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4.6.1两角和与差的正弦余弦正切2014.3.11


学习目标:
1.了解平面上的两点间距离公式,并能运用两 点间距离公式推导两角和与差的余弦公式. 2.初步理解解析法解决问题的方法,培养学生 运用数学工具在实践中探索知识进而获取 知识的能力. 3.培养探索和创新的能力和意识.

两角和与差的余弦

预备知识

两点间的距离公式
设直角坐标平面内的任意两点 P1 ? x1,y1 ?、P2 ? x 2,y 2 ?,则
M1
2

y
N2

P2

P1 P2 ?

?x 2 - x1 ?

2

? ?y 2 - y 1 ?

o
N1

M2

x

P1

Q

两角和与差的余弦

预备知识

三角函数单位圆定义

(x,y) (cos? ,

sin ? )

x ? cos? y ? sin ?

P1 P2 ?

?x 2 - x1 ?2 ? ?y 2 - y 1 ?2

|P1P3|=|P2P4|
|P 1P 3 |? | P2 P4 |?

?cos(? ? ? ) ? 1?2 ? ?sin(? ? ? ) ? 0?2 ?cos? ? cos(? ? ) ?2 ? ?sin ? ? sin(? ? ) ?2
(cos( ? ? ? ), sin(? ? ? )) P3
y

P2 (cos? , sin ? )

?cos? ? cos(? ? ) ?2 ? ?sin ? ? sin(? ? ) ?2 2 2 ? ?cos(? ? ? ) ? 1? ? ?sin(? ? ? ) ? 0 ?

β α

α+β

O



x P1 (1,0)

整理得 : cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

P4 (cos(? ? ), sin(? ? ))

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
公式的结构特征: (1)左边是复角α+β的余弦,右边是单角 α、β的余弦积与正弦积的差. (2) α、β 是任意角.

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
在上式中,若将β替换成-β,则可得:

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
例1:计算
(1) cos 75 ? ( 2) cos15 ? 3 ? 3 (3) cos cos ? ? sin sin ? 5 10 5 10 ? ? ? ? (4) cos80 cos 20 ? cos10 sin 20
(5) cos2 15 ? ? sin 2 15 ?

?

[公式C(? ? ? ) ] : cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? [公式C(? ? ? ) ] : cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

解: (1)cos 75° = cos (45°+ 30°)
= cos45°cos 30°- sin45°sin30°
? 2 ? 3 ? 2 ?1 2 2 2 2
? 6? 2 . 4 °

(2)cos 15°

= cos (45 - 30°) = cos45°cos 30°+ sin45°sin30° ? 2 ? 3 ? 2 ?1 2 2 2 2
? 6? 2 . 4

[公式C(? ? ? ) ] : cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? [公式C(? ? ? ) ] : cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

?3?

3 ? 3 cos cos ? ? sin sin ? 5 10 5 10 ?? 3 ? ? cos? ? ? ? ? 5 10 ?

?

? cos
?0

?

2

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
(4) cos80 ? cos 20 ? ? cos10 ? sin 20 ?
? cos80 ? cos 20 ? ? sin 80 ? sin 20 ?

? cos(80 ? ? 20 ? ) ? cos 60 ? 1 ? 2

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
(5)cos215°- sin215°
2 , ∵ cos 15° = cos (45°- 30°) ? 6 ? 4 ∵ sin 15°= cos 75°? 6 ? 2 ,

∴ cos215°- sin215° ? ( 6 ? 2 )2 ? ( 6 ? 2 )2 ? 3 . 2 4 4 cos215°- sin215°= cos15°cos15° - sin15°sin15° = cos(15°+15°) = cos30°

4

4 ? 5 例2 已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ?是第三象限角, 5 2 13 求 cos( ? ? ? )的值
4 ? ? sin ? ? , ? ? ( ,? ) 解: 5 2
2

3 4 2 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ) ? ? ; 5 5 5 又 cos ? ? ? ,?是第三象限角, 13 5 2 ? ? 12 ; 2 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) 13 13

? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
3 5 4 12 ? (? )( ? ) ? (? ) 5 13 5 13
33 ?? . 65
练习

1 ? 0 0 0 0 练习: 1. cos175 cos55 ? sin175 sin 55 ? 2

2. cos( ? ? 210 ) cos( ? ? 24 0 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 24 0 ) ?

2 2

3. sin x sin(x ? y) ? cos x cos(x ? y) ? - cosy

练习:

15 ? 4、已知sin ? ? ,?是第二象限角,求cos( ? ? )的值 17 3
2 3? 3 3? 5、已知 sin ? ? ? , ? ? (? , ), cos ? ? , ? ? ( ,2? ), 3 2 4 2 求 cos(? ? ? )的值
收获

思考

思考:
在△ABC中,如果cosAcosB>sinAsinB, 则这个三角形的形状是 钝角三角形

解:∵ cosAcosB-sinAsinB = cos(A+B) >0 又 A+B+C=180° ∴ cos(A+B)= cos(180°-C) =-cosC >0
∴ cosC < 0

?C ? ( , ? ) 2

?

谈谈本节课你的收获!

【课堂小结】 1.两角和与差的余弦公式:

cos(?+? ) ? cos ? cos ?-sin ? sin ? cos(?-? ) ? cos ? cos ?+sin ? sin ?
2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化 简三角函数式。使用公式时要灵活使用, 并要注意公式的逆向使用,符号判断、角的 变形.

教材:137页, 1(1)(3),2,3,4,8


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