 【答案】B 即 。 B. D.

3. 在不等式组
( ) A. 【考点】几何概型

表示的平面区域内任取一个点

,使得

的概率为

B.

C.

D.

1

【试题解析】作图:

所以 故答案为:C 【答案】C

4. 已知点 在抛物线
A.(4, 4), (4,-4) B. (-4,4) , (-4,-4) C. (5, D. (-5, ) , (5, ) , (-5, )

上,它到抛物线焦点的距离为 5,那么点

的坐标为( )



【考点】抛物线 【试题解析】抛物线 中, 准线方程为:x=-1.

因为 P 它到抛物线焦点的距离为 5,所以 P 到准线的距离为 5,所以 所以 故答案为:A 【答案】A

5. 已知函数

的定义域为

,则“

是奇函数”是“ B.必要而不充分条件

”的( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【考点】充分条件与必要条件

D.既不充分也不必要条件

2

【试题解析】若

是奇函数,则有

所以 才是奇函数, 是奇函数。

成立;

反过来,不成立,对任意的 x 只有一个 故答案为:A 【答案】A ,不能说明

6. 将函数
为( ) A. C. B. D.

的图象向左平移

个单位后与函数

的图象重合,则函数

【考点】三角函数图像变换 【 试 题 解 析 】 将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 到 :

故答案为:D 【答案】D

7. 已知
A. C. B. D.

,那么( )

【考点】对数与对数函数 【试题解析】因为 故答案为:C 【答案】C 所以 。

8. 下表为某设备维修的工序明细表,其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下
一 个 工 序

3

将这

个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图,如图,那么图中的 1,2,3,4 表示的工序代号依

次为( )

A.E,F,G,G C.G,E,F,F

B.E,G,F,G D.G,F,E,F

【考点】函数模型及其应用 【试题解析】由设备维修的工序明细表知:D 后可以是 E,G;因为 G 后是 H,所以 4 是 G, 1 是 E。 因为 E 后是 F,所以 2 是 F,3 是 G。 故图中的 1,2,3,4 表示的工序代号依次为:E,F,G,G 故答案为:A 【答案】A

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(共 6 小题)
9.已知向量 【考点】平面向量坐标运算 【试题解析】 故答案为:5 【答案】5 所以 ,则 _______.

4

10.已知双曲线 【考点】双曲线 【试题解析】因为双曲线



)的一条渐近线方程为

,则 =





)的渐近线方程为:

所以

故答案为: 【答案】

11.某产品广告费用 x 与销售额 y(单位:万元)的统计数据如下表,根据下表得到回归方程 =10.6x+a,则 a=_________. 【考点】变量相关 【试题解析】因为回归直线过样本中心点( 所以 故答案为:5.9 【答案】5.9 )=(3.5,43) ,

12. 当 n = 3 , x = 2 时 , 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 的 结 果 为

5

____________.

【考点】算法和程序框图 【试题解析】 K=3,s=19,是;k=4,s=42,否。 则输出的结果为 42. 故答案为:42 【答案】42 是;

13.一个三棱柱被一个平面截去一部分,剩下的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体

积为________________.

【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥得到的。 所以 故答案为:20
6

【答案】20

14.某旅行达人准备一次旅行, B, C 三类用品, 考虑携带 A, 这三类用品每件重量依次为 1kg, 2kg,3kg,每件用品对于旅行的重要性赋值依次为 2,2,4,设每类用品的可能携带的数量依 次为 类用品的重要性指数 【考点】函数模型及其应用 【试题解析】根据题意有: 当 当 当 当 当 , , , , , , , , , , 的值分别为:1,2,2 时, 的值分别为:3,1,2 时, 的值分别为:2,3,1 时, 的值分别为:4,2,1 时, 的值分别为:6,1,1 时, , , 的值分别为:6,1,1 时,三类用品的重要性指数 最 , ,且携带这三类用品的总重量不得超过 11kg.当携带这三 最大时, 则 , , 的值分别为_________________.

综上可得:当 大。 故答案为:6,1,1 【答案】6,1,1

三、解答题(共 6 小题)
15.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 .

(I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 , ,求 的值.

【考点】余弦定理正弦定理 【试题解析】 (I)由正弦定理得 化简得 因为 (因为 ,所以 . , ,

7

(Ⅱ)由余弦定理得 化简得 解得 所求 的值为 【答案】见解析 ,或 . ,



16.某校举办的数学与物理竞赛活动中,某班有 36 名同学,参加的情况如下表: (单位:人)

(Ⅰ)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一科竞赛的概率; (Ⅱ)在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的 9 名同学中,有 5 名男同学 和4名

女同学甲、乙、丙、丁.现从这 5 名男同学和 4 名女同学中各随机选 1 人,求 被选中且 甲未被选中的概率. 【考点】古典概型 【试题解析】 (Ⅰ)设“一名同学至少参加上述一科竞赛”为事件 A, 由表可知,既参加数学竞赛又参加物理竞赛的同学有 9 人; 只参加数学竞赛的同学有 4 人,只参加物理竞赛的同学有 3 人, 因此至少参加一科竞赛的同学有 16 人. 则 .

(Ⅱ)设“ 被选中且甲未被选中”为事件 B, 从 5 名男同学 所有的选取情况有: (a,甲) , (a,乙) , (a,丙) , (a,丁) , (b,甲) , (b,乙) , (b,丙) , (b,丁) , (c,甲) , (c,乙) , (c,丙) , (c,丁) , (d,甲) , (d,乙) , (d,丙) , (d,丁) , (e,甲) , (e,乙) , (e,丙) , (e,丁) . 共计 20 种. 其中 被选中且甲未被选中的情况有: (a,乙) , (a,丙) , (a,丁) ,共计 3 种. 和 4 名女同学甲、乙、丙、丁中各随机选 人,

8





【答案】见解析 17.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 点 D,E,F 分别为 AC,AB,A1C1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证:EF∥平面 BB1C1C; (Ⅲ)写出四棱锥 A1-BB1C1C 的体积. 底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,BC=1,且 AC⊥BC,

(只写出结论,不需要说明理由)

【考点】空间几何体的表面积与体积垂直平行 【试题解析】 (Ⅰ)因为在△ AA1C 中,AA1=A1C,D 为 AC 中点, 所以 A1D⊥AC; 因为侧面 AA1C1C 底面 ABC, 侧面 AA1C1C∩底面 ABC= AC, 所以 A1D⊥平面 ABC; (Ⅱ)设 B1C1 的中点为 G,连结 FG,GB, 在四边形 FGBE 中 FG∥A1B1,且 FG= A1B1,又因为 EB∥A1B1,且 EB= A1B1,

所以 FG 与 EB 平行且相等,所以四边形 FGBE 为平行四边形; 所以 EF∥BG, 又因为 BG 在平面 BB1C1C 内,EF 不在平面 BB1C1C 内, 所以 EF∥平面 BB1C1C. (Ⅲ)四棱锥 A1-BB1C1C 的体积为 【答案】见解析 18.已知 是各项为正数的等比数列, . (Ⅰ)求数列 的通项公式; ,数列 的前 n 项和为 ,

9

(Ⅱ)求证:对任意的 【考点】等比数列等差数列

,数列

为递减数列.

【试题解析】 (Ⅰ)设等比数列

的公比为 ,则



解得 .所以



舍, . , 为首项,以 2 为公差的等差数列.

(Ⅱ)因为 所以 是以

所以 因



. 为

因为

,所以



所以数列 【答案】见解析

为递减数列.

19.设函数 (Ⅱ)若函数 在区间

. (Ⅰ)求函数

的单调区间和极值;

上存在唯一零点,求 的取值范围.

【考点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 【试题解析】 (Ⅰ) (1) 若 , 则在区间 , 上 , 单调递增. 所以当 时, 的

10

单调递增区间为 (2)若 因为函数 所以在区间 在区间 所以当 内 时, 内 ,令

,没有极值点. ,即 在区间 , , ,解得 是递增函数, 单调递减; ,

单调递增. ,

的单调递减区间为

的单调递增区间为 当 时,函数 有极小值为 . 在 上单调递增,

(Ⅱ) (1)当 因为 令 所以当 (2)当 因为 时,

时,由(Ⅰ)可知, , ,得 . 在区间上

上存在唯一零点. 为函数 在区间上 的最小值点 上存在唯一零点,则只能是:

时,由(Ⅰ)可知, ,若函数

① 由①得

,或② ;由②得 .



综上所述,函数 则 或 .

在区间上

上存在唯一零点,

【答案】见解析 20.已知椭圆 之和为 4. (Ⅰ)求椭圆 的方程; 与椭圆 交于 两点,过点 作 PC⊥ 轴, : 过点(0, ) ,椭圆 上任意一点到两焦点的距离

(Ⅱ)如图,设直线

11

垂足为点 C,直线 AC 交椭圆

于另一点 B.

①用直线 的斜率 表示直线 AC 的斜率;

②写出∠APB 的大小,并证明你的结论.

【考点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 (Ⅰ) ,

椭圆 W 的方程



(Ⅱ)设

,则

,



直线

的斜率



(Ⅲ) 由(Ⅱ)可得直线 的方程: ,设点

联立

,消去





,解得



所以

,点



12

因为



所以 【答案】见解析

,所以

13


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