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6.3安培环路定理


6.3 安培环路定理 6.3.1 安培环路定理的表述 6.3.2 用安培环路定理求磁场

6.3.1 安培环路定理的表述 在稳恒磁场中, 在稳恒磁场中,磁感应强度 B 沿任一闭合 回路的环流, 回路的环流 , 等于通过以该回路为边界的任一 曲面的所有电流的代数和的 ? 0 倍: r r ∫ B ? dl = ? 0 ∑ I i
L (L内)

/>
的环绕方向进行。 积分沿闭合回路 L 的环绕方向进行。 I 的符号 : 当 I的方向与回路 的绕向服从右 的符号: 的方向与回路 的方向与回路L的绕向服从右 手螺旋定则时, 取正号;反之, 取负号。 手螺旋定则时,I 取正号;反之,I 取负号。 由安培环路定理可知,磁场是有旋场,磁感 由安培环路定理可知, 磁场是有旋场, 应线闭合。 应线闭合。

安培环路定理可用毕奥? 安培环路定理可用毕奥 ? 萨伐尔定律严格证 我们用长直电流的特例来验证。 明,我们用长直电流的特例来验证。 闭合回路L包围长直电流的情况 包围长直电流的情况: 闭合回路 包围长直电流的情况: r r ?0 I r B ? dl = dl cos θ 2πr ?0 I ?0 I rd? = d? = 2πr 2π 沿闭合回路 L 作积分

r r ?0 I ∫LB ? dl = 2π

∫ d? = ? I
L 0

??当 包围电流 包围电流I时 ??当L包围电流 时,B沿L的环流等于?0 I。 沿 的环流等于 。

不包围长直电流的情况: 闭合回路 L 不包围长直电流的情况: dl1对应 ?,dl2对应 ?d? 对应d

r r ?0 I B ? dl = d? 2π
所以,B1?dl1 与 B2?dl2 的 所以, 大小相等、符号相反。 大小相等、符号相反。

r r r r r r ∫ B ? dl = ∫ B1 ? dl1 + ∫ B2 ? dl2 = 0
L L1 L2

?? B的环流与回路外的电流无关 的环流与回路外的电流无关

由以上结果和磁场叠加原理可知, 由以上结果和磁场叠加原理可知, 当存在若 干个长直电流时,安培环路定理成立。 干个长直电流时,安培环路定理成立。 至此, 至此,我们得到真空中稳恒磁场所满足的两 个基本方程: 个基本方程:
r r 磁通连续定理) ∫ B ? dS = 0 (磁通连续定理)
S

r r ∫ B ? dl = ? 0
L

∑I

i

(L内)

(安培环路定理,稳恒磁场) 安培环路定理,稳恒磁场) 磁场是无源、有旋场, ?? 磁场是无源、有旋场,磁感应线闭合

【例6.4】如图所示,当只有电流I1时,计算B 】如图所示,当只有电流 计算 沿回路L的环流 然后依次加入电流I 的环流。 沿回路 的环流 。 然后依次加入电流 2 , I3 和 I4 , 沿回路L的环流 的环流。 再计算 B 沿回路 的环流。 解 (1)只有电流 I1 ) r r ∫ B ? dl = ? 0 I 1
L

(2)I2 穿过回路两次,符号相反 ) 穿过回路两次, r r ∫LB ? dl = ?0 I1 r r (3)I3 符号为负,∫ B ? dl = ?0 ( I1 ? I3 ) ) 符号为负, L r r (4)I4 穿过两次,符号相同,∫ B? dl = ?0(I1 ? I3 + 2I4 ) ) 穿过两次,符号相同,
L

6.3.2 用安培环路定理求磁场 给定电流分布, 由毕奥? 给定电流分布 , 由毕奥 ? 萨伐尔定律和磁场 叠加原理可以求空间各点的磁场, 叠加原理可以求空间各点的磁场 , 但计算往往 比较复杂。 比较复杂。 当电流分布具有充分的对称性时, 当电流分布具有充分的对称性时,恰当地选 取积分回路, 可用安培环路定理简单地求磁场。 取积分回路 , 可用安培环路定理简单地求磁场 。 【例6.5】求无限长载流直导线的磁场分布。 】求无限长载流直导线的磁场分布。 导线的半径为 R,电流 I 在导线横截面上均匀 , 流过。 流过。

解 磁场分布轴对称性 导线内部磁场: 导线内部磁场: 积分回路包围的电流: 积分回路包围的电流:
I Ir 2 i= πr = 2 2 πR R
2

按照安培环路定理

2 πrB = ? 0 i =
B=

? 0 Ir
R2

2

?0 Ir
2πR
2

, (r ≤ R)
?0 I
2π r

导线外部磁场: 导线外部磁场:B =

, (r > R)

【 例 6.6】 求载流密绕长直螺线管内磁场分布 。 】 求载流密绕长直螺线管内磁场分布。 螺线管单位长度上导线的匝数为n,每匝电流为I。 螺线管单位长度上导线的匝数为 ,每匝电流为 。 解 密绕长直螺线管可以 看成无漏磁理想螺线管, 看成无漏磁理想螺线管,管 内的磁感应线平行于轴线。 内的磁感应线平行于轴线。 管外磁场比管内磁场弱的得 可以忽略。 多,可以忽略。 按照安培环路定理: 按照安培环路定理: B ab = ?0 ab nI 管内磁场的大小: 管内磁场的大小: B = ? 0 nI 方向用右手定则判定, 方向用右手定则判定,是平行于轴线的匀强 磁场。 磁场。

非密绕螺线管的磁场分布

【 例6.7】求载流密绕螺绕环内的磁场分布。 】 求载流密绕螺绕环内的磁场分布。 螺绕环内、 外半径为R 螺绕环内 、 外半径为 1 、 R2 , 单位长度上导线 的匝数为n,每匝电流为I。 的匝数为 ,每匝电流为 。 解

B=

?0 R1nI
r

如果环很细, , 如果环很细, ≈ R1, B = ?0nI r

【 例 6.8】在载流平板上通过单位宽度的电流 , 】 在载流平板上通过单位宽度的电流, 称为面电流密度 面电流密度的单位是A·m?1。 面电流密度。 称为面电流密度。面电流密度的单位是 求无限大均匀载流平板的磁场分布。 求无限大均匀载流平板的磁场分布 。 载流平板 的面电流密度为 j。 。 解

2 Bl = ? 0 lj → B =

?0 j
2

??无限大均匀载流平板的磁场是匀强磁场 , ?? 无限大均匀载流平板的磁场是匀强磁场, 无限大均匀载流平板的磁场是匀强磁场 磁感应强度与面电流密度成正比。 磁感应强度与面电流密度成正比。


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