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2016高中数学联赛模拟卷3


2016 高中数学联赛模拟卷 3
一试
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二试
一、(本题 40 分)

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二、(本题 40 分) 已知 Q 为以 AB 为直径的圆上的一点,Q ≠ A, B,Q 在 AB 上的投影为 H,以 Q 为圆心,QH 为 半径的圆与以 AB 为直径的圆交于点 C、D.证明 CD 平分线段 QH.

Q C S P A M H O

D

B

三、(本题 50 分

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四、(本题 50 分)
设 M 为 n 元 集 , 若 M 有 k 个 不 同 的 子 集 A1 , A2 , ? , A k , 满 足 : 对 于 每 个 i, j ? ?1, 2, ?, k ? ,

Ai ? A j ? ? ,求正整数 k 的最大值.

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二试
五、(本题 40 分)

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六、(本题 40 分) 已知 Q 为以 AB 为直径的圆上的一点,Q ≠ A, B,Q 在 AB 上的投影为 H,以 Q 为圆心,QH 为 半径的圆与以 AB 为直径的圆交于点 C、D.证明 CD 平分线段 QH.
证:设 PCD 和 AB 交点,倍长 HP 到 S,设 O 是 AB 中点. 下证:SH·SO = SA·SB: ∵ PA·PB = PC·PD = PH 2, 1 ∴ SH·SO = SH· ?SA + SB? = PH?PA + PH + PB + PH? 2 = PA·PH + PB·PH + 2PH 2. ∴ SA·SB = ?PA + PH??PB + PH? = PA·PB + PA·PH + PB·PH + PH 2 = 2PH 2 + PH·PA + PH·PB = SH·SO. 设 SQ?是⊙O 切线,Q?H?⊥AB = H?,则 SQ? 2 = SA·SB = SH?·SO = SH·SO. ∴ SH = SH? ? H = H?, Q? = Q. 设 M = QH∩CD,∴ QC = QD∴ QO⊥CD. 又 SQ⊥QO ? SQ∥CD,∴ ∴ M 是 HQ 中点,得证. HM HP 1 = = . HQ SH 2
C S P A M H O B Q D

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七、(本题 50 分

八、(本题 50 分)
设 M 为 n 元 集 , 若 M 有 k 个 不 同 的 子 集 A1 , A2 , ? , A k , 满 足 : 对 于 每 个 i, j ? ?1, 2, ?, k ? ,

Ai ? A j ? ? ,求正整数 k 的最大值.
解:正整数 k 的最大值为 2 n ?1 .
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?1 ? 、先证明,存在 M 的 2
0

n ?1

个子集,两两之交不空;

n ?1 设 M ? ?a1 , a2 ,? , an ? ,而 A1 , A2 , ? , A2n?1 为集合 ?a1 , a2 ,? , an ?1? 的全部 2 个子集,令

Bi ? Ai ? ?an ? , i ? 1, 2,? , 2n ?1 ,则 M 的 2 n ?1 个子集 B1 , B2 , ? , B2n?1 ,两两之交不空;

? 2 ? 、再证,对于 M 的任何 2
0

n ?1

? 1 个子集,其中必有两个子集不相交.

设 B1 , B2 , ? , B2n?1 是 M 的 2

n ?1

个不同 子集,其 中每个皆 含 an ;用 Bi 表示子 集 Bi 在 M 中的补 集,

( B i ? M \ Bi ), i ? 1, 2,? , 2n ?1 ,则对于任意 i ? j , Bi ? B j , Bi ? B j ,并且 Bi ? B j ,
(因前者含 an 而后者不含) ,故 B1 , B2 , ? , B2n?1 , B1 , B 2 , ? , B 2 n?1 为 M 的全部 2 个不同子集,现将上述集 合搭配成为 2
n ?1 n

对: B1 , B1 , B2 , B 2 , ?, B 2n?1 , B 2 n?1 ;

?

??

?

?

?

任取 M 的 2n ?1 ? 1 个子集,必有两个子集属于同一对,则这两个子集不相交.

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