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湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖北省武汉市部分重点中学联考 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(文科)
一、选择题(50 分) 1. (5 分)直线 x+y+3=0 的倾斜角是() A.
2

B.
2

C.

D.

2. (5 分)以圆 x ﹣2x+y =0 的圆心为圆心,半径为

2 的圆的方程() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =2 B.(x﹣1) +y =2 C.(x+1) +y =4 D.(x﹣1) +y =4 3. (5 分)若 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是() A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.以上都不对

4. (5 分) 已知 x、 y 取值如表: 画散点图分析可知: y 与 x 线性相关, 且求得回归方程为 =bx+a 中 a=50,猜想 x=4 时,y 的值为() x 14 12 8 y 22 25 35 A.40 B.42 6 38 C.44 D.46

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()

A.5

B. 7

C. 9

D.11

6. (5 分)在区间上随机取两个数 x,y 其中满足 y≥2x 的概率是() A. B. C. D.

7. (5 分)在下列各数中,最大的数是() A.85(9) B.200(6) C.68(11) D.70

8. (5 分)用随机模拟方法,近似计算由曲线 y=x 及直线 y=1 所围成部分的面积 S.利用计 算机产生 N 组数,每组数由区间上的两个均匀随机数 a1=RAND,b=RAND 组成,然后对 a1 2 进行变换 a=2(a1﹣0.5) ,由此得到 N 个点(xi,yi) (i=1,2,…,N) .再数出其中满足 xi ≤yi≤1 (i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机 模拟方法可得到的近似值为() A. B.
2 2

2

C.

D.

9. (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值 范围是() A. B. C. D. 10. (5 分)平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,命题: ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y=kx+b 必经过无穷多个整点; ④如果直线 l 经过两个不同的整点,则 l 必经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线; 其中的真命题的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5

二、填空题(25 分) 11. (5 分)在空间直角坐标系中,已知两点 P1(﹣1,3,5) ,P2(2,4,﹣3) ,|P1P2|=. 12. (5 分)为研究某药物的疗效,选取若干志愿者进行临床研究所有志愿者舒张压数据(单 位:kPa)的分组区 14. (5 分)在长为 3 的一条直绳上任意剪两剪刀,得到三条线段,其中有两条长度大于 1 的 概率为. 15. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上.若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为.

三、解答题 16. (12 分) 将两颗正方体型骰子投掷一次,求: (1)列举向上的点数之和是 8 的基本事件,并求向上的点数之和是 8 概率; (2)求向上的点数之和小于 11 的概率. 17. (12 分)已知两条直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:2x+y+2=0 的交点 P, (1)求过点 P 且平行于直线 l3:x﹣y﹣1=0 的直线 l4 的方程; (2)若直线 l5:ax﹣2y+1=0 与直线 l2 垂直,求 a.

18. (12 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选 出某班的 5 名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86. 2 2 (Ⅰ)求出 x,y 的值,且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S1 、S2 ,并根据结果, 你认为应该选派哪一个班的学生参加决 赛? (Ⅱ)从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名.求至少有 1 名来自甲班的概率.

19. (12 分)一次学科测试成绩的频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.已 知 50~60 分的有两个数,60~70 分的有 7 个数,70~80 分的有 10 个数, (1)求参加测试的总人数及分数在上的均匀分布 而事件 A={0≤X≤0.5} 事件 B={0.5≤X≤1} 显然 P(A)=P(B)=0.5 而 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.5=1 但 AB={0.5} 不是空集 所以事件 A 和 B 不互斥 而若事件 A={0≤X<0.5} 事件 B={0.5<X≤1} 显然 P(A)=P(B)=0.5, 而 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.5=1,P(AB)=0 显然事件 A 和 B 不对立,但 AB 是空集 故选:D. 点评: 本题考查要说明一个命题 为假命题,只需一个反例即可,属于基础题.

4. (5 分) 已知 x、 y 取值如表: 画散点图分析可知: y 与 x 线性相关, 且求得回归方程为 =bx+a 中 a=50,猜想 x=4 时,y 的值为() x 14 12 8 y 22 25 35 A.40 考点: 专题: 分析: 解答: 所以 = B.42 6 38 C.44 D.46

线性回归方程. 概率与统计. 利用回归直线方程经过样本中心求出 b,代入 x=4 即可求出结果. 解:因为回归直线方程经过样本中心, =10. = =30.

=bx+a 中 a=50,可得 30=10b+50,b=﹣2,

∴回归直线方程为: =﹣2x+50, x=4 时,y=42. 故选:B. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,回归直线方程经过样本中心是解题的关键. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()

A.5

B. 7

C. 9

D.11

考点: 程序框图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据框图的流程依次计算运行的结果,直到不满足条件 S<20,计算输出 k 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次运行 S=1+2=3,k=1+2=3; 第二次运行 S=1+2+6=9.k=3+2=5; 第三次运行 S=1+2+6+10=19,k=5+2=7; 第四次运行 S=1+2+6+10+14=33,k=7+2=9; 此时不满足条件 S<20,程序运行终止,输出 k=9. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类 问题的常用方法. 6. (5 分)在区间上随机取两个数 x,y 其中满足 y≥2x 的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整 个区域的面积,最后利用概率公式解之即可. 解答: 解:在区间上随机取两个数 x,y,对应区域的面积为 4, 满足 y≥2x,对应区域的面积为 ∴所求的概率为 . =1,

故选:B. 点评: 本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解,解题的关键是准确求出区域的面积, 属于中档题. 7. (5 分)在下列各数中,最大的数是() A.85(9) B.200(6) C.68(11) D.70

考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 欲找四个中最大的数,先将它们分别化成十进制数,后再比较它们的大小即可. 解答: 解:85(9)=8×9 +5=77; 2 200(6)=2×6 =72; 1 0 68(11)=6×11 +8×11 =74; 70; 故 85(9)最大, 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是算法的概念,由 n 进制转化为十进制的方法,我们只要依次累 加各位数字上的数×该数位的权重,即可得到结果. 8. (5 分)用随机模拟方法,近似计算由曲线 y=x 及直线 y=1 所围成部分的面积 S.利用计 算机产生 N 组数,每组数由区间上的两个均匀随机数 a1=RAND,b=RAND 组成,然后对 a1 2 进行变换 a=2(a1﹣0.5) ,由此得到 N 个点(xi,yi) (i=1,2,…,N) .再数出 其中满足 xi ≤yi≤1 (i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得到的近似值为() A. B. C. D.
2 1

考点: 随机数的含义与应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先由计算器做 模拟试验结果试验估计,即可得出结论. 解答: 解:由题意,对 a1 进行变换 a=2(a1﹣0.5) ,由此得到 N 个点(xi,yi) (i=1,2,…, 2 N) .再数出其中满足 xi ≤yi≤1(i=1,2,…,N)的点数 N1,所以由随机模拟方法可得到的近 似值为 ,

故选:A. 点评: 本题考查随机数的含义与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 9. (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值 范围是() A. B. C. D. 考点: 圆方程的综合应用. 专题: 直线与圆.
2 2

分析: 易知 M 点在直线 y=1 上,若设圆 x +y =1 与直线 y=1 的交点为 T,显然假设存在点 N,使得∠OMN=30°,则必有∠OMN≤∠OMT,所以只需∠OMT≥30°即可,借助于三角函数 容易求出 x0 的范围. 2 2 解答: 解:易知 M(x0,1)在直线 y=1 上,设圆 x +y =1 与直线 y=1 的交点为 T,显然假 设存在点 N,使得∠OMN=30°,则必有∠OMN≤∠OMT, 所以要是圆上存在点 N,使得∠OMN=30°,只需∠OMT≥30°, 因为 T(0,1) ,所以只需在 Rt△ OMT 中,tan∠OMT= 解得 = ≥tan30°= ,

2

2

,当 x0=0 时,显然满足题意,

故 x0∈. 故答案选 A 点评: 此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题,关键是弄清楚 M 点所在的位置,能 够找到∠OMN 与∠OMT 的大小关系,从而构造出关于 x0 的不等式. 10. (5 分)平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,命题: ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y=kx+b 必经过无穷多个整点; ④如果直线 l 经过两个不同的整点,则 l 必经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线; 其中的真命题的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①,举一例子 y=x+ ,即可说明本命题是真命题; ②,举一反例,k= 题; ,b= ,则直线 y= x+ 经过(﹣1,0) ,即可说明本命题是假命

③,举例说明,k= ,b= ,则直线 y= x+ 不经过任何整点,可可说明本命题是假命题; ④,假设直线 l 过两个不同的整点,设直线 l 为 y=kx,把两整点的坐标代入直线 l 的方程,两 式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上,利用同样的方法,得到直 线 l 经过无穷多个整点,得到本命题为真命题; ⑤,令直线 y= x 恰经过整点(0,0) ,可说明本命题为假命题. 解答: 解:对于①,令 y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以本命题正确; 对于②,若 k= ,b= ,则直线 y= x+ 经过(﹣1,0) ,所以本命题错误;

对于③,k= ,b= ,则直线 y= x+ 不经过任何整点,所以本命题错误; 对于④,设 y=kx 为过原点的直线,若此直线 l 过不同的整点(x1,y1)和(x2,y2) , 把 两点代入直线 l 方程得:y1=kx1,y2=kx2, 两式相减得:y1﹣y2=k(x1﹣x2) ,

则(x1﹣x2,y1﹣y2)也在直线 y=kx 上且为整点, 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点,所以本命题正确; 对于⑤,令直线 y= x 恰经过整点(0,0) ,所以本命题正确. 综上,命题正确的序号有:①④⑤. 故选:B. 点评: 本 题考查命题的真假判断与应用,着重考查构造函数思想与运算分析能力,属于中 档题. 二、填空题(25 分) 11. (5 分)在空间直角坐标系中,已知两点 P1(﹣1,3,5) ,P2(2,4,﹣3) ,|P1P2|= 考点: 专题: 分析: 解答: |P1P2|= 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 直接利用空间两点间的距离公式求解即可. 解:在空间直角坐标系中,已知两点 P1(﹣1,3,5) ,P2(2,4,﹣3) , = .



故答案为: . 点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,基本知识的考查. 12. (5 分)为研究某药物的疗效,选取若干志愿者进行临床研究所有志愿者舒张压数据(单 位:kPa)的分组区. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不 等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围. 解答: 解:设点 M(x,y) ,由 MA=2MO,知:
2 2

=2



化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切, ∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= 化简可得 0≤a≤ , ,∴1≤ ≤ 3,

故答案为: . 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的判定,两点间的距离公式,圆和圆的位置关系的 判定,属于基础题. 三、解答题 16. (12 分)将两颗正方体型骰子投掷一次,求:

(1)列举向上的点数之和是 8 的基本事件,并求向上的点数之和是 8 概率; (2)求向上的点数之和小于 11 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先把向上的点数之和是 8 的情况找出,再利用古典概型的概率计算公式、互斥 事件的概率计算公式即可得出. (2)向上的点数之和小于 11 的情况找出,再利用古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率 计算公式即可得出. 解答: 解:将两骰子投掷一次,共有 36 种情况,向上的点数之和的不同值共 11 种. (1)设事件 A={两骰子向上的点数和为 8}; 事件 A1={两骰子向上的点数分别为 4 和 4}; 事件 A2={两骰子向上的点数分别为 3 和 5}; 事件 A3={两骰子向上的点数分别为 2 和 6},则 A1 与 A2、A3 互为互斥事件,且 A=A1+A2+A3 故 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 即向上的点数之和是 8 的概率为 ; + = ,

(2)设事件 S={两骰子向上的点数之和小于 11}, 其对立事件 A={两骰子向上的点数和大于等于 11},其包含的基本事件为: (5,6) , (6,5) 和(6,6) , 故 P(S)=1﹣p(a)=1﹣ = , .

∴向上的点数之和小于 11 的概率

点评: 熟练掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式是解题的关键. 17. (12 分)已知两条直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:2x+y+2=0 的交点 P, (1)求过点 P 且平行于直线 l3:x﹣y﹣1=0 的直线 l4 的方程; (2)若直线 l5:ax﹣2y+1=0 与直线 l2 垂直,求 a. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 联立方程, 解方程组可得直线交点, 由平行关系可设直线 l4 的方程为 x﹣y+c=0, 代点可得 c 值,可得直线方程; (2)由垂直关系可得 ?(﹣2)=﹣1,解方程可得.

解答: 解: (1)联立

,解得



由平行关系可设直线 l4 的方程为 x﹣y+c=0, 代点(﹣2,2)可得 c=4, ∴直线 l4 的方程为 x﹣y+4=0 (2)∵直线 l5:ax﹣2y+1=0 与直线 l2 垂直,

∴直线 l2 的斜率为 ?(﹣2)=﹣1,解得 a=1 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系,属基础题. 18. (12 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选 出某班的 5 名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86. (Ⅰ)求出 x,y 的值,且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S1 、S2 ,并根据结果, 你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛? (Ⅱ)从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名.求至少有 1 名来自甲班的概率.
2 2

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 概率与统计. 2 分析: (Ⅰ)由题意知求出 x=5,y=6.从而求出乙班学生的平均数为 83,分别求出 S1 和 2 S2 ,根据甲、乙两班的平均数相等,甲班的方差小,得到应该选派甲班的学生参加决赛. (Ⅱ)成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名,其中甲班有 2 名,乙班有 3 名,由此能求出随 机抽取 2 名,至少有 1 名来自甲班的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 解得 x=5,y=6. 乙班学生的平均数 = S1 = =35.2, S2 = =73.2, ∵甲、乙两班的平均数相等,甲班的方差小, ∴应该选派甲班的学生参加决赛. (Ⅱ)成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名,其中甲班有 2 名,乙班有 3 名, 随机抽取 2 名,至少有 1 名来自甲班的概率: P=1﹣ =0.7.
2 2



=83,

点评: 本题考查茎叶图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要注意等可能事件概 率计算公式的合理运用. 19. (12 分)一次学科测试成绩的频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.已 知 50~60 分的有两个数,60~70 分的有 7 个数,70~80 分的有 10 个数,

(1)求参加测试的总人数及分数在内的人数,求出样本容量 n 以及各分数段内的人数,补齐 频率分布直方图; (2)根据频率分布直方图求出数据的平均数与中位数即可. 解答: 解: (1)成绩在内同样有 2 人; 由 =10×0.008,解得 n=25;…(2 分) 成绩在 考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)设⊙C 的半径为 r,由题意可知 ,由此能求出⊙C.
2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立
2

,得 2x +(2a﹣8)

x+a ﹣2a+1=0.由此利用韦达定理、根的判别式,结合已知条件能求出 a=﹣1. 解答: 解: (Ⅰ)设⊙C 的半径为 r,由题意可知 所以⊙C 的方程为(x﹣3) +(y﹣1) =9.…(4 分) (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 ,得 2x +(2a﹣8)x+a ﹣2a+1=0.…(6 分 )x1+x2=4﹣a,
2 2 2 2

,得 r=3.

x1x2= 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0, 2 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0 所以 2? =0

解得 a=﹣1,…(10 分) 2 判别式△ =56﹣16a﹣4a >0.…(12 分) 所以 a=﹣1.…(13 分) 点评: 本题考查圆的方程的求法,考查实数值的求法,解题时要认真审题,注意圆的性质 的合理运用. 21. (14 分)如图,圆 O:x +y =4 与坐标轴交于点 A,B,C. (1)求与直线 AC 垂 直的圆的切线方程; (2)设点 M 是圆上任意一点(不在坐标轴上) ,直线 CM 交 x 轴于点 D,直线 BM 交直线 AC 于点 N, ①若 D 点坐标为(2 ,0) ,求弦 CM 的长; ②求证:2kND﹣kMB 为定值.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)先求直线 AC 的方程,设出切线方程,利用点线距离等于半径,即可求与直线 AC 垂直的圆的切线方程; (2)①求出 CM 的方程,圆心到直线 CM 的距离,即可求弦 CM 的长; ②确定 N,D 的坐标,表示出 2kND﹣kMB,即可证明 2kND﹣kMB 为定值. 解答: 解: (1)由题意,A(﹣2,0) ,B(2,0) ,C(0,2) , ∴直线 AC: 设 l:x+y+b=0,∴ ∴l:x+y±2 ,即 x﹣y+2=0,…(2 分) =2,则 b=±2 ,

=0; …(5 分) y﹣2 =0,圆心到直线 CM 的距离 d= = ,

(2)①CM:x+

∴弦 CM 的长为 2

=2

…(9 分)

②设 M(x0,y0) ,则

,直线







,直线



又 lAC:y=x+2AC 与 BM 交点





,代入得

,…(13 分)

所以





为定值. …

(16 分) 点评: 本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.


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