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2.4抽象函数


§2.4
知识提要

抽象函数

1.所谓抽象函数泛指不具体的函数,然而抽象函数又多以具体函数为背景,所以研究 抽象函数很有应用价值.抽象函数也是高考、竞赛命题的热点之一. 2.抽象函数与它的代表函数 抽象函数满足条件 1 代表函数

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? kx ( k ? 0 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
3

f ( x) ? a x ( a ? 0, a ? 1 )

f ( x) ? log a x
( a ? 0, a ? 1 )

f(
4 5

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? x a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (
f ( x ? 1) ?

x1 ? x2 x ?x )? f ( 1 2 ) 2 2
1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

f ( x) ? cos x

6

f ( x) ? tan

?x
4 1? x 1? x

7

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 2 ) 1 ? x1 x2

f ( x) ? log a

8

1 f ( x) ? ? f ( x)

f ( x) ? log a x 或

f ( x) ? x ?

1 x

3.抽象函数的性质 ( 1 ) 若 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ( x )? 1, 且 对 任 意 x, y 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则 f ( x) 是 R 上的增函数;
(2)若 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 对任意实数 x, y 都成立,则 f ( x) 是奇函数; (3)若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) 对任意实数 x 都成立,则 f ( x) 的图像以点 (

a?b , 0) 为 2

中心对称; (4)若 f ( x ? T ) ? ?

1 ,则 2T 是 f ( x) 的一个周期. f ( x)

例题讲解
1.抽象函数的值(值域)

? ) 例 1: 函数 f ( x) 的值域 ( , 4] , g (x) ?f (x) 2 f( x 则
7 届希望杯)

1 4

的值域为

. (第

例 2 : 定 义 为 R 的 函 数 f ( x) , 对 任 何 a, b? R, 都 有 f [ a f( b ? )]

a, 则 b

f 2(1 9 9 4 ) ?

. (第 5 届希望杯)

例 3: f ( x) 是 [0,1] 上的不减函数, 设 即对于 0 ? x1 ? x2 ? 1 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且满足: (1)f (0) ? 0 ; 2)f ( ) ? (

x 3

1 1 ( 则 f ( x) ; 3)f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) , f ( )? 2 2005



例 4 : 设 奇 函 数 y ? f ( x) 的 定 义域 为 R , f (1) ? 2 , 且 对 任 意 x1 , x2 ? R , 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ,当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,则函数 y ? ? f 2 ( x) 在区间 [?3, ?2] 上的最大值
是 . (第 4 届希望杯)

2.抽象函数的单调性 例 5: 奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数, 在区间 [3, 6] 上的最大值为 8, 最小值为 ?1 , 则

2 f (?6) ? f (?3) ?
14 届希望杯)



(第

例 6:设 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( x) ? f ( ) ? f ( y ) ,若 f (3) ? 1,则

x y

f ( x) ? f (

1 ) ? 2成立的 x 的取值范围是 x ?5



3.抽象函数的奇偶性 例 7 : f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 它 的 最 小 正 周 期 为 2 , 则

f ( 1? f ( ? )f ) 2
(A)1 或 0 6 届希望杯)

? )? f ?3 (

( 1? 9 5 ) 9
(B)1 或 ?1 (C)0 (D) 1 (第

例 8:函数 f ( x) 的定义域是 R ,函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 ? f (? x) ,已知 g (5) ? ?3 ,则

g (?5) ?

. (第 4 届希望杯)

4.抽象函数的周期性 例 9:定义在实数集上的函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x ? 1) , 1 ? f ( x ? 1)

则 f (1) ? f (2) ? f (3)? f (2000) ? 2000 的值为 12 届希望杯)



(第

例 10 : 定 义 在 R 上 的 非 常 数 函 数 , 满 足 ( 1 ) f (10 ? x) 为 偶 函 数 ; 2 ) (

f (5 ? x) ? f (5 ? x) ,则 f ( x) 一定是(
(A)是偶函数,也是周期函数

) (B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数 12 届希望杯)

(D)是奇函数,但不是周期函数

(第

课后练习
1.函数 f ( x) 是定义在 R 上的实函数,它既关于 x ? 5 对称,又关于 x ? 7 对称,那么 f ( x) 的周期是( ) (A) 4 (B) 2 (C)

? 2

(D)?

2.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( )

(A) f ?6? ? f ?7 ? (B) f ?6? ? f ?9? (C) f ?7 ? ? f ?9? (D) f ?7? ? f ?10 ? (2007 年重庆高考) 3.定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
(A)0 年安徽高考) (B)1 (C)3 (D) 5

) (2007

4. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , 它具有下述性质: 对任何 x ? R , (1) 都有 f ( x ) ? f ( x) ;
3 3

(2) 对任何 x1 , x2 ? R ,x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . f (0) ? f (1) ? f (?1) 的值为 则 ( (A)0 确定 (B)1 (C) ?1



(D)不

5.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? 2 ? x ,则 f (?2005.5) ?


2

6.函数 f ( x) 是定义域为 [?1,1] 的奇函数,且为增函数, f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,则实数

a
是 5 届希望杯)

的 .







围 (第

7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 恒 有 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y) 若 f (16) ? 4 , 那 么 .

f (2003) ?



8.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,并对一切实数 x ,都满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) . (1)证明:函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称. (2)若 f ( x) 又是偶函数,且 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 x ?[?4,0] 时的 f ( x) 的表达 式. 9.设函数 f (x) 在 (??,??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区 间 [0, 7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 . (1)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根的个数,并证明你的结论. (2005 年广东高考)


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