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排列组合第二节组合--公开课课件ppt


组合

问题

有5本不同的书: ? (1)取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本, 有几种不同的分法? ? (2)取出4本给甲,有几种不同的取法?
问题(1)中,书是互不相同的,人也互不相同, 所以是排列问题. 问题(2)中,书不相同,但甲所有的书只有数 量的要求而无“顺序”的要求,因而问题(2)不是 排列问题.

复习
? 问题1:什么叫做排列?排列的特征是什么?

? 问题2:什么叫做排列数?它的计算公式是怎 样的?

引例
?引例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2

名去参加一项活动,有多少种不同的选 法?
从3名同学中选出2名,不同的选法有3种: 甲、乙 乙、丙 丙、甲 所选出的2名同学之间并无顺序关系,甲、乙和 乙、甲是同一种选法.

引例
?引例2:从不在同一条直线上的三点
A 、 B 、 C 中,每次取出两个点作一

条直线,问可以得到几条不同的直线?
根据直线的性质,过任意两点可以作一条直线, 并且只能作一条直线,所以过A 、 B 两点只能连成 AC AB 一条直线,因此可以得到三条直线: 、BC 、 , 直线 AB 与 BA 直线是一条直线,这也就是说,“把 两点连成直线”时,不考虑点的顺序.

引例总结
以上两个引例所研究的问题是不同 的,但是它们有数量上的共同点,即 它们的实质都是:
从3个不同的元素里每次取出2个元素, 不管怎样的顺序并成一组,一共有多少不 同的组?

组合定义
一般地,从 n 个不同元素中取出 m ( m ? n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组 合.

排列与元素的顺序有关,而组合与元素的 顺序无关,这是它的根本区别.
如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们 顺序如何,都是相同的组合.
当两个组合中的元素不完全相同时(即使只有一 个元素不同),就是不同的组合.

例题:从三同学中选出2名参加一项活动,
求有多少中不同的选法.

点击图片演示动画

组合数
从 n 个不同元素中取出 m( m ? n ) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数. 记作: nm . C

注意: m C n 是一个数,应该把它与“组合”区别开来.

组合数公式
排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素 m 的组合数 C n . 第2步,求每一个组合中m 个元素的全排列数 A nm . 根据分步计数原理,得到:A n ? C n ? A m
m m m

C 因此:

m! * m 、 n ? N,且 m ? n 这里 ,这个公式叫做组合 数公式.

m n

?

An A

m

m m

?

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1?

例题
? 例1:下面的问题是排列问题?还是组合问题? ? (1)从1,3,5,9中任取两个数相加,可以得到

多少个不同的和?
?(2)从1,3,5,9中任取两个数相除,可以得到多

少个不同的商?
?(3)10个同学毕业后互相通了一次信,一共写了多

少封信?
?(4)10个同学毕业后见面时,互相握了一次手,共

握了多少次手?

例题

?例2 计算:(1)C

4 7

(2)C

7 10

?例3

C 求证:

m n

?

m ?1 n?m

Cn

m ?1




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