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指数与指数幂的运算2.1.1高一新课教案


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未名教育
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年级

学科教案
授课日期:

2.1.1 指数与指数幂的运算
教学目标:(1)掌握根式的概念;
(2)规定分数指数幂的意义; (3)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (4)理解有理指数幂的含义及其运算性质; (5)了解无理数指数幂的意义

教学重难点:1.分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质
2.根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂.

教学内容:

一、引入
1.由实例引入,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性; 2.复习初中整数指数幂的运算性质;
a
m

?a ? a
n

m?n

, (a ) ? a
m n

mn

, (ab) ? a b
n n

n

3.初中根式的概念; 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根,如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方 根; 指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万? 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8 次) 计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,问对折后的面积与厚度? ②问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年 后 GDP 为 2000 年的多少倍? 问题 2. 生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时碳 1 的 关系为 P ? ( ) 5 7 3 0 . 探究该式意义?
2 1
t

③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

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二、2.1.1 指数与指数幂的运算
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念: ( ? 2 ) 2 ? 4 , ? 2 就叫 4 的平方根; 3 3 ? 2 7 ,3 就叫 27 的立方根. 探究: ( ? 3) 4 ? 8 1 , ? 3 就叫做 8 1 的?次方根, 依此类推,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ? ? 简记: n a . 记: x ?
n

例如: 2 3 ? 8 ,则 3 8 ? 2
3

③ 讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如:
a

27 ? 3

, 3 ?27 ? ?3 ,

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: ( ? 3) 4 ? 8 1 , 8 1 的 4 次方根就是 ? 3 , 记: ? n a 强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. ④ 练习: b ? a ,则 a 的 4 次方根为
4 3
n

0 ?0

; b ? a , 则 a 的 3 次方根为
n n

.

⑤ 定义根式: a 的式子就叫做根式 像 (radical) 这里 n 叫做根指数 , (radical exponent) a 叫做被开方数 , (radicand) .
n

⑥ 计算 ( 2 3 ) 2 、 3 4 3 、 n ( ? 2 ) n → 探究: ( n a ) n 、 a 的意义及结果? (特殊到一般) 结论: ( n a ) n ? a . 当 n 是奇数时, a 2、例题讲解 P5O 例题 1 (二) 、分数指数幂及其运算 1.正数的分数指数幂的意义
m

n

n

? a ;当 n 是偶数时,

n

a

n

?a ? | a |? ? ??a

(a ? 0) (a ? 0)

规定: a

n

?
? m n

n

a
?

m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*

a

1
m

?
n

1 a
m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*

a

n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质 也同样可以推广到有理数指数幂. 2.有理、无理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r
r r?s

(a ? 0, r , s ? Q ) ; (a ? 0, r , s ? Q ) ;

(2) ( a ) ? a
r s r

rs

(3) ( ab ) ? a a
r

s

(a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) .

2. 例题讲解: (1)(P51,例 2) 、 (2)(P51,例 3) 、

四、教学小结
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1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N ,则 x 是 a的 n 次 方 根 , n 为 奇 数 时 , x = n a ,
*

n 为偶数时, x ? ?

n

a ;
n n n

2.掌握两个公式: n 为 奇 数 时 , ( n a ) , n 为 偶 数 时 , a ? | a | ? ?

?a

(a ? 0)

? ? a (a ? 0)

3.分数指数是根式的另一种写法. 4.无理数指数幂表示一个确定的实数. 5.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.

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