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鲶鱼重难点模块1:集合概念与集合运算


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集合概念与集合运算 ? 一、知识点总结 ? 【集合基本概念】 ? 1. 集合的概念 集合: 一般地,把一些能够确定的不同的对象看出一个整体,就说这个整体是 由这些对象的全体构成的集合(或集) ,通常用大写英文字母 A,

B, C... 表示。 集合的元素: 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员) , 通常用小写写英文字母 a, b, c... 表示。 2. 元素与集合的属于关系: ∈、 ? 若 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作: a ∈ A 。 若 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作: a ? A 。 3. 空集 ? :不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? 。 4. 集合元素的基本性质:确定性、互异性、无序性。 【鲶鱼解读】 确定性是集合中元素的一个重要性质,代表的元素不能模棱两可、不能变。 互异性代表元素不能相同。而无序性代表元素之间顺序可变。 其实,这三个性质在高考中都有非常重要的变式,集合处理问题的核心思想 在于对于集合中元素关系的理解,因此集合中的元素一旦有序,其实不改变集 合的性质。 然而有序是数学中一个非常重要的想法, 比如北京是 2009 年高考压 轴题,讲述 n 个元素的集合,但是这 n 个元素是从小到大排列的,感兴趣的同 学可以了解一下。 5. 集合的分类:有限集:含有有限个元素的集合;无限集:含有无限个元素的 集合。 6. 常用数集的表示 自然数集(非负整数集) N ;正整数集 N + 或 N ? ;整数集 Z ;有理数集 Q ; 实数集 R ;正实数集 R + ,均是无限集。 【集合的表示法】 1、列举法:适用于有限集,且元素个数不多,或者是无限集,元素个数较多, 但呈现一定规律,列出几个元素作为代表,其余用“ ??? ”代替。 ? 2、描述法: ? 元素的特征性质:如果在集合 I 中,属于集合 A 的任意一个元素都具有性质 而不属于 A 的元素都不具有性质 p ( x ) , 则 p ( x )叫做集合 A 的一个特征性 p ( x ), 质。

p ( x )是集合 A 的一个特征性质,集合 A 可以表示为 {x ∈ I | p ( x )} ,它表示的
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集合 A 为在集合 I 中具有性质 p ( x )的所有元素构成的。 【集合之间的关系:子集与真子集】 1、子集: 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,则集合 A 叫做集合 B 的子集。 记作: A ? B 或 B ? A 读作“ A 包含于 B ” 或“ B 包含 A ” 若集合 P 中存在着不是集合 Q 的元素,则集合 P 不是集合 Q 的子集。 ? ? ? ? 记作: P ? Q 或 Q ? P 注意: (1)自身性: A ? A ,任何集合是它本身的子集。 ? ? ? ? ? ? (2)规定: ? ? A,空集是任何子集的真子集。 ? (3) ∈ 与 ? 区别: ? ∈ 是从属关系,表示元素与集合之间的关系, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是包含关系,表示集合与集合之间的关系。 ? 2、真子集:若集合 A 是集合 B 的子集(简化:若 A ? B ,数学语言的简洁) ,并 且集合 B 中至少含有一个元素不属于集合 A ,则集合 A 是集合 B 的真子集。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 记作: A
B或B A ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 读作“ A 真包含于 B ” ? 或“ B 真包含 A ” ? 注意: (1)空集 ? 是任何非空集合的真子集。 A=? (2) A ? B ? ? ? A = B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A 3、韦恩图: 包含关系的传递性
B

A ? B, B ? C ,则 A ? C ; ? ? ? 维恩图表示
A ? B, B ? C ,则 A ? C ?
≠ ≠ ≠

? ? ? ? ?
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? 集合 N + , N , Z , Q, R 之间的关系,用维恩图表示 ? ? ? ? ? ? 4、个数规律: ( card ( A) 表示集合 A 的元素个数) ?
元素 子集 真子集 非空子集 非空真子集

?

n 2n ? 5、集合相等: ?
? ? ? A ? B, B ? A ,则 A = B ? 【集合的运算】 ?

2n ?1

2n ?1

2n ? 2

1、交集:一般地,对于两个给定集合 A, B ,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成 的集合,叫做 A, B 的交集。核心词汇:共有。 ? 记作: A ∩ B ? ? ? ? ? ? ? 读作“ A 交 B ” ?

A = {1, 2,3, 4,5}, B = {3, 4,5,6,8}, A ∩ B = {3,4,5} ? ? ? ? ?
2、交集的性质: ? ? ? ? A ∩ B = B ∩ A ? ? ? ? ? ? ?

A ∩ A = A ; ? ? ? ? ? ? ? ? A ∩ ? = ? ∩ A = ? ?
? ? ? 如果 A ? B ,则 A ∩ B = A 。 ? 3、 并集: 一般地, 对于两个给定集合 A, B , 由两个集合的所有元素构成的集合, 叫做 A, B ? 的并集。核心词汇:全部。 ? 记作: A U B ? ? ? ? ? ? ? 读作“ A 并 B ” ?

{1,3,5} U {2,3, 4,6} = {2,3, 4,5,6} ?
4、并集的性质: ? ? ? ? A U B = B U A ? ? ? ? ? ? ?
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A U A = A ; ? ? ? ? ? ? ? ? A U ? = ? U A = A ?
? ? ? 如果 A ? B ,则 A U B = B ? 5、补集:如果给定的集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素 构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集。核心词汇:剩余。 ? 读作: “ A 在 U 中的补集” ? ? 二、鲶鱼精练习题 ? 1. 用正确的符号填空:
0

{0} ; 0


?;?

{?} ; 0
? ;?

N + ; {0} ? ? ? ? ? 。

【答案】0

{0} ;0

?



{?} ,;0

?

N + ;{0} ? ? ≠ ? ? ? 。

(1) M = {m m = 2k , k ∈ Z }——偶数 (2) X = {x x = 2k + 1, k ∈ Z } ——奇数 (3) Y = { y y = 4k + 1, k ∈ Z }——奇数 (4) P = ( x, y ) y = x + 1, x ∈ R ——点集(有序数对集合) (5) P = x y = x 2 + 1, x ∈ R ——实数集 R(想想为什么吧) 2. 给定集合 A、B ,定义 A ? B = {x x = m ? n, m ∈ A, n ∈ B}。若 A = {4,5,6}, 这些均是数集。

{

}

{

}

B = {1, 2,3} ,则集合 A ? B 的所有元素之和为



【答案】15 【解析】 题意为从集合 A 中任意选取一个元素,与集合 B 中的任意一个元素作差, 所得元素为集合 A ? B 的元素,这里要注意元素的互异性。 故 x = 4 ? 1, 4 ? 2, 4 ? 3,5 ? 1,5 ? 2,5 ? 3,6 ? 1,6 ? 2,6 ? 3 = 1, 2,3, 4,5 即 A ? B = {1, 2,3, 4,5},元素之和为 15。 3. 实数集 A 满足条件: 1 ? A ,若 a ∈ A ,则

(1)若 2 ∈ A ,求 A ; (2)集合 A 能否为单元素集合?若能,求出 A ;若不能,说明理由;

1 ∈ A。 1? a

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1 (3)求证: 1 ? ∈ A 。 a
【解析】 (1)由题意知,若 a ∈ A ,则

1 1 ∈ A 。因此 2 ∈ A ,则有 = ?1∈ A 。 1? a 1? 2 1 1 1 1 由 ?1 ∈ A ,则 = ∈ A 。由 ∈ A ,则 = 2 ∈ A。 1 2 1 ? (?1) 2 1? 2
1? ? 因此 A = ?2, ?1, ? 2? ?

1 。整理得到 a 2 ? a + 1 = 0 , 1? a 验证 Δ = 1 ? 4 < 0 ,因此没有 a 满足上述方程, 即集合 A 不能为单元素集合。 1 (3)由于题意有若 a ∈ A ,则 ∈ A。 1? a 1 1 a ?1 1 因此当 = = 1? ∈ A。 ∈ A 时,可有 1 a a 1? a 1? 1? a
(2)若让集合 A 为单元素集合,必须满足 a = 4. 已知集合 A = x ax2 ? 3x + 2 = 0 ,其中 a 为常数,且 a ∈ R 。 (1)若 A 是空集,求 a 的范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的范围; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围。 【解析】 (1)因为 A 是空集, 则必须要求方程 ax 2 ? 3x + 2 = 0 无实根, 即 Δ = 9 ? 8a < 0 , 9 因此 a > 。 8 A (2)若 中只有一个元素,此时需要讨论 a 是否为 0。 2 当 a = 0 时,方程为 ?3 x + 2 = 0 ,解得 x = ,符合题意; 3 当 a ≠ 0 时,方程为 ax 2 ? 3x + 2 = 0 ,要求 Δ = 9 ? 8a = 0 ,即 a =

{

}

9 。 8

9 综上所述, a = 0 或 。 8 (3)若 A 中至多只有一个元素,即有一个元素,或没有。只要综合(1) (2) 9 的答案即可。故 a 的取值范围是 a = 0 或 a ≥ 。 8

5. 求满足 M ? {a1,a2,a3,a4 } ,且 M ∩ a1 , a2 , a3 = a1 , a2 的集合 M 。 【 {a1 , a2 } 或 {a1 , a2 , a4 }】
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{

} {

}

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【解析】由于 M ∩ a1 , a2 , a3 = a1 , a2 , 则可以推得 M 中必有 a1 , a2 ,没有 a3 。 又有 M ? {a1,a2,a3,a4 } ,则 M = {a1 , a2 } 或 M = {a1 , a2 , a4 } 6. 集合 A = {0, 2, a} , B = 1, a 2 ,若 A U B = {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

{

} {

}

{ }

?a 2 = 16 【解析】∵ A = {0, 2, a} , B = 1, a 2 , A U B = {0,1, 2, 4,16} ∴ ? ∴ a = 4 ? a = 4 ?

{ }

y +1 ? ? 7. 设集合 U = {( x, y ) y = x ? 1} , A = ?( x, y ) = 1? ,则 CU A = ? ? ? ? ? ? x ? ? y +1 ? y +1 ? 【解析】 A = ?( x, y ) = 1? 表示平面上满足直线 = 1的无数点, ? x x ? ?
? ? ? ? ? 其中 x ≠ 0, y ≠ ?1。 ? 又 U = {( x, y) y = x ?1}表示平面上满足直线 y = x ? 1上的全部点, ? 故补集为 {( 0, ?1)},这组有序数对。 ?

8. 已知集合 A = {?2}, B = x x2 + ax + a 2 ? 12 = 0 ,若 A ∩ B = B ,求实数 a 的取 值范围。 ? 【解析】 ①当 B = ? 时, 方程 x 2 + ax + a 2 ? 12 = 0 无解, 解得 a > 4 或 a < ?4 ; ? Δ < 0, ? ? ? ? ②当 B ≠ ? 时,方程 x 2 + ax + a 2 ? 12 = 0 有一个解, Δ = 0 ,同时将 ?2 代入

{

}

x 2 + ax + a 2 ? 12 = 0 ,解得 a = 4 ; ?
? ? ? 综上所述 a 的取值范围为 a ≥ 4 或 a < ?4 。 ? ?

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崔用亮(鲶鱼老师) ,中科院硕士,学而思目标清华北大班主带老师,学而思长期 S 级(顶级)教师,原学而思高 三年级总负责人,学而思高考研究中心成立发起人之一。曾做客新浪、腾讯、搜狐解读高考数学真题及分享高考备考经 验,累计撰写高考专业分析文章 20 余万字。上课激情风趣、条理清晰,用朴素的语言阐释高中数学。鲶鱼老师所带班 级长年有学员候补排队,2013 年秋季创学而思高一两个目标清华北大班候补排队 400 人的记录。 ? ?

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