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高中数学选修1-2第一章统计案例测试题带详细解答


选修 1-2 第一章、统计案例测试
一、选择题 1.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0 1

1 3
?

2 5
? ?

3 7 )

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点( A.(2,2) B. (1.5 ,4) 【答案】B 【解析】 试题分析:由数据可知 x ?
? ? ?

C.(1.5 ,0)

D.(1,2)

0 ?1? 2 ? 3 1? 3 ? 5 ? 7 ? 1.5 , y ? ? 4 ,∴线性回归方程 4 4

为 y ? b x ? a 必过点(1.5,4) 考点:本题考查了线性回归直线方程的性质 点评:解决此类问题常常用到线性回归直线方程恒过定点 ( x, y ) 这一结论,属基础题 2.年劳动生产率 x (千元)和工人工资 y (元)之间回归方程为 y ? 10 ? 70 x ,这意 味着年劳动生产率每提高 1 千元时,工人工资平均 A.增加 70 元 B.减少 70 元 C.增加 80 元 D.减少 80 元 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意,年劳动生产率 x (千元)和工人工资 y (元)之间回归方程为

y ? 10 ? 70 x ,
故当 x 增加 1 时, y 要增加 70 元, ∴劳动生产率每提高 1 千元时,工资平均提高 70 元, 故A正确. 考点:线性回归方程. 点评: 本题考查线性回归方程的运用,正确理解线性回归方程是关键.

? ? 2 ? 3x ?, 3. 已知某回归方程为:y 则当解释变量增加 1 个单位时, 预报变量平均: ( )
A、增加 3 个单位 【答案】C 【解析】 B、增加

1 个单位 3

C、减少 3 个单位

D、 减少

1 个单位 3

? ,由回归方程知预报变量 y ? 减少 3 个单位 解释变量即回归方程里的自变量 x
4. 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3), (12.5, 4), (13, 5); 变量 U 与

V 相对应的一组数据为(10,5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1), r1 表示变量 Y 与 X 之
间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A. r2 ? r1 ? 0 B. 0 ? r2 ? r1 C. r2 ? 0 ? r1 D. r2 ? r1

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【答案】C 【解析】解:∵变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) , . X =(10+11.3+11.8+12.5+13) ? 5 =11.72 . Y =(1+2+3+4+5) ? 5 =3 ∴这组数据的相关系数是 r=7.2 ? 19.172 =0.3755, 变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) . U =(5+4+3+2+1) ? 5 =3, ∴这组数据的相关系数是-0.3755, ∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零, 故选 C. 5. 统计中有一个非常有用的统计量 k , 用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两 个分类变量有关系”,下表是反映甲、乙两个平行班(甲班 A 老师教, 乙班 B 老师教)进行 某次数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后的 2×2 列联表. 不及格 甲班(A 教) 乙班(B 教) 总计
2
2

及格 36 24 60

总计 40 40 80

4 16 20

根据 k 的值,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为 A.99.5% 【答案】A B.99.9% C.95% D.无充分依据.

k2 ?
【解析】解:k2=

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) =80(4×24-16×36) 2/ 20×60×40×

40 =9.6>7.879 ∴不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为 99.5% 故选 A. 6. 下面是一个 2 ? 2 列联表,则表中 a、b 处的值分别为( y1 x1 x2 总计 a 2 b y2 21 25 46 总计 73 27 100 )

A. 94、96 B. 52、54 C. 52、50 D. 54、52 【答案】B 【解析】解:因为根据表格中的数据可知,2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选 B

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7.右图是 2×2 列联表:则表中 a 、 b 的值分别为

A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 【答案】C 【解析】a=73-21=52 b=a+22=52+22=74 故选 C

8. 统计中有一个非常有用的统计量 k 2 , 用它的大小可以确定在多大程度上可以认为 “两 个分类变量有关系” ,下表是反映甲、乙两个班级进行数学考试,按学生考试及格与不 及格统计成绩后的 2×2 列联表. 不及格 甲班 乙班 总计 则 k 的值为( ) A.0.559 【答案】A 【解析】 ? ?
2
2

及格 33 36 69

总计 45 45 90

12 9 21

B.0.456

C.0.443

D.0.4

90(12 ? 36 ? 33 ? 9) 2 90 ? ? 0.559 ,故选 A。 45 ? 45 ? 21? 69 161

9.若有 99% 的把握说事件 A 与事件 B 有关,那么具体算出的 ? 一定满足(
2



A.? ? 10.828
2

B.? ? 10.828
2

C.? ? 6.635
2

D.? ? 6.635
2

【答案】C 【解析】在临界值表中 P( ? ? 6.635) ? 0.010 ,此临界值说明在假设事件 A 与事件 B
2

无关的前提下, ? 的观测值大于 6.635 的概率接近 0.010,是小概率事件;如果在假设
2

事件 A 与事件 B 无关的前提下, 计算出的 ? >6.635,说明小概率事件发生了, 即说事件 A
2

与事件 B 有关犯错的概率不超过 0.010, 也就是说有 99﹪的把握事件 A 与事件 B 有关。 故选 C 10.下面关于卡方说法正确的是( ) 2 A.K 在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 2 B.K 的值越大,两个事件的相关性就越大 2 2 C.K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量, 当 K 的值很小时可以推定两类变量 不相关

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D.K 的观测值的计算公式是 K ?
2

2

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【答案】B 【解析】 K 只适用于 2×2 型列联表问题,且 K 只能推定两个分类变量相关的大小, 所以 A 错;
2 2

K 2 的值很小时,只能说两个变量的相关程度低,不能推定两个变量不相关.所以 C 错;

n(ad ? bc)2 选项 D 中 K ? ,所以 D 错。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

故选 B 二、填空题 11.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查, 得到了如下 2 ? 2 列联表 喜爱打篮球 男生 女生 合计 则至少有 附K ?
2

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).

n(ad ? bc )2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

p( K 2 ? k0 )
k0

【答案】99.5% 【解析】解:根据所给的列联表, 2 2 得到 k =50(20×15-10×5) ? (30×20×25×25) =8.333>7.879, ∴至少有 99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关. 故答案为:99.5% 12.为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了 下表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 P(K ≥k0) k0
2

不喜爱打篮球 5 15[ 20 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

合计 25 25 50 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 %

20 10 30 0.15 2.072

下面的临界值表供参考:

则根据以下参考公式可得随机变量 K2 的值为

(保留三位小数),有

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的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(参考公式:K2= 中 n=a+b+c+d) 【 答 案 】 8.333
2

n(ad ? bc)? ,其 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

99.5 %.

【解析】 根据公式 k ?

50(20 ?15 ? 5 ?10)2 ? 8.333 ? 7.879 ,所以有 99.5%的把握认为 25 ? 20 ? 25 ? 30

喜爱打蓝球与性别有关. 13.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据: 父亲身高 x (cm) 儿子身高 y (cm) 173 170 170 176 176 182

因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高 为 .

? ?bx?a , 参考公式: 回归直线的方程是: y

?

?

其中 b ?

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1
3

, a ? y ? b x ;其中 yi 是与 x i 对应的回归估计值.

?

?

? x)2
3

参考数据:

? (x
i ?1

i

? x ) 2 ? 18 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? 18 .
i ?1

【答案】185cm 【解析】由题可得(173,170),(170,176), (176,182) 求得 x =173, y =176,代入线性回归方程得,b=1,a=3 所以 Y=X+3,当 X=182 时,Y=185 即他孙子的身高是 185 厘米 14.经过对卡方 X 统计量分布的研究,已经得到两个临界值,当根据具体的数据算出 2 的 X >6.635 时,有______ 的把握说事件 A 和 B 有关。 【答案】99% 【解析】当 ? 2 >6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关
2

15.为研究某新药的疗效,给 50 名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数据: 无效 男性患者 女性患者 总计 15 6 21 有效 35 44 79
2

总计 50 50 100

设 H0: 服用此药的效果与患者的性别无关, 则 K 的观测值 k≈________, 从而得出结论: 服用此药的效果与患者的性别有关,这种判断出错的可能性为________.

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【答案】4.882,5%

100(15 ? 44 ? 35 ? 6) 2 ? 4.882 ,因为 3.841 ? 4.882 ? 0.025 。所以这 【解析】 ? ? 50 ? 50 ? 21? 79
2

种判断出错的可能性为 0.05,即 5% 16.吃零食是中学生中普遍存在的现象.吃零食对学生身体发育有诸多不利影响,影响 学生的健康成长.下表给出性别与吃零食的列联表 男 喜欢吃零食 不喜欢吃零食 合计 女 5 40 45 总计 12 28 40 17 68 85

试回答吃零食与性别有关系吗?(答有或没有)____________. 【答案】有 【解析】 ? ?
2

85(5 ? 28 ? 12 ? 40) 2 ? 4.722 ,则吃零食和性别有关系的概率为 95%, 17 ? 68 ? 45 ? 40

所以两者有关系 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 甲乙两个班级进行一门课程的考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到 如下的列联表: 班级与成绩列联表 优 秀 甲 班 乙 班 10 7 不优秀 35 38

根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为成绩与班级 有关系? 附:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(K 2 ? k0 )
k0

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【答案】在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为成绩与班级有关系。 【解析】本试题主要是考查了独立性检验的思想的运用,求解分类变量的相关性问题的

n(ad ? bc)2 判定。 只要将已知的数据代入到关系式 K ? 中计算并比较列 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

表中的数据可得结论。

解:依题意得:a ? 10, b ? 35, c ? 7, d ? 38 a ? b ? 45, a ? c ? 17, c ? d ? 45, b ? d ? 73, n ? 90

90 ? (38 ? 10 ? 35 ? 7) 2 ? 0.653<6.635, 因为 k ? 17 ? 45 ? 73 ? 45
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为成绩与班级有关系。 18.(本小题满分 12 分) 某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取 20 名学生, 其中 8 名女生中有 3 名报考理科,男生中有 2 名报考文科 (1)是根据以上信息,写出 2 ? 2 列联表 (2) 用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别 有关?参考公式 K =
2

n(ad ? bc)2 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )
0.10 2.71 0.05 3.84 0.025 5.02 0.010 6.64 0.005 7.88 0.001 10.83

p( K 2 ? k0 )
k0

0.15 2.07

【答案】 (1) 男生 报考理科 报考文科 总计 10 2 12 女生 3 5 8 总计 13 7 20

(2) p( K 2 ? 3.84) ? 0.05 ,所以我们有 95% 把握认为该中学的高三学生选报文理科 与性别有关 【 解 析 】 (I) 写 列 联 表 要 注 意 格 式 , 是 2 ? 2 列联表. (2) 利用公式 k0 =

n(ad ? bc)2 20(50 ? 6)2 ? ? 4.432 , 然后与提供的 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 12 ? 8 ?13 ? 7

数据表对照估计出把文理科与性别存在相关关系的可信度.
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解: (1) 男生 报考理科 报考文科 总计 10 2 12 女生 3 5 8 总计 13 7 20

(2) 假设 H 0 :报考文理科与性别无关. 则 K 的估计值 k0 =
2

n(ad ? bc)2 20(50 ? 6)2 ? ? 4.432 (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 12 ? 8 ?13 ? 7

因为 p( K 2 ? 3.84) ? 0.05 ,所以我们有 95% 把握认为该中学的高三学生选报文理科与 性别有关 19. (12 分)某校在两个班进行教学方式对比试验,两个月后进行了一次检测,试验班 与对照班成绩统计如 2 ? 2 列联表所示(单位:人) . 80 及 80 分以上 试验班 对照班 合计 35 20 55 80 分 以 下 15 合计 50 50

m
45

n

(1)求 m , n ; (2)你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”? 参考公式及数据:

n(ad ? bc)2 , K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量.
P( K 2 ? k )

? ?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

? ?

k

【答案】 解:⑴ m ? 45 ? 15 ? 30 , n ? 50 ? 50 ? 100 . ⑵有 99.5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系. 【解析】第一问中利用 2 ? 2 列联表求解 m ? 45 ? 15 ? 30 ,
2

n ? 50 ? 50 ? 100

100 ? (35 ? 30 ? 15 ? 20)2 2 第二问中,利用 K ? ,得到值因为 K ? 7.879 , 50 ? 50 ? 55 ? 45
从而说明有 99.5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系
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解:⑴ m ? 45 ? 15 ? 30 , ???????????2 分 n ? 50 ? 50 ? 100 . ????????????4 分

100 ? (35 ? 30 ? 15 ? 20)2 ⑵K ? ?????????? 8 分 50 ? 50 ? 55 ? 45
2

? 9.091 ??????????????????? 9 分
因为 K 2 ? 7.879 , 所以 P ? 0.005 ?????????? 11 分 所以有 99.5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系.?????12 分 20. (本小题满分 12 分) 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,调查了 105 个样本,统计结果为:服 用药的共有 55 个样本,服用药但患病的仍有 10 个样本,没有服用药且未患病的有 30 个样本.(1)根据所给样本数据画出 2×2 列联表; (2)请问能有多大把握认为药物有 效?

【答案】 (1) 服药 患病 未患病 合计 10 20 30 未服药 45 30 75 合计 55 50 105 (2) 这种判断出错 的可能性不超过 5%

【解析】 根据题意,列出服用药的共有 55 个样本,则未服药的 50 个样本,服用药但未患病的有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 30 个样本,列出 2×2 列联表; 求出 ? ?
2

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45)2 336 ? ? 6.109 ? 3.841 ,记忆卡方范围,得出判 30 ? 75 ? 55 ? 50 55

断。 解:(1)根据所给样本数据可画出 2×2 列联表如下: 服药 患病 未患病 合计 10 20 30 未服药 45 30 75
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合计 55 50 105

.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (2)将表中数据代入公式,得到

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45)2 336 ? ? ? ? 6.109 ? 3.841 。 。 。 。 。 。10 分 30 ? 75 ? 55 ? 50 55
2

因为 ? 2 ? 3.841 ,所以有 95%以上的把握认为药物有效, 即这种判断出错的可能性不超过 5%.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 21.对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表: 有心理障碍 女生 男生 总计 20 10 70 没有心理障碍 总计 30 80 110

将表格填写完整,试说明心理障碍与性别的关系? 附: K ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3. 841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k ) 0.15

k

2.072

【答案】 有心理障碍 女生 男生 总计 10 10 20 没有心理障碍] 20 70 90 总计 30 80 110

有 97.5% 的把握认为心理障碍与性别有关. 【解析】本试题主要考查了独立性检验的运用。 解: 有心理障碍 女生 男生 总计 10 10 20 没有心理障碍] 20 70 90 总计 30 80 110

k?

110? (10? 70 ? 20? 10) 2 ? 6.366 ? 5.024 ; 30? 80? 20? 90

所以有 97.5% 的把握认为心理障碍与性别有关,
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22.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男 生身高情况的频率分布直方图 (图 (1) 和女生身高情况的频率分布直方图 (图 (2) ) . 已 知图(1)中身高在 170~175cm 的男生人数有 16 人。

(I)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (II)根据频率分布直方图,完成下列的 2×2 列联表,并判断能有多大(百分几) 的把握认为“身高与性别有关”?

(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样 的方法,抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率。 参考公式:

参考数据:

6 3 ? . 10 5 【解析】 (1)由频率分布直方图先得身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 ;
【答案】 (1)40,40; (2)能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; (3) (2) K ?
2

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ; (3)古典概型. 40 ? 40 ? 34 ? 46

解: (Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 , 设男生数为 n1 ,则 0.4 ?

16 ,得 n1 ? 40 .???????????????4 分 n1

由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40. (Ⅱ) 男生身高 ? 170 cm 的人数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 40 ? 30, 女生身高
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? 170 cm 的人数 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 ,所以可得到下列二列联表:

≥170cm <170cm 男生身高 30 女生身高 4 总计 34 10 36 46

总计 40 40 80

????????????????6 分

K2 ?

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ,?????????????7 分 40 ? 40 ? 34 ? 46

所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; ?????????????8 分 (Ⅲ)在 170~175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 4 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. ?????????9 分 设男生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,女生为 B . 从 5 人 任 选 3 名

有: ( A 1, A 2, A 3 ), ( A 1, A 2 , A4 ), ( A 1 , A2 , B), ( A 1, A 3, A 4 ), ( A 1, A 3 , B), ( A 1 , A4 , B),

( A2 , A3 , A4 ), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B) ,共 10 种可能, ??10 分
3 人 中 恰 好 有 一 名 女 生

有 : ( A1 , A2 , B), ( A1 , A3 , B), ( A1 , A4 , B), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B), 共 6 种可 能, 故所求概率为 ?????????11 分

6 3 ? . 10 5

????????????????12 分

23.第 11 届全国人大五次会议于 2012 年 3 月 5 日至 3 月 14 日在北京召开,为了搞好 对外宣传工作,会务组选聘了 16 名男记者和 14 名记者担任对外翻译工作,调查发现, 男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语。 (I)根据以上数据完成以下 2X2 列联表:

并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关?

(II)会俄语的 6 名女记者中有 4 人曾在俄罗斯工作过,若从会俄语的 6 名女记者中随
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机抽 取 2 人做同声翻译,则抽出的 2 人都在俄罗斯工作过的概率是多少?

【答案】 解: (Ⅰ)如下表: 会俄语 男 女 总计 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30 ???3 分 假设:是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2 K ? ? 1.1575 ? 2.706 . (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)
2

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关. ??6 分 (Ⅱ) 会俄语的 6 名女记者, 分别设为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 曾在俄罗斯工作过. 则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD, BE,BF,CD,CE, CF,DE, DF,EF 共 15 种, ???9 分 其中 2 人都在俄罗斯工作过的是 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种, ???11 分 所以抽出的女记者中,2 人都在俄罗斯工作过的概率是 P= 【解析】略

6 2 ? . 15 5

???12 分

试卷第 13 页,总 15 页

24.某高校“统计初步”课程教师随机调查了选该课的一些学生情况,共调查了 50 人, 其中女生 27 人,男生 23 人。女生中有 20 人选统计专业。另外 7 人选非统计专业;男 生中中有 10 人统计专业,另外,13 人选非统计专业。 (1)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计 (2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为主修统计专业 与性别有关系? 非统计 专业 统计专业 总计

【答案】(1) 列联表见解析 (2)能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,有 95%认为主修统计专业与性别有关 系 【解析】本试题主要是考查了独立性检验的思想在实际中的运用。根据已知的列联表中 的数据得到 a,b,c,d,然后代入公式 k = 的结果 P(k ? 3.841) ? 0.05
2 2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.8443 ? 3.841 得到 23 ? 27 ? 20 ? 30

可知犯错率,得到结论。 解:(1)根据以上数据完成下列的 2×2 列联表 专业 性别 男 女 总计 非统计 专业 13 7 20 统计专业 10 20 30 总计 23 27 50

??6 分 (2)根据列联表中的数据,得到观测值 k=
2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.8443 ? 3.841 23 ? 27 ? 20 ? 30

????10 分

试卷第 14 页,总 15 页

P(k ? 3.841) ? 0.05
2

答:在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,有 95%认为主修统计专业与性别有关系 12 分 25. (本小题共 13 分) 某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问卷进行统 计,得到相关的数据如下表:

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求 恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率。

【答案】 (1)节能意识强弱与年龄有关; (2)280 人; (3) P ( A) ?

4 2 ? . 10 5

【解析】解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人 节能意识强,

9 36 与 相差较大??1 分,所以节能意识强弱与年龄有关??3 分 54 46

(2)年龄大于 50 岁的有

36 ? 350 ? 280 (人)??6 分(列式 2 分,结果 1 分) 45 9 ? 1 (人)??8 分, 45

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ?

年龄大于 50 岁的 4 人??8 分,记这 5 人分别为 A,B1,B2,B3,B4。 从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法?9 分,完全正确列举?10 分,设 A 表 示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁” ,则 A 中的基本事件有 4 种:完全正确列举?11 分,故所求概率为 P ( A) ?

4 2 ? ??13 分 10 5

试卷第 15 页,总 15 页


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