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分类和分步计数原理


分类计数原理与分步计数原理
一、分类加法计数原理:完成一件事情可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类 办 法 中 有 m2 种 不 同 的 方 法 , ? ? , 在 第 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 那 么 完 成 这 件 事 共 有
王新敞
奎屯 新疆

N ? m1 ? m

2 ?

? mn 种不同的方法

王新敞
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注:在分类计数原理中,n 类办法中相互独立,无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例 1. 一个书包内有 7 本不同的小说,另一个书包内有 5 本不同的教科书,从两个书包中任取一本书的取法 有多少种? 例 2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个?(合理分类) 二、分步乘法计数原理:完成一件事情需要 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种 不同的办法??, 做第 n 步有 mn 种不同的办法, 那么完成这件事共有 N 种不同的方法.N= m1 ? m2 ? ?? mn 注:分步计数原理各步骤相互依存,只有各步骤都完成才能做完这件事. 例 1. 用 0,1,2,3,4 排成可以重复的 5 位数,若中间的三位数字各不相同,首末两位数字相同,这样的 5 位数共有多少个? 例 2. (1)8 本不同的书,任选 3 本分给 3 个同学,每人一本有多少种不同的分法? (2) 若将 4 封信投入 3 个邮筒, 有多少种不同的投法?若 3 位旅客到 4 个旅馆住宿, 又是多少种住宿方法? 例 3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域,要求相邻的区域不同色,问有多少种不同的涂色 方法?

A B C D

变式训练:1、如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域

不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有多少种? 2、如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要求相邻的矩形涂色不 同,则不同的涂法有多少种?

三、计数原理综合应用
作用:计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 区别:一个与分类有关,一个与分步有关;加法原理是“分类完成” ,乘法原理是“分步完成” 方法: (1)列举数数法:就是完成一件事方法不是很多,一一列举出来,然后一种一种地数,这种方 法适用于:数目较少的问题. (2)字典排序法:把所有的字母或数字或其它,按照顺序依次排出来,所有的字母或数字或其它排完 后结束.
王新敞
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(3)模型法:根据题意构建相关的图形,利用图形构建两个原理的模型.

典型例题分析(先分类再分步.) 【例 1】 一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? (2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 变式训练 1 在夏季,一个女孩有红、绿、黄、白 4 件上衣,红、绿、黄、白、黑 5 条裙子,3 双不同鞋子, 3 双不同丝袜,这位女孩夏季某一天去学校上学,有多少种不同的穿法? 变式训练 2 有不同的中文书 7 本,不同的英文书 5 本,不同的法文书 3 本,若从中选出不属于同一种文字 的 2 本书,共有多少种选法? 【例 2】 有四位同学参加三项不同的竞赛. (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛,有多少种不同结果? (2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同结果? 变式训练 1 火车上有十名乘客,沿途有五个车站,乘客下车的可能方式有多少种? 变式训练 2 有 4 种不同溶液倒入 5 只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同 倒法? 【例 3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲 信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中 各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? 【例 4】a, b, c, d 排成一行, 其中 a 不排第一, b 不排第二, c 不排第三, d 不排第四的不同排法共有多少种?

【例 5】 甲、乙、丙、丁 4 个人各写 1 张贺卡,放在一起,再各取 1 张不是自己所写的贺卡,共有多少种 不同取法? 变式训练 1 甲、乙、丙、丁 4 个人各写 1 张贺卡,放在一起,各取 1 张,其中甲、乙、丙不能取自己所写 的贺卡,共有多少种不同取法? 变式训练 2 设有编号①,②,③,④,⑤的 5 个球和编号为 1,2,3,4,5 的 5 个盒子,现将这 5 个球投 入这 5 个盒子内,要求每个盒子内投入一个球,并且恰好有 2 个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投 放方法总数为多少

【例 6】某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如下图).现要栽种 4 种不同颜色的花,每 部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____________种.(以数字作答)

5 1 6 2 3 4

四、课堂练习
1. 一个学生从 3 本不同的科技书、4 本不同的文艺书、5 本不同的外语书中任选一本阅读,不同的选法有 _______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种

2. 一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有______种 不同的选法.

3. 一商场有 3 个大门,商场内有 2 个楼梯,顾客从商场外到二楼的走法有__________种.

4. 从分别写有 1,2,3,??,9 的九张数字卡片中,抽出两张数字和为奇数的卡片,共有_______种不同 的抽法.

5.从 0,1,2,?,9 这十个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法有______种。

6.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了 2 个新节目,如果将这 2 个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为________
7. 3 个元素的集合到 4 个元素的集合的不同的映射有_________个.

8.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不能在本 班监考,则监考的方法有________

9.三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是________

10.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班 级要去,则不同的分配方案有________.

11.用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位,十位和百位上的数字之和 为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 12.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去任村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有 (用数字作答) 种

13. 从 0,1,2,??,9 这十个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法有_______种.

14.有 0,1,2,?,8 这 9 个数字. (1)用这 9 个数字组成四位数,共有多少个不同的四位数? (2) 用这 9 个数字组成四位的密码,共有多少个这样的密码?

15. 如图是广场中心的一个大花坛,国庆期间要在 A、B、C、D 四个区域摆放鲜花,有 4 种不同颜色的鲜 花可供选择,规定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花,相邻区域鲜花颜色不同,问共有多少种不同的摆花 方案?

16.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形,使得任意相邻(有 公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1、5、9 的小正方形涂相同的颜色,则符合 条件的所有涂法共有多少种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

17 .书架的第一层放有 4 本不同的计算机书, 第二层放有 3 本不同的文艺书, 第 3 层放有 2 本不同的体育书. (1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法?

18.现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每个人都可以值多天班 或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?

19. 一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字,这 4 个拨号盘可以组成多少个四位 数字的号码?

五、课后作业
1. 一个书包内装有 5 本不同的小说,另一书包内有 6 本不同学科的教材,从两个书包中任取一本书的取法 共有 ( ) A.5 种 B.6 种 C.11 种 D.30 种 2.教学大楼共有 4 层,每层都有东西两个楼梯,由一层到 4 层共有( )种走法? 3 2 A.6 B.2 C.4 D.24 3.某学校高一年级共 8 个班,高二年级 6 个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,共有( ) 种安排方法 A .8 B.6 C.14 D.48 4.将三封信投入三个信箱,可能的投放方法共有( )种 A.1 种 B.6 C.9 D.27 5.已知 x∈{1,2,3,4} ,y∈{5,6,7,8} ,则 xy 可表示的不同值的个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.15 6.10 个苹果分成三堆,每堆至少 2 个,共有( )种分法 A.64 种 B.16 种 C.4 种 D.1 种 7.异面直线 l1、l2,l1 上有 5 个不同点,l2 上有 4 个不同的点,一共可组成直线( )条 A.9 条 B.9 条 C.22 D.20 条 8.在六棱锥各棱所在的 12 条直线中,异面直线共( )对 A.12 B.24 C.36 D.48 9.若整数 x、y 满足 |x|<4,|y|<5,则(x,y)为坐标的点共 个 2 2 2 10. a∈ {1, 2, 3} , b∈ {4, 5, 6} , r∈ {9, 16, 25} ,则方程(x-a) +(y-b) =r 所表示的不同圆共有 个。 11.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有 项. 12.若集合 A={a1,a2,a3,a4,a5} ,B={b1,b2}, 从集合 A 到集合 B,可建立 个不同的映射,从B 到A 可 建立 个不同的映射。 A B 13.如右图,从 A 到 B 共有 条不同的线路可通电。 14. (1)若 1≤x≤4,1≤y≤5,则以有序整数对(x、y)为坐标的点共有多少个? (2)若 x,y∈N 且 x+y≤6,则有序自然数对有多少个?

15.某座四层大楼共有三个大门,楼内有两个楼梯,那么由楼外到这座楼内的第四层的不同走法种数有多 少?

16.设椭圆的方程为

x2 y2 ? =1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4,5},这样的椭圆共有多少个? a2 b2


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