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2017届广东珠海市高三9月摸底考试数学(文)试题(解析版)


2017 届广东珠海市高三 9 月摸底考试数学(文)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A I B ? A. [?2, ?1] 【答案】A 【解析】试题分析:由题可解得: A ? {x | x ? ?1或 x ? 3} ,求它们的交集,则可得: B. [?1, 2) C. [?1,1] D. [1, 2)

A I B ? [?2, ?1] ,故应选 A .
【考点】1、集合及其基本运算. 2.已知 i 是虚数单位,复数 A.1 B. ? 1 【答案】B C. i

1? i 的虚部为 1? i D. ? i

1? i (1 ? i)2 2 ? 2i ? ? ? 1 ? i ,则复数的虚部为: ?1 , 【解析】试题分析:由题; 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
故应选 B. 【考点】1、复数及其四则运算. 3.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【答案】C 【解析】试题分析:从这 4 张卡片中随机抽取 2 张共有6种抽取方法,其中 2 张卡片上 的数字之和为奇数有 12,14,32,34 共 4 种抽法,因此所求概率为 P ? 【考点】1、古典概型计算概率公式. 4. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a ? 2 , b ? 3, A ? 45? , 则角 B 大小为 A. 60
?

4 2 ? .故选C. 6 3

B. 120

?

C. 60 或 120

?

?

D. 15 或 75

?

?

【答案】C 【解析】 试题分析: 由正弦定理可得:
? 故 B ? 60 或 120 ,所以应选 C . ?

2 3 3 , 由此可得 sin B ? , 因b ? a , ? 0 sin 45 sin B 2

【考点】1、正弦定理在解三角形中的应用. 5.抛物线 y ? ?4 x 2 的焦点坐标是 A.( 0 , ?

1 ) 8

B.( 0, ?

1 ) 16

C.( ?1, 0 )

D.( ?

1 ,0 ) 16

第 1 页 共 12 页

【答案】B 【解析】试题分析:抛物线的标准形式 x ? ?
2

1? 1 ? y ,所以焦点坐标是 ? 0, ? ? ,故选 4 16 ? ?

B. 【考点】1、抛物线定义及其标准方程. 6.已知 0 ? a ? A.

?
2

,?

?
2

? ? ? 0, cos ?? ? ? ? ? ?
C.

5 4 ,sin ? ? ,则 sin ? ? 13 5

7 25

B. ?

7 25

56 65

D. ?

56 65

【答案】D 【解析】试题分析:因为 tan ? ? 得

sin ? 4 ? ? ,结合 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及 0 ? ? ? , cos ? 3 2
, 又

?? ?0 2 12 ? ? ? ? ? 0, ? ? ,sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? ,所以 13 ?

4 3 sin ? ? , cos ? ? 5 5

?







4 ? 5 ? 3 12 56 sin ? ? sin ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? sin ?? ? ? ? ? 5 ? ? ? 13 ? ? 5 ? 13 ? ? 65 ? ?
故选 D. 【考点】1、同角三角形的基本关系;2、两角差的正弦公式;3、拆角凑角法. 【思路点睛】本题考查了同角三角形的基本关系、两角差的正弦公式与拆角凑角法在三 角函数中的应用, 重点考查学生综合知识的能力和创新能力,属中档题.其解题的一般思路为:首先根据 同角三角函数的基本 关 系 并 结 合 已 知 条 件 可 求 出 cos? , sin(? ? ? ) 的 值 , 然 后 运 用 拆 角 公 式

? ? ? ? (? ? ? ) 并结合两角差的正
弦公式即可计算出所求的结果. 7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A. 16

B. 32

C. 63

D. 20 ?

25 3 4

【答案】B 【解析】试题分析:几何体为一个三棱锥,一条长为 4 侧棱垂直底面,底面为直角三角 形,直角边分别为 3 和 4;三个侧面皆为直角三角形,因此表面积为

1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? ? 4 ? 5 ? ? 4 ? 3 ? ? 4 ? 5 ? 32 2 2 2 2 ,选 B.
【考点】1、三视图;2、简单几何体的表面积计算. 第 2 页 共 12 页

?1? 8.三个数 a ? ? ? , b ? 2 2 , c ? log 1 3 的大小顺序为 ?e? 2
A. b < c < a 【答案】C B. c < a < b C. c < b < a
1

?1

1

D. b < a < c

1 ?1 【解析】试题分析: a ? ( ) ? e ? 0 , b = 2 2 > 0 , c = log 1 3 < 0 ,故 a ? b ? c . e 2
【考点】1、指数及其指数函数的性质;2、对数及其对数函数的性质. 9.函数 y ?

cos x 的图像大致是 ex

【答案】A 【解析】试题分析:由题: f ( x) ? cos x ? e? x , f (? x) ? cos x ? ex ,可知函数无奇偶性。 易排除 C,D.又当: x ? ??, ex ? 0. 图像变化趋势正确的为;A 【考点】1、函数的基本性质;2、函数图像. 10.执行如图所示的程序框图,如果运行结果为 5040 ,那么判断框中应填入

A. k ? 6 ? B. k ? 7 ? C. k ? 6 ? D. k ? 7 ? 【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 输 出 结 果 为 S ? 720 , 通 过 第 一 次 循 环 得 到

S ? 1 ? 2 ? 2k , ?3 , 通过第二次循环得到 S ? 1? 2 ? 3 ? 6, k ? 4 , 通过第三次循环得到 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 24, k ? 5 ,通过第四次循环得到 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 120, k ? 6 ,通
过第六次循环得到 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5040, k ? 8 ,此时执行输出 S ? 5040 , 结束循环,所以判断框中的条件为 k ? 7 ? 故选 D. 【考点】1、程序框图. 11.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 BD 中点,点 P 在线段 B1 D1 上,直线 OP 与 平面 A1BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是 第 3 页 共 12 页

A. [

2 3 , ] 3 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 3 , ] 4 3

D. [ , ]

1 1 4 3

【答案】A 【解析】试题分析:由题意得,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系, 则 OP ? ( x ?

1 1 , x ? ,1) , 平 面 A1BD 的 法 向 量 AC1 ? (?1,1,1) , 所 以 2 2

sin ? ?

1 1 3 ? 2( x ? ) 2 ? 1 2

,故选 A.

【考点】1、直线与平面所成的角;2、空间向量在立体几何中的应用. 【思路点睛】本题考查了直线与平面所成的角和空间向量在立体几何中的应用,考查学 生综合运用知识的 能力和空间想象能力,属中档题.其解题的一般思路为:首先建立适当的空间直角坐标 系并正确写出各点的 空 间 坐 标, 然 后 设出 点 P 的 坐 标, 并 求出 平 面 A1BD 的 法 向 量, 最 后运 用 公式
?

cos ? n , OP ??

?

?

n? OP
? ?

? /

即可

n OP

得出 sin ? 的表达式,最后求其值域即可得出所求的结果.
' 12 . 设 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 f ( x) ( x? R)的 导 函 数 , f (? 1)? 0, 当 x ? 0 时 ,

,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 x f ' ( x)? f ( x) ? 0 A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (?1, 0) 【答案】B 【 解 析 】试 题分 析 :考虑 取 特 殊函 数 f ( x) ? x ? x , 是 奇函数 , 且 f (?1) ? 0 ,
3

B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

f '( x) ? 3x2 ?1 ,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? x(3x2 ?1) ? ( x3 ? x) ? 2x3 >0,满足题
设条件.直接研究函数 f ( x) ? x ? x ,图象如下图,可知选 B 答案.
3

第 4 页 共 12 页

【考点】1、函数的奇偶性;2、导数在研究函数的单调性中的应用;3、导数在研究函 数的极值中的应用. 【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数 在研究函数的极值中的应用,考查学生综合知识能力,渗透着转化与化归的数学思想, 属中档题.其解题的方法运用的是特值法,将抽象问题具体化,找出与已知条件符合的 特殊函数,分析其函数的图像及其性质,进而得出所求的结果,其解题的关键是特值函 数的正确选取. 二、填空题

13.已知向量 a ? (2,3), b ? (?1,2) ,若 ma ? nb 与 a ? 3b 共线,则 【答案】-

r

r

r

r

r

r

m ? _______. n

【解析】试题分析:

r r r r r r 2 3 ? ,所以 a 与 b 不共线,那么当 ma ? nb 与 a ? 3b 共线时, -1 2 m n m 1 ? ,即得 ? ? . 1 ?3 n 3

1 3

【考点】1、平面向量的坐标运算;2、共线定理.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14. 如果实数 x, y 满足:? x ? y ? 2 ? 0 , 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 ?x ? 1 ? 0 ?
【答案】



7 2

【解析】试题分析:首先根据已知条件画出满足题意所表示的平面区域如下图所示:由 图可知,当目标函数过点 C 时,目标函数取值最大值,即 z max ? 4 ?

1 3 7 7 ? ? ,故应填 . 2 2 2 2

【考点】1、简单的线性规划. 15.把函数 y ? sin(2 x ? 【答案】

?
4

) 的图像向左平移_______个单位可得到 y ? sin 2 x 的图像.

? 8

【解析】试题分析:设函数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图像向左平移 ? 个单位,由三角函数的

第 5 页 共 12 页

平 移 变 换 可 知 , 可 得 到 函 数 y ? sin[ 2( x ? ? ) ?

?
4

] ? sin( 2 x ? 2? ?

?
4

) ,所以

2? ?

?
4

? 0 ,即 ? ?

?
8

,故应填

? . 8

【考点】1、三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换. 【易错点睛】本题主要考查了三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换问题,考查了学 生对三角函数的图像的理解与应用,属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误:设 函数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图像向左平移 ? 个单位,由三角函数的平移变换可知,可得到

函数 y ? sin( 2 x ? ? ?

?
4

) ,即 ? ?

?
4

,即得出错误答案为 ? ?

?
4

,这也是刚开始学习

三角函数的变换中最容易出现的错误之一. 16. 已知双曲线 C 的离心率为 则 cos ?AF2 F 1 =__________. 【答案】

5 , 左、 右焦点为 F1 , F2 , 点 A 在 C 上, 若F 1A ? 2 F 2A , 2

13 16

【解析】试题分析:由双曲线的定义,得 | F1 A | ? | F2 A |?| F2 A |? 2a ,则 | F1 A |? 4a , 因 为 双 曲 线 的 离 心 率 为

5 , 则 |F 1 F2 中 , 1 F2 |? 2c ? 5a , 在 ?AF 2

cos ?AF2 F1 ?

13 25a 2 ? 4a 2? 16a 2 13 ? ;故填 . 20 2 ? 5a ? 2a 20

【考点】1、双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质;3、余弦定理在解三角形中的 应用. 【思路点睛】本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质与余弦定理在解三 角形中的应用, 属中档题.其解题的一般思路为: 首先运用双曲线的定义可求出 | F1 A | 的 值,然后结合已知条件可得 | F1 F2 | 的值,再在 ?AF 1 F2 中应用余弦定理即可得出所求的 结果.其解题的关键是正确地运用余弦定理在焦点三角形中的应用. 三、解答题 17 .已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 d ,且不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为
2

?1, d ? .
⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑵ 若 bn ? 3 n ? an ?1,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn .
a

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 ; (2) Tn ?

3 n ?9 ?1? ? n2 ? n . 8

第 6 页 共 12 页

【解析】试题分析: (1)直接由已知条件可知 d ,1 是方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,
2

由韦达定理即可列出方程组,求解之可得到 a 和 d 的值,进而得出数列 ?an ? 的通项公 式 an ; (2)由(1)可知 bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 , 然后运用分组求和法对其进行求和,即可得 出所求的结果.
3 ? 1? d ? , ? ?a ? 1 , ? a 试题解析: (1) 易知:a ? 0 , 由题设可知 ? ?? ? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1. ?d ? 2 . ?1? d ? 2 . ? a ?

(2)由(I)知
bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,

?Tn ? ?3 ? 1? ? ?33 ? 3? ? L ? ?32n?1 ? 2n ?1? ? n
2 n ?1

? ?3 ? 3 ? L ? 3
1 3

? ? ?1 ? 3 ? L ? 2n ? 1? ? n ?

31 ?1 ? 9n ? 1? 9

?

?1 ? 2n ? 1? n
2

?

3 n 9 ? 1? ? n 2 ? n ? 8

. 【考点】1.等差数列;2.一元二次不等式的解法;3.分组求和法. 18.2016 年 8 月 7 日,在里约奥运会射击女子 10 米气手枪决赛中,中国选手张梦雪以 199.4 环的总成绩夺得金牌,为中国代表团摘得本届奥运会首金,俄罗斯选手巴特萨拉 斯基纳获得银牌. 下表是两位选手的其中 10 枪成绩.

(1)请计算两位射击选手的平均成绩,并比较谁的成绩较好; (2)请计算两位射击选手成绩的方差,并比较谁的射击情况比较稳定. 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析: (1)直接运用平均数的计算公式分别计算出两位射击选手的平均成 绩,并比较二者的大小,最后下结论即可; (2)直接运用方差的计算公式分别计算出两 位射击选手成绩的方差,并比较二者的大小,进而得出谁的射击情况比较稳定的结论即 可. 试题解析: (1) x张 = 张梦雪的成绩较好. (

1 1 (10.2 ? ??? ? 9.2) ? 10 , x巴 = (10.1 ? ??? ? 9.7) ? 9.9 ,可知 10 10
2 )

s张2 ?

1 ((10.2 ? 10)2 ? 0.32 ? 0.22 ? 0.12 ? 0 ? 0.72 ? 0.92 ? 0.12 ? 0.32 ? 0.82 ) ? 0.22 10 1 (0.22 ? 0.12 ? 0.52 ? 0.32 ? 0.72 ? 0.72 ? 0.62 ? 0.32 ? 0.42 ? 0.22 ) ? 0.20 , 10
2 2

s巴2 ?

因为 s张 ? s巴 ,可知巴特萨拉斯基纳成绩较稳定. 第 7 页 共 12 页

【考点】1.平均数的计算公式;2.方差的计算. 19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? ABCD , PD ? DC ? BC ? 1 , AB ? 2 ,

AB / / DC , ?BCD ? 90o .

⑴ 求证: PC ? BC ; ⑵ 求点 A 到平面 PBC 的距离. 【答案】 (1)详见解析; (2) 2 【解析】试题分析: (1)首先由线面垂直 PD ? ABCD 可得线线垂直 PD ? BC ,并结 合已知条件进而得出线面垂直 BC ? PCD ,最后得出所证明的结论; (2)首先作出辅 助线连接 AC ,然后根据已知的线线关系、线面关系分别求出 PC ? ? 、三棱锥

P ? ABC 的体积,最后利用公式 VA?PBC ? VP? ABC 即可得出所求的结果.
试题解析: ( 1 ) 证 明 : 因 为 PD ? ABCD , BC ? ABCD , 所 以 P D ? B C,

D ? B C ?BCD ? 90? , 得C

D ? D C D? , 又P

, 所以 BC ? PCD , 因为 PC ? PCD ,

故 PC ? BC . ( 2)等体积法:连接 AC .设点 A 到平面 PBC 的距离为 h .因为 AB // CD ,所以

?ABC ? 90? .从而 AB ? 2 , BC ? 1 ,得△ ABC 的面积为 1.三棱锥 P ? ABC 的体
积V ?

1 1 S ABC ? PD ? 因 为 P D ? A B C D , DC ? ABCD , 所 以 P D ? D C. 又 3 3 1 1 P D ? D C? 1 ,所以 PC ? ? .由 VA?PBC ? VP? ABC 得 S PBC ? h ? V ? ,得 h ? 2 故 3 3

点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 【考点】1.线线垂直的判定定理;2、线面垂直的性质定理;3、等体积法. 【方法点睛】本题主要考查了线线垂直的判定定理、线面垂直的性质定理和等体积法在 求点到平面距离中的应用,考查学生综合应用知识的能力和空间想象能力,属中档题. 对于第一问证明线线垂直问题,其关键是正确地寻找线面垂直的关系;对于第二问求点 到平面的距离问题,其解题的关键是正确地运用等体积公式对其进行求解.

x2 y 2 6 20.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个 a b 3
焦点构成的三角形的面积为

5 2 . 3
第 8 页 共 12 页

⑴ 求椭圆 C 的方程;

B 两点, ⑵ 已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 点 M (?
为定值.

uuu r uuu r 7 MA ? MB , 0) , 求证: 3

4 x2 y 2 ? ?1 ; 【答案】 (1) (2) 5 9 5 3
【 解 析 】( 1 ) 因 为

x2 y 2 c 6 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满 足 a 2 ? b2? c2, ? 2 a b a 3

5 x2 y 2 1 5 2 2 2 ? ?1 ,解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(2)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 5 5 3

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 1





u M ?

u 7 ( 1A 3

?

u

M ,

1

r7 ? B) 3

u
2

( x?

u 7 2 3

u , y

7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3

? (1 ? k 2 )

4 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 2 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k ? ? ? k2 ? 2 2 2 9 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9

【考点】 (1) 椭圆的定义及性质; (2) 直线与椭圆的位置关系及定值问题中的运算能力. 【易错点睛】本题主要考查了椭圆的定义及性质和直线与椭圆的位置关系及定值问题, 重点考查了学生综合运用知识的能力和较强的运算能力,属综合题.其解题过程中最容 易出现以下错误:其一是计算能力较差,不能正确地计算出所求的结果;其二是对于第 二问求定值问题的求解策略掌握不牢,心理对含参数的计算产生畏惧,进而导致结果出 现错误. 21.已知函数 g ( x) ?

ln x . x 1 处的切线方程; e

(1)求函数 y ? g ( x) 的图象在 x ? (2)求 y ? g ( x) 的最大值;

(3)令 f ( x) ? ax2 ? bx ? x ? ( g ( x)) (a, b ? R) .若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间. 【答案】 (1) 2e 2 x ? y ? 3e ? 0 ; (2) g (e) ?

1 ; (3)见解析. e

第 9 页 共 12 页

【解析】 (1) g ' ( x) ?

1 1?1 1 ? ln x 1 ? 2e 2 , g ( ) ? ? e , g'( ) ? 2 1 e e x 2 e
2

所以切线方程为 y ? e ? 2e ( x ? ) 即 2e 2 x ? y ? 3e ? 0

1 e

1 ? ln x =0, x ? e , g ' ( x) ? 0 , 0 ? x ? e , g ( x) x2 1 单调递增; g ' ( x) ? 0 , x ? e , g ( x) 单调递减.所以 x ? e 是极大值点, g (e) ? 是 e
(2)定义域 x ? (0,??) , g ' ( x) ? 极大值. 因为在 x ? (0,??) 上,极值点唯一,所以 g (e) ?

1 是最大值. e

(3)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x , x ? (0,??) ,得 f ' ( x) ? ①当 a=0 时, f ' ( x) ?

2ax 2 ? bx ? 1 . x

bx ? 1 . x

若 b≤0,当 x>0 时, f ' ( x) <0 恒成立,所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) . 若 b>0,当 0<x< 当 x>

1 时, f ' ( x) <0,函数 f(x)单调递减. b

1 时, f ' ( x) >0,函数 f ( x) 单调递增. b

所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ?
2 2

? ?

1? b?

?1 ? , ?? ? . ?b ?

②当 a>0 时,令 f ' ( x) =0,得 2ax +bx-1=0.由 Δ =b +8a>0 得

x1 =

?b ? b 2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a , x2 = . 4a 4a

显然, x1 <0, x2 >0. 当 0<x< x2 时, f ' ( x) <0,函数 f ( x) 单调递减; 当 x> x2 时, f ' ( x) >0,函数 f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,x2 ) ,单调递增区间是 ( x2 ,??) . 综上所述,当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,??) 当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ?

? ?

1? b?

?1 ? , ?? ? ; b ? ?

当 a>0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,x2 ) ,单调递增区间是 ( x2 ,??) . 【考点】1.利用导函数判断函数的单调性;2.分类讨论思想. 第 10 页 共 12 页

22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切线 EP 交 CB 的延长线于 P , 已知 ?EAD ? ?PCA .

证明: (1) AD ? AB ; (2) DA ? DC ? BP .
2

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】试题分析: (1)由弦切角定理可得 ?EAD ? ?DCA ,再结合已知条件即可得 出所证的结论; ( 2 ) 由 内 接 四 边 形 的 性 质 可 得 ?D ? ?PBA , 进 而 得 出

?ADC ∽ ?PBA ,由相似三角形的性质可得对应线段成比例

DA DC ? ,进而得出所 BP BA

证的等式. 试题解析: (1)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A ,∴ ?EAD ? ?DCA .又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA ,∴ AD ? AB . (2)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ,∴ ?D ? ?PBA , 又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA .∴

DA DC DA DC 2 ? ? ,即 ,∴ DA ? DC ? BP . BP BA BP DA

【考点】1.相似三角形;2.圆 23.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C : ? sin
2

? ? 4cos? =0,直线 l 过点 M(0,4)且斜率为-2.

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线 l 的标准参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,求 | AB | 的值.

? 5 t ?x ? ? 5 2 【答案】 (Ⅰ)曲线 C: y ? 4 x ;直线 l 的标准参数方程为: l : ? (其中 2 5 ?y ? 4 ? t ? 5 ?
t 为参数) ; (Ⅱ)3 5 . 【解析】试题分析: (1)首先由极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线 C 的直角坐标 方程, 然后由点斜式可求出直线 l 的方程并写出其参数方程即可; (2) 联立直线方程 l 与 y 曲线 C 的方程并消去 并整理得到关于 x 的一元二次方程,进而得出点 A,B 点的坐标, 最后求出其弦长即可. 试题解析: (1)因为曲线 C: ? sin
2

? ? 4cos? =0,所以 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ? 0 ,即

y 2 ? 4 x ;又因为直线 l 过点 M(0,4)且斜率为-2,所以直线 l : y ? 4 ? ?2 x ,所以直

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? 5 t ?x ? ? 5 线 l 的标准参数方程为: l : ? (其中 t 为参数). 2 5 ?y ? 4 ? t ? 5 ?
(2)联立直线 l 与曲线 C 的方程可得 l : ?

? y ? 4 ? ?2 x
2 ? y ? 4x

,消去 y 并整理得到:

x 2 ? 5x ? 4 ? 0 , 所 以 x1 ? 1, x2 ? 4 , 所 以 y1 ? 2, y2 ? ?4 , 所 以
| AB | ? (4 ? 1) 2 ? (?4 ? 2) 2 ? 3 5 .
【考点】1.直线的参数方程;2.抛物线的极坐标方程. 24.已知函数 f ( x) ? x ? 6 ? m ? x (m ? R) . ⑴当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; ⑵若不等式 f ( x) ? 7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) ?x | x ? 1 (2) [ ?13,1] ?; 【解析】 试题分析: (1) 分三类进行讨论: ①当 x ? ?6 时, ②当 ?6 ? x ? 3 时, ③当 x ? 3 时, 分别求出其解集, 最后将其作并集即可得出所求的结果; (2) 将问题不等式 f ( x) ? 7 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 转 化 为 f ( x) max ? 7 , 并 运 用 含 绝 对 值 不 等 式 即 可 得 出

f ( x) ? x ? 6 ? m ? x (m ? R) 的最大值,从而得出所求的结果.
试题解析: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3 |? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 .故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ?x | x ? 1 ?. ( 2 ) 因 为 | x ? 6 | ? |m ? x |? |x ? 6? m ? x= | | m ? 6 | ,由题意得 m?6 ? 7 ,则

?7 ? m ? 6 ? 7,解得 ?13 ? m ? 1 ,故 m 的取值范围是 [?13,1] .
【考点】1.含绝对值的不等式的解法;2.恒成立问题.

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