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山东省济南第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 ]


济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分 钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后 ,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上.

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大 题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

1. 在锐角 A.

中, 角 , , 所对的边分别为 , , , 若 B. C.



, 则( D.

)

2. 如果 (4)

,给出下列不等式:(1) ,其中成立的是 ( B. (1)(3) )

;(2)

;(3)



A. (2)(3)

C. (3)(4)

D. (2) (4)

3. 已知数列 A.

中,若

, B. C.

,则

等于 D.

4.

的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 的面积为 ( A. ) B. C.





,则

D.

5.

5. “ 4 ? k ? 6 ”是“方程 A.充要条件

x2 y2 ? ? 1表示椭圆”的() 6?k k ?4

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 的前 项和记作 ,若 , ,则 等

6. 各项均为实数的等比数列 于( A. C. 或 ) B. D.



7. 在 ? ABC 中, cos A.正三角形

2

A b?c ? ,则 ? ABC 的形状为(). 2 2c
B.直角三角形 D.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦 a b
点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为( )

?

?

A.

x2 y 2 ? ?1 21 28

B.

x2 y 2 ? ?1 28 21

C.

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

9. 变 量 , 满 足 约 束 条 件



的最大值为 ,则实数



于( A.

) B. C. D.

10. 已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ),b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值为() A. 11. 设 围是

5 5
,若

B.

55 5
,且不等式

C.

11 5

D.

3 5 5

恒成立,则 的取值范

A. C.



B. D.



12. 已知 A. B. C. D.

,则 满足关于 的方程 , , , ,

的充要条件是 (

)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 13. 命题 p : “ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定 ?p :

14. 在

中,若

,此三角形的形状是

三角形.

15. 函数 f ( x) ? 3 ? lg x ?

4 (0 ? x ? 1) 的最大值为 lg x



16. 在 数 列

中, .



,且

,则

17. 已知如图,PA、PB、PC 互相垂直,且长度相等,E 为 AB 中点,则直线 CE 与平面

A

PAC 所成角的正弦值为
[来源:学_科_网]

E P B C

18. 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C a 2 b2

的左,右顶点 P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文 字说明,证明过程或推演步骤) 19. (本小题 10 分) 解关于 x 的不等式: x ? (a ? a) x ? a ? 0
2 2 3

20. (本小题 12 分) 在锐角 Ⅰ 求角 ; Ⅱ 若 , ,求 的面积. 中,内角 , , 所对的边长分别为 , , ,且 .

21. (本小题 12 分)

设递增等比数列 在直线 Ⅰ 求数列 Ⅱ 设 值范围. , ,数列

的前 项和为 ,且 上( 的通项公式; 前 项和 ,若

, ).

,数列

满足

,点

恒成立(

),求实数 的取

22. (本小题 12 分) 如图所示,在多面体 A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1 B1 B , ADD1 A1 , ABCD 均为正方形,

E 为 B1 D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F.
(Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1 D ? B1 余弦值.

23. (本小题 14 分) 已知椭圆 上的一动点 到左、 右两焦点 , 的距离之和为 . ,

点 到椭圆一个焦点的最远距离为 Ⅰ 求椭圆的方程;

Ⅱ 过右焦点 的直线 交椭圆于 , 两点. ①若 轴上存在一点 满足 ,求直线 斜率 的值;

②是否存在这样的直线 ,使

的最大值为 (其中 为坐标原点)?若存在,

求直线 方程;若不存在,说明理由.

济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(理科)答案
第一部分 1. A 6. A 11. C 2. D 3. C 4. B 5. C

7. B 8. D 1 2. D

9. C

10. D

第二部分 13.

?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

14. 直角 15. -1

16. 2600 17. 18.

6 6
1 3
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

第三部分

19. 不等式可化为

( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0
①当 a ? a ? 0 即 a ? 1 或 a ? 0 时,不等式的解为 (??, a] ? [a 2 , ??)
2

②当 a ? a ? 0 即 a ? 0 或 a ? 1 时,不等式的解为 R
2

③当 a ? a ? 0 即 0 ? a ? 1 时,不等式的解为 (??, a 2 ] ? [a, ??)
2
2 综上所述, a ? 1 或 a ? 0 时,不等式的解为 (??, a] ? [a , ??) ;

a ? 0 或 a ? 1 时,不等式的解为 R 0 ? a ? 1 时,不等式的解为 (??, a2 ] ? [a, ??)
20. (1)由正弦定理 得 , . ,

由 所以 由 .

,得



[来源:学*科*网]

且 为锐角,得 (2)由(1)知 . ,



由 得 所以 则 21. (1)由 因为数列 所以 故 所以 由点 所以 则数列 则 (2)因为 所以 则 两式相减得 , .



. 可得 为递增等比数列, . 或 ,

是首项为 ,公比为 的等比数列 . . 在直线 . 是首项为 ,公差为 的等差数列. . , . , 上,

所以 因为 所以 所以 . ,若

. . 恒成立,则 ,

22. (Ⅰ)证明:由正方形的性质可知 A1 B1 / / AB / / DC ,且 A1 B1 ? AB ? DC ,所以四边 形 A1 B1CD 为平行四边形,从而 B1C / / A1 D ,又 A1 D ? 面 A1 DE , B1C ? 面 A1 DE ,于是

B1C / / 面 A1 DE ,又

?? ?? ? n1 ? (?1,1,1) .设面 A1 B1CD 的法向量 n2 ? (r2 , s2 , t2 ) ,而该面上向量 ???? ? ???? ? ?? ? A1 B1 ? (1, 0, 0), A1 D ? (0,1, ?1) ,由此同理可得 n2 ? (0,1,1) .所以结合图形知二面角
?? ?? ? | n1 ? n2 | 2 6 ? ? ? E ? A1 D ? B 的余弦值为 ?? ?? . 3 | n1 | ? | n2 | 3? 2
23. (1) ,所以 , ,所以 . , , ,

因为点 到椭圆一个焦点的最远距离为 由 (2)已知 , 得 ,所以椭圆的标准方程为

,由已知得直线 的斜率存在,设直线的方程为

联立直线与椭圆方程

化简得:

所以 所以 ①

, 的中点坐标为 时,满足条件;

, .





时,

,因为

,所以



于是有

,整理得:

,解得





综上所述,符合条件的 的值为 , , . ②当 易得 当 时, 轴时,直线方程为 ,此时存在直线 不存在.当

[来源:学&科&网]

,代入椭圆方程,可得 ; 时,



[来源:学科网]

所以 综上所述,



时,不存在符合条件的直线 . ,此时,直线 的方程为 . .

所以满足题意的直线存在,方程为


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