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二倍角的正弦,余弦,正切公式(课件)


3.1.3 . .

二倍角的正弦,余弦 正切公式 二倍角的正弦 余弦,正切公式 余弦

三维目标: 三维目标 1. 通过让学生探索发现并推导二倍角公式,了解它们之间,以及它们与和角公式之间的内在 联系,并通过强化题目的训练,加深对而倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2. 通过二倍角的正弦,余弦,正切公式的应用,会进行简单的求值,化简,恒等证明.体会化归这 一基本数学思想在发现中和求值,化简,恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变 化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题,解决问题的能力. 重点难点: 重点难点 教学重点: 二倍角公式推导及应用. 教学难点: 如何灵活应用和,差,倍角公式进行三角式化简,求值,证明恒等式. 课时安排: 课时安排 1 课时 教学过程: 教学过程 一 复习引入 1.和角,差角的三角函数公式

cos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β ) = sin α cos β cos α sin β tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β tan(α β ) = 1 + tan α tan β tan(α + β ) =
2.你能用多少种不同方法求 cos15 的值? 方法一: cos15o = cos(45o 30o ) 方法二: cos15o = cos(60o 45o ) 上述两种方法都是用特殊角来表达非特殊角,我们也注意到 30 = 2 ×15 = 15 + 15 ,也
o o o o
o

就是意味着 15 角的三角函数与它的二倍角 30 的三角函数之间存在联系,这就是我们这节 课的主要内容:二倍角的正弦,余弦和正切公式. 二 探究新知 在和角的正弦,余弦,正切公式中取 α = β ,得

o

o

cos 2α = cos(α + α ) = cos α cos α sin α sin α = cos 2 α sin 2 α sin 2α = sin(α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α

tan 2α = tan(α + α ) =
引例:求 cos15 的值
o

tan α + tan α 2 tan α = 1 tan α tan α 1 tan 2 α

方法三: Q cos 30o = cos(2 × 15o ) = cos 2 15o sin 2 15o 而 cos 15 + sin 15 = 1
2

o

2

o

∴ 2 cos 2 15o 1 = cos 30o
解得 cos15 =
o o

6+ 2 4

由上述 cos15 求法,你能得到什么结论?

cos 2α = 2 cos 2 α 1 cos 2α = 1 2sin 2 α 5 π π , < α < ,求 sin 4α , cos 4α , tan 4α 的值 13 4 2 分析:已知条件给出了 2α 的正弦值,由于 4α 是 2α 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.
例1. 已知 sin 2α = 解: Q

π

2 5 又 sin 2α = 13

4

<α <

π



π

2

< 2α < π

5 12 ∴ cos 2α = 1 sin 2 2α = 1 ( ) 2 = 13 13
5 12 120 × ( ) = 13 13 169 5 2 119 cos 4α = 1 2sin 2 2α = 1 2 × ( ) = 13 169 sin 4α 120 169 120 tan 4α = = ( )× = cos 4α 169 119 119 评析:二倍角的”二倍”是描述两个数量之间关系的, 2α 是 α 的二倍, 4α 是 2α 的二倍,

∴ sin 4α = 2sin 2α cos 2α = 2 ×

α
2



α

4

的二倍.这里蕴含着换元思想.

练习:求下列各式的值

(1) sin15o cos15o (3) tan 22.5o 1 tan 2 22.5o

(2) cos 2

π
8

sin 2

π
8

(4)2 cos 2 22.5o 1

例 2 已知 x ∈ (

π 3 , ), sin( x) = , 求 cos 2x 的值 4 2 4 5 π 3 解法一: Q sin( x ) = 4 5
∴ cos x sin x = 3 2 5 7 25 32 25

π π

将上式平方得 2 sin x cos x =

∴ (cos x + sin x) 2 = 1 + 2sin x cos x =
又 x∈(

π π

4 2 , ), 所以 cos x + sin x = 4 2 5 4 2 3 2 24 × ( )= 5 5 25

∴ cos 2 x = (cos x + sin x)(cos x sin x) =
评析:由解法一可得下列变形公式:

cos 2α = (cos α + sin α )(cos α sin α ) (cos α ± sin α ) 2 = 1 ± sin 2α
解法二: Q x ∈ (

π π

π 3 Q sin( x) = 4 5 π π

, ) 4 2



π
4

x ∈ (

π
4

, 0)

π 4 ∴ cos( x) = 4 5 π π

∴ cos 2 x = sin( 2 x) = sin[2( x)] 2 4 = 2 sin( x) cos( x) 4 4 3 4 24 = 2 × ( ) × = 5 5 25
评析: 解法二运用诱导公式找到已知角

π

4

x 和未知角 2 x 之间的联系.
(2) tan

练习:已知 sin

α
2

cos

α
2

=

5 (450o < α < 540o ), 求 (1) sin α 5

α
2

三 课堂小结 1. 熟记二倍角的正弦,余弦和正切公式以及它们的变形形式. 2. 灵活运用公式解题要注意分析三角函数名称,角的关系.一题多解,从中比较最佳解决 问题的途径,以达到优化解题过程,强化数学思想方法之目的. 四 作业 习题 3.1A 组第 11,15,17,18 题


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