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直接证明与间接证明导学案


课题

直接证明与间接证明 课标
①了解直接证明的两种基 本 方 法 ---- 分 析 法 和 综 合 法,了解分析法和综合法的 思考过程、特点; ②了解间接证明的一种方 法----反证法,了解反证法 的思考过程、特点.

四 要 素 研 究

考纲要求
①了解直接证明的两种基本 方法----分析法和

综合法,了解 分析法和综合法的思考过程、特 点; ②了解间接证明的一种方法 ----反证法,了解反证法的思考 过程、特点.

考点
①直接法证 明数学问题 ②反证法证 明数学问题

山东卷

全国卷
(2003 全国)
如果 求证: : , 3sin ? ? sin 2? +?) (

高 考 回 放

①已知 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 1 ,求证:
?

1 1 1 ? ? ? 9. a b c
a?m a 证: ? . b?m b

② 已 知 a , b , m 都 是 正 数 , 并 且 a ? b. 求

tan(? ? ? ) ? 2 tan ? .

§2.2 直接证明和间接证明 预习案
考纲解读: 了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法, 了解分析法和综合法的思考 过程、特点; 了解间接证明的一种方法----反证法,了解反证法的思考过程、特点. 学习目标:1.能用直接法证明一般的数学问题 2.会用反证法证明一般的数学问题 学习重点:直接法证明数学问题 学习难点:反证法证明数学问题 预习要求:请同学们自己预习课本 63--67 页内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完 成下面的问题. 教材助读: 1.直接证明----综合法、分析法 (1)综合法 用综合法解题的逻辑关系是: ? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ? Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ? Qn ? Q ? 综合法的思维特点是:由因导果 即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法 (2)分析法 用分析法解题的逻辑关系是: ? Q ? P ? ? ( P ? P2 )..... ? ( Pn ?1 ? Pn ) ? ? Pn ? P ? 1 1

王新敞
奎屯

新疆

分析法的思维特点是:执果索因 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真, 只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真 2.直接证明----反证法 小故事:中国古代有一个叫《路边苦李》的故事。王戎 7 岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘果子,只有王戎站在原地不动。有人问王 戎为什么?王戎回答说: “树在道边而多子,此必苦李。 ”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是 苦李。 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立。 证明步骤: ① 反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立。 ② 归谬:从假设出发,经过正确的推理证明,得出矛盾。 ③ 结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 思维方法:正难则反 关键在与: 从假设出发,在正确的推理下得出矛盾(与已知矛盾,与假设矛盾, 与定义、 定理、公理矛盾,与事实矛盾等) 。
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

预习自测: 1.设在四面体 P ? ABC 中, ?ABC ? 90?, PA ? PB ? PC, D 是 AC 的中点.求证:PD 垂直于 ?ABC 所在的平面.

2.在四面体 S ? ABC 中, SA ? 面ABC, AB ? BC ,过 A 作 SB 的垂 线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F,求证 AF ? SC . 证明:要证

3.用反证法证明:过一点与一平面垂直的直线只有一条。

预习疑惑: ___________________________________________________________________.

探究案
探究点 1:综合法 例 1.①已知 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 1 ,求证:
?

②已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b. 求证:

a?m a ? . b?m b

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

变式练习: 已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a .

探究点 2:分析法 例 2.求证 3 ? 7 ? 2 5

变式练习: ①证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比 截面是正方形的水管流量大
王新敞
奎屯 新疆

②求证: a ? a ? 1 ?

a ? 2 ? a ? 3 (a ? 3)

探究点 3:反证法 例 3.证明 2 不是有理数.

变式练习: ①

1?2? 已知数列?b n ?的通项公式bn ? ? ? 4?3?

n ?1

,证明:数列?b n ?中的任意三项不可能成等差数列.

②证明:1, 2 , 3 不能为同一等差数列的三项.

当堂检测: 1.如果 3sin ? ? sin 2? +?) ,求证: tan(? ? ? ) ? 2 tan ? . (

2.设 a 为实数, f ( x) ? x ? ax ? a .求证: f (1) 与 f (2) 中至少有一个不小于
2

1 . 2

标题
四 要 素 研 究
山东卷
(山东 01 模拟)用数学归纳法证明

数学归纳法 课标
①了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题。

考纲要求
①使学生进一步了解归纳 法, 理解数学归纳法的原理 与实质。 ②理解数学归纳法原理并 能用数学归纳法证明一些与 自然数 n 有关问题。

考点
①数学归纳法证明与自 然数有关的命题步骤; ②数学归纳法第二步如 何利用归纳假设证明

n ? k ? 1 时命题成立

全国卷
(全国 02 模拟)用数学归纳法证明不等式

高 考 回 放

1 1 1 1 1 13 12 ? 32 ? 5 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n(4n 2 ? 1) ? ? ?? ? (n ? 2) 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24
过程中,由 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式左 边增加的项为 ( ) A. (2k ) C.
2

的过程中,由 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式 左边 ( ) A. 增 加 了 一 项

B. (2k ? 3)

2

(2k ? 1) 2

D. (2k ? 2)

1 2( k ? 1)

2

B.增加了一项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

C.增加了“

1 1 ” ,又减少了 ? 2k ? 1 2(k ? 1)



1 ” k ?1
D.增加了 “

1 1 ” 又减少了 , “ ” 2( k ? 1) k ?1

§2.3.1 数学归纳法

预习案

考纲解读:了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 学习目标:1、使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。
2、理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数 n 有关问题。

学习重点:数学归纳法证明与自然数 n 有关的命题步骤;
学习难点: 数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明 n ? k ? 1 时命题成立

预习要求:请同学们自己预习课本内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成下面的 问题. 教材助读: 1. 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行
(1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n = n0 时命题成立; (2) (归纳递推)假设____________时命题成立,证明______________时命题也成立. 只要 完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。上述证明方法 叫做数学归纳法。 注: , (1)(2)两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而 是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 2.运用数学归纳法时易犯的错误 (1) 对项数估算的错误, 特别是寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时, 项数发生什么变化被弄错。 (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不 过去了。 (3) 关键步骤含糊不清, “假设 n=k 时结论成立, 利用此假设证明 n=k+1 时结论也成立” , 是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注 意证明过程的严谨性、规范性。

预习自测
1. 用数学归纳法证明:1 ? 列哪个不等式成立( A.

1 1 1 * ? ? ??? ? ? n ( n ? N ,且 n ? 1)时,第一步即证下 2 3 2n ? 1



1 1 1 1 C. 1 ? ? ? 2 D. 1 ? ? 2 ?2 2 2 3 3 1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? n ? n(n ? N且n ? 1) ,第二步证明从“K 到 2 3 2 ?1

1? 2

B. 1 ?

K+1”,左端增加的项数是 A. 2
k ?1



) D. 2 +1
k

B. 2

k

C. 2 -1
n ?1

k

3.用数学归纳法证明 2

? n2 ? n ? 2 (n ? N ) 时,第一步证明 n ? ____.
2

4. 用数学归纳法证明:2+4+6+?+2n= n ? n

预习疑惑: ___________________________________________________________________.

探究案
探究点 1:利用数学归纳法证明等式
例 1、用数学归纳法证明: n ? N * 时,1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ??? ? n( n ? 1) ?

1 n( n ? 1)( n ? 2) 3

变式练习:
用数学归纳法证明: 2 ? 4 ? 6 ? ??? ? (2n) ?
2 2 2 2

2 n(n ? 1)(2n ? 1) 3

探究点 2:由“K 到 K+1”左端增加的项数
例 2、用数学归纳法证明 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ?
2 2 2

1 n(4n2 ? 1) 过程中,由 n=k 递推到 3
( )
2

n=k+1 时, 不等式左边增加的项为
A. (2k )
2

B. (2k ? 3)

2

C.

(2k ? 1) 2

D. (2k ? 2)

变式练习:
1.用数学归纳法证明不等式 推到 n=k+1 时,不等式左边

1 1 1 1 13 由 ? ? ??? ? ? (n ? 2) 的过程中, n=k 递 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24
( )

A. 增 加 了 一 项

1 2( k ? 1)

B. 增 加 了 一 项

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)
C.增加了“

1 1 1 ” ,又减少了“ ” ? 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1

D.增加了“

1 ” ,又减 2( k ? 1)

少了“

1 ” k ?1
n *

2. 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ? 1)(n ? 2) ????? (n ? n) ? 2 ?1? 3 ? 5 ????? (2n ? 1) (n ? N ) 时 , 从 “ n ? k 到 n ? k ? 1” ,左边需增乘的代数式是( A. 2k ? 1 )

2k ? 1 B. k ? 1

C. 2(2k ? 1)

2k ? 3 D. k ? 1

当堂检测:
1.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 “
2 n ?1

? 2 n ? 1(n ? N ? ) ”的过程中,第二步 n ? k 时
( ) B.

成立,则当 n ? k ? 1时应证明 A.

1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 k ?2 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 1

1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ?2 k ? 2 k ?1 ? 2 k ? 1 ? 2 k ?1
C.

1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 1

D.

1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ?2 k ?1 ? 2 k ? 2 k ? 1 ? 2 k
2.空间中有 n 个平面,它们中任何两个不平行,任何三个不共线,设 k 个这样的平面把空间 分成 f (k ) 个区域,则 k ? 1个平面把空间分成的区域数 f (k ? 1) ? f (k ) ? ( A. k ? 1 B. k C. k ? 1 D. 2k )

3.用数学归纳法证明某命题时,左式为 1 ? 时应将左边加上( )

1 1 1 1 1 , n ? k 到 n ? k ?1 ? ? ? ?? ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n 1 2k ? 2 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

A.

1 2k ? 1

B.

1 1 ? 2k ? 1 2k ? 4

C. ?

D.

4.若 f (k ) ? 1 ?

1 1 1 1 1 则 f (k ? 1) = f (k ) + _______. ? ? ? ??? ? ? 2 3 4 2 k ?1 2 k

数学归纳法应用举例

四 素 要

课标

考纲要求

考点

①了解数学归纳 法的原理,能用数 学归纳法证明一些 简单的数学问题。

①理解数学归纳法原理; ②掌握数学归纳法的证明 步骤; 会用数学归纳法表达证 明过程.

①数学归纳法证明与自然 数有关的命题步骤; ②数学归纳法第二步如何 利 用 归 纳 假 设 证 明 n ? k ?1 时命题成立

山东卷
( 山 东 02 模 拟 ) 已 知 数 列

全国卷
(全国 00 模拟)3. 根据下列不等式:
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2,? , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

高 考 回 放

{an } , S n 是数列 {an } 的前 n 项

a 1 和 , 且 Sn ? n ? ? 1 , 且 结论. 2 an
an ? 0 (n ? N ? ) .⑴写出数列

能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的

{an } 的 前 三 项 ; ⑵ 猜 想 数 列 {an } 的通项公式并用数学归纳
法证明.

§2.3.2 数学归纳法应用举例
预习案
考纲解读:理解数学归纳法原理,并能用数学归纳法证明一些与自然数 n 有关问题. 学习目标: 1.理解数学归纳法原理;

2.掌握数学归纳法的证明步骤; 3.会用数学归纳法表达证明过程. 学习重点:会用数学归纳法证明. 学习难点:数学归纳法第二步中,如何利用假设证明 n ? k ? 1 时命题成立. 预习要求:请同学们自己预习课本 71-72 页内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成 下面的问题. 教材助读: 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: ⑴证明当 n 取_______时,命题成立; ⑵假设__________时命题成立,证明当________时命 题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明方法叫 做数学归纳法. 注:⑴、⑵两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证 明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题. 预习自测: 1.若命题 P ( n) 对 n ? k 成立, 则它对 n ? k ? 2 时也成立, 并且已知命题 P (2) 成立, 则下 列结论正确的是( ) B. P ( n) 对每一个正偶数 n 都成立 D. P ( n) 对所有大于1的自然数 n 都成立

A. P ( n) 对每一个自然数 n 都成立 C. P ( n) 对每一个正奇数 n 都成立
2

2.对于不等式 n ? n ? n ? 1 (n ? N *) ,某同学用数学归纳法证明过程如下:⑴当 n ? 1 时,

12 ? 1 ? 1 ? 1 , 显然命题是正确的;⑵假设 n ? k (k ? N *) 时,有 k 2 ? k ? k ? 1 ,那么当

n ? k ? 1 时,

(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ?

k 2 ? 3k ? 2 ? (k 2 ? 3k ? 2) ? (k ? 2) ? (k ? 1) ? 1 ,∴ n ? k ? 1 时命题是正确的,由⑴、
⑵可知对于 n ? N * ,命题都是正确的. 以上证法( )

A.正确 B.当 n ? 1 时,证明过程不正确 C.归纳假设的过程不正确 D.从 n ? k 到

n ? k ? 1 的推理不正确.
3.用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ??? ? a
2 n ?1

1 ? a n? 2 ? (n ? N , a ? 1) 中,证明 n ? 1 时,左边式 1? a

子应为________.

预习疑惑:___________________________________________________________________.

探究案
探究点 1:证明等式问题
例1.用数学归纳法证明: 12 ? 22 ? ??? ? n2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

变式练习: 已知数列 {an } , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且 Sn ?

an 1 ? ? 1 ,且 an ? 0 (n ? N ? ) .⑴写 2 an

出数列 {an } 的前三项;⑵猜想数列 {an } 的通项公式并用数学归纳法证明.

探究点 2:证明不等式问题
例2.求证:当 n ? N , n ? 2 时, 1 ?
?

1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? ? 2 ? 2 ? . 2 2 3 n n

变式练习: 证明不等式: n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 n (n ? N *) . 2 3 n

探究点 3:证明整除问题 2n 2n 例 3.用数学归纳法证明: x ? y (n ? N *) 能被 x ? y 整除.

变式练习: 用数学归纳法证明: x
2 n ?1

? y 2 n ?1 (n ? N *) 能被 x ? y 整除.

探究点 4:证明几何问题
例4.求证: n 棱柱中过侧棱的对角面的个数 f (n) ?

1 n(n ? 3) (n ? 4) . 2

变式练习: 平面内有 n(n ? 2) 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点. 证明直线交点个数为

f ( n) ?

1 n(n ? 1) . 2

课后检测:
1.用数学归纳法证明:

1 1 2n ? 1 2n ? 1 ? cos? ? cos3? ? ? ?? ? cos(2n ? 1)? ? ? sin ? ? cos ? (? ? k? , n ? N ? ) . 2 sin ? 2 2
证明 n ? 1 时,左边的代数式为( )

A.

1 2

1 B. ? cos ? 2
n

1 C. ? cos ? ? cos3? 2
n

1 D. ? cos ? ? cos3? ? cos5? 2

2.用数学归纳法证明“ 5 ? 2 能被3整除”的第二步中, n ? k ? 1 时,为了使用假设,应将

5k ?1 ? 2k ?1 变形为______.

3.根据下列不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ??? ? ? ,1 ? ? ? ??? ? ? 2, ??? , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的结论.

4.求证:凸 n 边形的内角和为 f (n) ? (n ? 2) ?180? (n ? 3) .

5.是否存在常数 a、b 使等式

1 1? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ?1 ? n ? (n ? a) ? (n ? b) 对一切正整数 n 都 6
成立,并证明你的结论.


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