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黑龙江省哈尔滨32中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) (


黑龙江省哈尔滨 32 中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题只有 1 个选项符合题意,每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)已知椭圆 的距离() A.2 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点

B. 3
2

C. 5

D

.7

2. (4 分)抛物线 y=﹣x 的焦点坐标为() A. B. C. D.

3. (4 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 作倾斜角为 A. B. C.

2

的弦 AB,则|AB|的值为() D.

4. (4 分)以原点为圆心,且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y =5 B.x +y =16 C.x +y =4 D.x +y =25 5. (4 分)过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 () A.y= B.y=﹣ C. D.
2 2

6. (4 分)双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是()

A.2

B.

C.
2 2 2

D.

7. (4 分)设 k>1,则关于 x,y 的方程(1﹣k)x +y =k ﹣1 所表示的曲线是() A.长轴在 x 轴上的椭圆 B. 长轴在 y 轴上的椭圆 C. 实轴在 x 轴上的双曲线 D.实轴在 y 轴上的双曲线 8. (4 分)x= A.双曲线 C. 双曲线的一部分 表示的曲线是() B. 椭圆 D.椭圆的一部分
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9. (4 分)若椭圆 () A.

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,则双曲线



=1 的离心率为

B.

C.

D.

10. (4 分)抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则 抛物线方程为() 2 2 2 2 A.x =8y B.x =﹣8y C.x =16y D.x =﹣16y 11. (4 分)如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是() A. B. C. D.
2 2

12. (4 分)已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程为() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y ﹣2x﹣3=0 B.x +y +4x=0 C.x +y +2x﹣3=0 D.x +y ﹣4x=0

二、填空题(每空 4 分,共 16 分) 13. (4 分)椭圆 + =1 的一个焦点为(0,1)则 m=.

14. (4 分)椭圆的焦点是 F1(﹣3,0)F2(3,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2| 的等差中项,则椭圆的方程为.

15. (4 分)双曲线 x ﹣

2

=1 截直线 y=x+1 所得弦长是.

16. (4 分)若经过点 P(﹣1,0)的直线与圆 x +y +4x﹣2y+3=0 相切,则此直线在 y 轴上 的截距是 .

2

2

三、解答题(共 4 道大题,共 36 分) 17. (9 分)已知圆 C 的圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上并与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) ,B(0, ﹣2) ,求圆 C 的方程.

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18. (9 分)求两焦点的坐标分别为(﹣2,0) , (2,0) ,且经过点 P(2,

)的椭圆方程.

19. (9 分)已 知双曲 线经过 点 M(



) ,且

=1.

(1)如果 F(3,0)为此双曲线的右焦点,求双曲线方程; (2)如果离心率 e=2,求双曲线方程. 20. (9 分)已知抛物线的准线为 x=﹣ (p>0) ,顶点在原点,直线 l:y=x﹣1 过抛物线的 焦点,并与抛物线交于 A,B 两点.求抛物线方程和弦长|AB|.

黑龙江省哈尔滨 32 中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题只有 1 个选项符合题意,每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)已知椭圆 的距离() A.2 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点

B. 3

C. 5

D.7

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据条件求出 a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论. 解答: 解:设所求距离为 d,由题得:a=5. 根据椭圆的定义得:2a=3+d?d=2a﹣3=7. 故选 D. 点评: 本题主要考查椭圆的定义. 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题 中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口. 2. (4 分)抛物线 y=﹣x 的焦点坐标为() A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析: 先把抛物线的方程化为标准形式,再利用抛物线 x =﹣2py 的焦点坐标为(0,﹣ ) ,求出物线 y=﹣x 的焦点坐标. 解答: 解:∵抛物线 y=﹣x ,即 x =﹣y, ∴p= , = , ∴焦点坐标是 (0,﹣ ) , 故选 B. 2 点评: 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,抛物线 x =﹣2p y 的焦点坐标为 (0,﹣ ) .
2 2 2

2

3. (4 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 作倾斜角为 A. B. C.

2

的弦 AB,则|AB|的值为() D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用直线的倾斜角求得其斜率, 根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程, 利用 点斜式求得直线的方程,与抛物线方程联立利用韦达定理求得 x1+x2 的值,最后利用抛物线 的定义求得|AB|=x1+1+x2+1,把 x1+x2 的值代入即可. 解答: 解:∵倾斜角为 ∴k=tan = , ,

2p=4, =1, ∴焦点(1,0) , 直线方程为 y= (x﹣1) , 2 2 代入 y =4x,整理得 3x ﹣10x+3=0, ∴x1+x2= ,

抛物线的准线为 x=﹣1 根据抛物线的定义可知|AB|=x1+1+x2+1= ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 涉及抛物线的焦点弦的问题一般是利用抛物线 的定义来解决. 4. (4 分)以原点为圆心,且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y =5 B.x +y =16 C.x +y =4 D.x +y =25

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考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 分析: 先求弦心距,再求半径,可得圆的方程. 解答: 解:弦心距是:
2 2

,弦长为 8,所以半径是 5

所求圆的方程是:x +y =25 故选 D. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的标准方程,是基础题. 5. (4 分)过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 () A.y= B.y=﹣ C. D.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 分析: 画出图形,利用三角函数可以求直线的斜率,求出直线方程. 2 2 2 解答: 解:如图,圆方程为(x+2) +y =1 , 圆心为 A(﹣2,0) ,半径为 1, . 故选 C.

点评: 本题考查直线和方程的应用,数形结合的数学思想,是基础题.

6. (4 分)双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是()

A.2

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线,由 a=b,c= 离心率. 解答: 解:∵双曲线 的两条渐近线互相垂直,

,可求出该双曲线的

∴双曲线

是等轴双曲线,

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∴a=b,c= ∴

, .

故选 C. 点评: 这道题比较简单. 两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线这个结论是解本题的 关键. 7. (4 分)设 k>1,则关于 x,y 的方程(1﹣k)x +y =k ﹣1 所表示的曲线是() A.长轴在 x 轴上的椭圆 B. 长轴在 y 轴上的椭圆 C. 实轴在 x 轴上的双曲线 D.实轴在 y 轴上的双曲线 考点: 曲线与方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据条件,方程(1﹣k)x +y =k ﹣1,即 程的特征判断曲线的类型. 解答: 解:∵k>1,∴1﹣k<0,k ﹣1>0, 方程(1﹣k)x +y =k ﹣1,即
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,结合双曲线的标准方

,表示实轴在 y 轴上的双曲线,

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为 是关键.

8. (4 分)x= A.双曲线 C. 双曲线的一部分

表示的曲线是() B. 椭圆 D.椭圆的一部分

考点: 椭圆的标准方程. 2 2 分析: 依据条件把已知的曲线方程化为 x +3y =1,结合双曲线的标准方程的特征判断曲 线的类型. 解答: 解:∵x= ∴x +3y =1(x≥0) 即 ,表示实轴在 x 轴上的椭圆一部分, 故选 D.
2 2

k>1,

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点评: 本题考查曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为 解题的关键.



9. (4 分)若椭圆 () A.

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,则双曲线



=1 的离心率为

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 a 与 b 表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出 , 接着利用 a,

b 表示出双曲线的离心率

,即可求出双曲线的离心率.

解答: 解:由题意得椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=



所以 所以 .

=



所以双曲线的离心率

=



故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系, 区分椭圆的离心率 与双曲线的离心率的表达形式有何不同,离心率一直是高考考查的重点. 10. (4 分)抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则 抛物线方程为() 2 2 2 2 A.x =8y B.x =﹣8y C.x =16y D.x =﹣16y 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的简单性质;抛物线的标准方程. 计算题. 先设抛物线方程,利用点 P(m,1)到焦点距离为 5,转化为点到准线的距离为 5. 2 解:设抛物线方程为 x =2py(p>0) , ,∴2p=16,∴抛物线方程为 x =16y,
2

由题意得

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故选 C. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,利用定义解题是关键.
2 2

11. (4 分)如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是() A. B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 转化思想. 分析: 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率,画出满足等式(x﹣2) +y =3 的图形,由
2 2

数形结合,我们易求出 的最大值. 解答: 解:满足等式(x﹣2) +y =3 的图形如图所示: 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率, 由图可得动点与 B 重合时,此时 OB 与圆相切, 取最大值, 连接 BC,在 Rt△ OBC 中,BC= 易得∠BOC=60° 此时 = 故选 D ,OC=2
2 2

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划,分析出 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率, 是解答本题的关键. 12. (4 分)已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程为() 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x +y ﹣2x﹣3=0 B.x +y +4x=0 C.x +y +2x﹣3=0 D.x +y ﹣4x=0 考点: 直线与圆的位置关系.
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专题: 计算题. 分析: 由圆心在 x 轴的正半轴上设出圆心的坐标(a,0)a 大于 0,然后利用点到直线的 距离公式表示出圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离,由直线与圆相切得到距离与半径相等列出 关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值.得到圆心的坐标,然后根据圆心坐标和半径 写出圆的方程即可. 解答: 解:设圆心为(a,0) (a>0) , 由题意知圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= = =r=2,解得 a=2,所以圆心坐标

为(2,0) 2 2 2 2 则圆 C 的方程为: (x﹣2) +y =4,化简得 x +y ﹣4x=0 故选 D 点评: 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件, 灵活运用点到直线的距离公式化 简求值,会根据圆心和半径写出圆的标准式方程,是一道中档题. 二、填空题(每空 4 分,共 16 分) 13. (4 分)椭圆 + =1 的一个焦点为(0,1)则 m=3.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆 + =1 的一个焦点为(0,1) ,可得 4﹣m=1,即可求出 m 的值.

解答: 解:∵椭圆

+

=1 的一个焦点为(0,1) ,

∴4﹣m=1, ∴m=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆简单性 质的灵活运用. 14. (4 分)椭圆的焦点是 F1(﹣3,0)F2(3,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2| 的等差中项,则椭圆的方程为 .

考点: 专题: 分析: 程. 解答:

数列与解析几何的综合;椭圆的简单性质. 计算题. 根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出 a 和 b 值, 进而求得椭圆方 解:∵椭圆的焦点是 F1(﹣3,0)F2(3,0) ,
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P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=12, ∴2a=12, 2c=6,即 a=6,c=3 2 ∴b =36﹣9=27, ∴椭圆的方程为 .

故答案为:



点评: 本题椭圆标准方程的求解利用了椭圆的定义, 关键是求出其基本量, 体现了转化化 归的数学思想.

15. (4 分)双曲线 x ﹣

2

=1 截直线 y=x+1 所得弦长是



考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 联立方程组,可解得该方程组的解,从而得到弦的端点坐标,利用两点间距离公式 即可求得弦长.
2

解答: 解:由

,得 3x ﹣2x﹣5=0,解得 x= 或 x=﹣1,

分别代入直线 y=x+1 得 y= 或 y=0, 所以弦的端点为( , ) , (﹣1,0) , 所以弦长为 故答案为: . = ,

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查弦长的求解,求弦长常用弦长公式: |AB|= .

16. (4 分)若经过点 P(﹣1,0)的直线与圆 x +y +4x﹣2y+3=0 相切,则此直线在 y 轴上 的截距是 1. 考点: 圆的切线方程. 专题: 综合题.

2

2

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分析: 要求直线在 y 轴上的截距,即要求切线方程,就要求出切线的斜率,因为切线垂直 于经过切点的半径,先求出半径所在直线的斜率即可得到切线斜率. 解答: 解:把 P 代入到圆方程中,左右两边相等,所以 P 在圆上,由圆心坐标为 C(﹣2, 1) ,得到 ,

所以此直线的斜率为 1,方程为 y=x+1,令 x=0 得到 y 轴上的截距是 1. 故答案为:1 点评: 本题是一道综合题, 要求学生掌握圆的切线垂直与经过切点的直径, 会利用两直线 垂直时斜率乘积为﹣1 解决数学问题. 三、解答题(共 4 道大题,共 36 分) 17. (9 分)已知圆 C 的圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上并与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) ,B(0, ﹣2) ,求圆 C 的方程. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由此利用待定系数法能求出圆 C 的方程. 2 2 2 解答: 解:设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,
2 2 2

由已知得
2



解得 a=2,b=﹣3,r =5, 2 2 ∴圆 C 的方程(x﹣2) +(y+3) =5. 点评: 本题考查圆的方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运 用.

18. (9 分)求两焦点的坐标分别为(﹣2,0) , (2,0) ,且经过点 P(2,

)的椭圆方程.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知得:2a= 解答: 解:由已知得: 2a= 解得 a=3,c=2, 2 ∴b =9﹣4=5, ∴椭圆方程为 . =6,c=2, =6,c=2,由此能求出椭圆方程.

点评: 本题考查椭圆方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运 用.
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19. (9 分)已 知双曲 线经过 点 M(



) ,且

=1.

(1)如果 F(3,0)为此双曲线的右焦点,求双曲线方程; (2)如果离心率 e=2,求双曲线方程. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 设双曲线标准方程为 (a>0, b>0) . 根据双曲 线经过 点 M ( ,

) ,且

=1,F(3,0)为此双曲线的右焦点.即可得出.

(2) 设双曲线的方程为 点 M( , )代入解出即可.



=1. 根据

=2, 又

=1. 解得 a=2, c=4. 把

解答: 解: (1)设双曲线标准方程为

(a>0,b>0) .

∵双曲 线经过 点 M( ∴c=3,a =3,
2



) ,且
2

=1,F(3,0)为此双曲线的右焦点.

,解得 b =6.

∴双曲线的方程为



(2)设双曲线的方程为



=1.



=2,又

=1.

解得 a=2,c=4. 把点 M( , )代入 可得 ,解得 b =12.
2

把点 M(



)代入

=1 可得

,解得 b =12.

2

故所求的双曲线方程为:

=1 或



点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.

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20. (9 分)已知抛物线的准线为 x=﹣ (p>0) ,顶点在原点,直线 l:y=x﹣1 过抛物线的 焦点,并与抛物线交于 A,B 两点.求抛物线方程和弦长|AB|. 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 先求出焦点坐标,进而求 P 的值,根据抛物线的定义求弦长. 解:由题意可得焦点(1,0) ,

所以﹣ =﹣1, 所以 P=2, 所以抛物线方程为:y =4x, 所以
2 2



得 x ﹣6x+1=0. |AB|=x1+x2+p=8. 点评: 本题主要考查抛物线的概念和性质,到焦点的距离和到准线的距离相等.

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