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密云县2014~2015学年度第二学期高二期末考试文科试卷答案


密云县 2014-2015 学年度第二学期期末考试 高二数学(文)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 D 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 13.

3 2
4 3

10. 1 ? 2i

11. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0
2 2

12.

6 7

14. ;sin ? ? cos (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? ) ?

3 4

3 . 4

其中第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 15. 解: (Ⅰ) f '( x) ? x2 ? 4 …………3 分 …………5 分

1 f '(1) ? ?3 , f (1) ? . 3
所以,所求切线方程为 y ? (Ⅱ)令 f '( x) ? 0

1 ? ?3( x ? 1) 即 9 x ? 3 y ? 10 ? 0 . ……7 分 3 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 . …………8 分

x
f ' ( x)
f ( x)

?3

(?3, ?2)
+

?2

(?2, 2)
-

2

(2, 3)
+

3

7

?

0 28 3

?

0 4 ? 3

?

1

所以,函数 f ( x) 在区间 ? ?3,3? 上, 当 x ? 2 时,取得最小值为 ?

…………12 分

16. 解: (I) tan ? ?

2 ? 2? 2 ? ? 4 , ? 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 4 ? 1? tan ? ? tan ? 3 ??1 . 4 ? tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 7 4 3 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 7 ? ? (II) 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 6
高二数学(文科)试题第 1 页共 4 页

2 tan

?

4 28 ;当 x ? ?2 时,取得最大值为 . ……14 分 3 3
…………2 分

…………4 分

…………7 分

sin 2? cos? ? sin ? 2sin ? cos2 ? ? sin ? ? cos2? cos2? 2 sin ? (2cos ? ? 1) sin ? cos 2? ? ? ? sin ? . cos 2? cos 2? 4 因为 tan ? ? ? , 3 ? 4 又 ? ? ( , ? ) ,所以 sin ? ? , 5 2 sin 2? cos ? ? sin ? 4 所以 ? . cos 2? 5 ? ? ? 17.解:(I) ∵ f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4
(III)
1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2
1 cos 2 x ? 2 1 ? cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 3 sin 2 x ? cos 2 x 2

…………10 分

…………12 分 …………13 分

………3 分

…………4 分 …………5 分

=sin(2 x ? ) . 6

?

∴函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? (II) ∵ x ?[? ∴ 2x ?
, ], 12 2

? ?

2? ?? . 2

…………6 分

? 5? ? [? , ] . 3 6 ? 3 ,1] . ∴ sin(2 x ? ) ? [? 6 2
6

?

…………7 分 …………9 分

所以函数 f ( x) 在区间 ?-

? 3 ? ? ? ?? , 1? . , ? 上的值域为 ?? 12 2 ? ? 2 ?
? ?

(III) ∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) 的对称轴方程为 2 x ? ? k? + ,k ? Z . …10 分 6 6 2 ? k? ∴ x? ? , k ? Z. 3 2
当k ? 0时, x ?

?

?

? ? ?? ? , ? 上存在对称轴,其方程为 x ? . ……13 分 3 ? 12 2 ? 18.解: (I)在 ? ABC 中, 0 ? B ? ? , 3 7 因为 cos B ? ,所以 sin B ? . …………2 分 4 4 π B 2 A?C ? 2sin B cos B ? cos 2 ( ? ) 又 sin 2 B ? cos …………4 分 2 2 2 B ? 2sin B cos B ? sin 2 …………5 分 2
∴函数 f ( x) 在 ?高二数学(文科)试题第 2 页共 4 页

3

? [?

, ]. 12 2

? ?

…………12 分

1 ? 2sin B cos B ? (1 ? cos B) 2 7 3 1 1? 3 7 = 2? . ? + = 4 4 8 8 a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , (II)由已知得 cos B ? 2ac 4 3 2 2 又因为 b ? 3 , 所以 a ? c ? 3 ? ac . 2 3 2 2 又因为 a ? c ? ac ? 3 ≥ 2ac , 2 所以 ac ? 6 , 当且仅当 a ? c ? 6 时, ac 取得最大值.

…………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分 …………11 分 …………12 分

1 1 7 3 7 . ac sin B ? ? 6 ? ? 2 2 4 4 3 7 所以 ?ABC 的面积的最大值为 . 4
此时 S?ABC ? 19. 解:(I) f ' ( x) ?
a ? 2bx,( x ? 0) x

…………13 分 …………2 分

1 ∵ f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, 2
? f ' (1) ? a ? 2b ? 0, ? ∴? 1 ? f (1) ? ?b ? ? . ? 2

…………4 分

?a ? 1, ? ∴ 解得 ? 1 b? . ? ? 2

…………6 分

(II)依题意, f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值
1 且 f ( x) ? ln x ? x2 , 2

1 e

…………7 分 …………8 分 …………10 分 …………11 分

∴ f ' ( x) ?

1 1 ? x2 (1 ? x)(1 ? x) ?x? ? x x x

令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 1 .

x
f '( x) f ( x)

1 e

(

1 ,1) e
+

1 0

(1, e )

e

?


1 f( ) e



f (1)

f (e)
…………12 分

∴ f ( x) 在 ? , 1? 上单调递增,在 [1, e] 上单调递减,
高二数学(文科)试题第 3 页共 4 页

?1 ? ?e ?

1 1 ∴ f ( x)max ? f (1) ? ? ,∴ f ( x0 ) =- . 2 2 x 20. 解: (I)∵函数的定义域为 R, f '( x) ? ? x . e ∴当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , ∴当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , ∴ f ( x) 单调增区间 (??,0) ,单调减区间 (0, ??) . (II)假设存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立, 则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max ∵ ? ( x) ? xf ( x) ? tf ' ( x)+e? x ? ∴ ?'( x) ?

…………13 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分

………5 分

x2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

………6 分 ………8 分

? x2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? . x e ex

∵ x ? [0,1] ,∴ ex ? 0, x ?1 ? 0 . ①当 t ≥ 1 时,

? '( x) ≤ 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上单调递减, ? ( x)min ? ? (1), ? ( x)max ? ? (0) .
∴ 2? (1) ? ? (0), ∴ t ? 3 ? ②当 t ≤ 0 时,
e ? 1. 2

………9 分

? '( x) ≥ 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上单调递增, ? ( x)max ? ? (1), ? ( x)min ? ? (0) .
∴ 2? (0) ? ? (1), ∴ t ? 3 ? 2e ? 0 . ………10 分 0 ? t ? 1 ③当 时,若 x ?[0, t ) , ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ) 上单调递减; ? ( x) 在 (t ,1] 上单调递增, 若 x ? (t ,1], 则 ? '( x) ? 0, ∴ 2? (t ) ? {? (0),? (1)}max , 即 2 ? 由(I)知,g (t ) ? 2 ?
t ?1 3?t ? {1, }max . et e

(*)

t ?1 4 t ?1 t ?1 在 [0,1] 上单调递减, ∴ ≤ 2 ? t ≤ 2, ∴ 2 ? t ? 1 . et e e e

2 3?t 3 t ?1 3 ? t 而 ≤ .所以不等式(*)无解. ≤ ,∴2 t ? e e e e e

………13 分

e 综上所述,存在 t ? (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) ,使得命题成立. ………14 分 2

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