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广东省深圳市2015届高三第一次调研(一模)考试数学文试题


2015 年广东省深圳市高考数学一模试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 U={2,0,1,5},集合 A={0,2},则?UA=( A. φ B. {0,2} C. {1,5} D. {2,0,1,5} 【考点】 : 交、并、补集的混合运算.

【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据集合的补集的定义求出 A 的补集即可. 【解析】 : 解:∵集合 U={2,0,1,5},集合 A={0,2}, ∴?UA={1,5}, 故选:C. 【点评】 : 本题考查了集合的运算,是一道基础题. 2. (5 分)i 是虚数单位,复数 i (i﹣1)的虚部是( A. i B. ﹣i C. 1 D. ﹣1
2





【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 2 【解析】 : 解:∵i (i﹣1)=(﹣1)×(i﹣1)=1﹣i. 2 ∴复数 i (i﹣1)的虚部是﹣1. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3. (5 分)在四边形 ABCD 中,“

=

+

”是“ABCD 是平行四边形”的(



A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据充分条件和必要条件的定义,结合向量的应用即可得到结论. 【解析】 : 解:若在四边形 ABCD 中,若 = + ,

则由向量加法加法的平行四边形法则知,线段 AC 是以 AB、AD 为邻边的平行四边形的对角 线, 则四边形 ABCD 是平行四边形, 反之,若 ABCD 是平行四边形, 则根据向量的四边形法则可得 = + ,

故“

=

+

”是“ABCD 是平行四边形”的充要条件,

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量平行四边形法则是解决本题 的关键. 4. (5 分)若函数 y=a +b 的部分图象如图所示,则(
x



A. 0<a<1,﹣1<b<0 B. 0<a<1,0<b<1 C. a>1,﹣1<b<0 D. a>1,﹣1 <b<0 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 指数函数的图像与性质. 函数的性质及应用. 根据指数函数的图象和性质即可判断 解:由图象可以看出,函数为减函数,故 0<a<1,
x x

因为函数 y=a 的图象过定点(0,1) ,函数 y=a +b 的图象过定点(0,b) , ∴﹣1<b<0, 故选:A. 【点评】 : 本题主要考查函数图象的应用,利用函数过定点是解决本题的关键.

5. (5 分)已知实数 x,y 满足不等式组 A. 3 B. 3 C. 4 D. 5 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

,则 x+2y 的最大值为(



简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域, , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 C 时,直线 y=﹣ 的截距最

由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 大,此时 z 最大. 由 ,得 ,

即 C(1,2) ,

此时 z 的最大值为 z=1+2×2=5, 故选:D

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 6. (5 分)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,若 AB=BC=CD=2,则该 三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为( )

A.

B. 2 C. 2

D. 2

【考点】 : 简单空间图形的三视图. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 由已知中三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,投影线平行于 BD,可得:该三棱 锥的侧视图是一个以△BCD 中 BD 边的上高为底,以棱锥的高为高的三角形,进而可得答案. 【解析】 : 解:∵三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,投影线平行于 BD, ∴该三棱锥的侧视图是一个以△BCD 中 BD 边的上高为底,以棱锥的高为高的三角形, ∵BC⊥CD,AB=BC=CD=2, ∴△BCD 中 BD 边的上高为 , 故该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积 S= × ×2= ,

故选:A. 【点评】 : 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中分析出该三棱锥的侧视图是一 个以△BCD 中 BD 边的上高为底,以棱锥的高为高的三角形,是解答的关键. 7. (5 分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°,a= 的面积为( ) A. B. C. D. 2 ,b+c=3,则△ABC

【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 解三角形.

【分析】 : 由余弦定理可得:a =(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA,代入已知从而解得:bc 的值,由 三角形面积公式 S△ABC= bcsinA 即可求值. 【解析】 : 解:由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA, ∴代入已知有:3=9﹣3bc,从而解得:bc=2, ∴S△ABC= bcsinA= = ,
2 2 2 2

2

2

故选:B. 【点评】 : 本题主要考察了余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题.

8. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:



=1(a,b>0)的左、右焦点,点 P 在 C 上, )

若 PF1⊥F1F2,且 PF1=F1F2,则 C 的离心率是( A. ﹣1 B. C. +1 D. ﹣1

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理,结合离心率公式,计算即可得到. 【解析】 : 解:可设 F1F2=2c,则 PF1=2c, 在直角三角形 PF1F2 中,PF2= 由双曲线的定义可得,PF2﹣PF1=2a, 即 2( ﹣1)c=2a, 则 e= = =1+ . =2 c,

故选:C. 【点评】 : 本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.

9. (5 分)函数 f(x)=x+

在(﹣∞,﹣1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是(



A. [1,+∞) B. (﹣∞,0)∪(0,1] C. (0,1] D. (﹣∞,0)∪[1,+∞) 【考点】 : 函数单调性的性质. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 : 求出函数的导数,由题意可得 f′(x)≥0 在(﹣∞,﹣1)上恒成立.运用参数分离 可得 ≤x 在(﹣∞,﹣1)上恒成立.运用二次函数的最值,求出右边的范围即可得到. 【解析】 : 解:函数 f(x)=x+ 的导数为 f′(x)=1﹣ ,
2

由于 f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增, 则 f′(x)≥0 在(﹣∞,﹣1)上恒成立.

即为 ≤x 在(﹣∞,﹣1)上恒成立. 由于当 x<﹣1 时,x >1, 则有 ≤1,解得,a≥1 或 a<0. 故选 D. 【点评】 : 本题考查函数的单调性的运用,考查运用导数判断单调性,以及不等式恒成立问 题转化为求函数最值或范围,属于基础题和易错题. 10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M 与曲线 Ci 上任意一点距离的最小值为 di(i=1, 2) ,若 d1<d2,则称 C1 比 C2 更靠近点 M,下列为假命题的是( ) A. C1:x=0 比 C2:y=0 更靠近 M(1,﹣2) x B. C1:y=e 比 C2:xy=1 更靠近 M(0,0) 2 2 2 2 C. 若 C1: (x﹣2) +y =1 比 C2:x +(y﹣2) =1 更靠近点 M(m,2m) ,则 m>0 2 D. 若 m>1,则 C1:y =4x 比 C2:x﹣y+m=0 更靠近点 M(1,0) 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 新定义;函数的性质及应用;直线与圆. 【分析】 : 运用新定义,由两点的距离公式计算即可判断 A; 运用曲线的对称性和导数的运用,判断单调性和极值以及最值,结合两点的距离公式, 二次函数的最值,即可判断 B; 运用直线和圆的位置关系,结合新定义,即可判断 C; 运用点到直线的距离公式和二次函数的最值,即可判断 D. 【解析】 : 解:对于 A.d1=|1﹣0|=1,d2=|0﹣(﹣2)|=2,d1<d2,则为真命题; 对于 B.由对称性可得,C2:xy=1 关于直线 y=x 对称,且经过点(0,0) , 交点为(1,1) , (﹣1,﹣1) ,则 d2=
x 2

2

=

,由于 y=e ﹣x﹣1 的导

x

数为 e ﹣1, 当 x>0 时,导数大于 0,当 x<0 时,导数小于 0,则 x=0 为极小值点们也为最小值点, 则有 e ≥x+1,设 C1:y=e 上任一点 P(x,e ) ,即|OP|= = = ≥ ,即有 d1=
x x x



<d2,则 B 为真命题;
2 2

对于 C.由于点 M(m,2m)在直线 y=2x 上,C2:x +(y﹣2) =1 为圆心(0,2) , 半径为 1 的圆,圆心到直线的距离为 <1 即直线和圆 C2 相交,
2 2

即有交点到 M 的距离为 0,而 C1: (x﹣2) +y =1 为圆心(2,0) ,半径为 1 的圆 圆心到直线的距离为 >1,即有直线和圆 C1 相离,d1>0,则有 d1>d2,则 C 为假命题;
2

对于 D. 设P (x, y) 为 C1: y =4x 上的点, 则|PM|= y=0 时,d1=1;

=

≥ 1,

由于 m>1,则 M 到 C2:x﹣y+m=0 的距离 d2=



,则有 d1<d2,则 D 为真命题.

故选 C. 【点评】 : 本题考查新定义的理解和运用,考查两点的距离和点到直线的距离公式的运用, 考查点与圆和直线与圆的位置关系,以及二次函数的最值求法,属于中档题和易错题. 二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分满分 15 分.本大题分为必做题 和选做题两部分(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生必须作答. 11. (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f(2015)+f(﹣2015)= ﹣6042 .

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :
2

函数的值. 计算题;函数的性质及应用. 由题意,将 2015,﹣2015 分别代入分段函数求值. 解:f(2015)+f(﹣2015)
2

=2015 ﹣3×2015+3﹣2015 =﹣6045+3=﹣6042; 故答案为:﹣6042. 【点评】 : 本题考查了分段函数的应用,属于基础题. 12. (5 分)将容量为 n 的样本中的数据分成 5 组,绘制频率分布直方图.若第 1 至第 5 个长 方形的面积之比 3:4:5:2:1,且最后两组数据的频数之各等于 15,则 n 等于 75 . 【考点】 : 频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 根据频率和为 1,求出直方图中最后两组数据的频率之和,再根据频率、频数与样 本容量的关系,求出样本容量. 【解析】 : 解:根据频率和为 1,得; 直方图中最后两组数据的频率之和为 对应的频数为 15, ∴样本容量为 n= =75. =

故答案为:75. 【点评】 : 本题考查了频率、频数与样本容量的关系,是基础题目. 13. (5 分)执行如图的程序框图,则输出 S 的值为 36 .

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 算法和程序框图. 【分析】 : 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的 作用是利用循环计算 S 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 【解析】 : 解:执行程序框图,可得 S=0,n=1,i=1 S=1 不满足条件 i>5,i=2,n=3,S=4 不满足条件 i>5,i=3,n=5,S=9 不满足条件 i>5,i=4,n=7,S=16 不满足条件 i>5,i=5,n=9,S=25 不满足条件 i>5,i=6,n=11,S=36 满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 36. 故答案为:36. 【点评】 : 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是 解答此类问题最常用的办法,属于基础题. 三.选做题:第 14、15 题为选做题(坐标系与参数方程) 14. (5 分)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρcosθ=3 的距离等于 2 .

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 本题可以利用公式将点的极坐标转化为平面直角坐标,将直线的极坐标方程转化 为平面直角坐标方程,再求出平面直角坐标系中的点线距离,从而得到极坐标的点线距离, 得到本题结论. 【解析】 : 解:将极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴重合,正方向一致,建立 平面直角坐标系, ∵在极坐标系中,点(2, ) ,

∴x=

,y=



∴该点的平面直角坐标为: (1, ) . ∵在极坐标系中,直线 ρcosθ=3, ∴该直线的平面直角坐标方程为:x=3. ∵在平面直角坐标系中,点(1, )到直线 x=3 的距离为 2, ∴在极坐标系中,点(2, )到直线 ρcosθ=3 的距离等于 2.

故答案为:2. 【点评】 : 本题考查了极坐标化成平面直角坐标,本题难度不大,属于基础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,D 是 AB 边上的一点,以 BD 为直径的⊙O 与 AC 相切于点 E.若 BC=6,则 DE 的长为 4 .

【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 几何证明. 【分析】 : 连接 OE,由已知得∠AEO=90°,OA=2OE,OD=AD,由直角三角形斜边中线等于 斜边的一半,得 DE=OD,由此能求出 DE 的长. 【解析】 : 解:连接 OE,∵AC 是⊙O 的切线,∴∠AEO=90°, ∵∠A=30°,∴OA=2OE, ∵OA=OD+AD,OD=OE,∴OD=AD, ∴DE=OD(直角三角形斜边中线等于斜边的一半) , ∵∠C=90°,∠A=30°,BC=6, ∴AB=2BC=12, ∵AB=OB+OD+AD=3OD=12, ∴OD=4, ∴DE=OD=4. 故答案为:4.

【点评】 : 本题考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的简单性质的合 理运用. 三、解答题 16. (12 分)函数 f(x)=2sin(ωx+ (1)求 f( )的值; ,且 x0∈( , ) ,求 sin2x0 的值. ) (ω>0)的最小正周期是 π.

(2)若 f(x0)=

【考点】 : 正弦函数的图象;二倍角的正弦. 【专题】 : 计算题;三角函数的求值. 【分析】 : (1)由 f(x)的周期 T=π,即可求得 ω,可解得解析式为:f(x)=2sin(2x+ 从而有诱导公式可求 f( )的值. )= ,又由 x0∈( , ) ,可得 2x0+ ∈( ,π) ,可 ) ,

(2)由已知先求得 sin(2x0+ 得 2x0=

,即可求 sin2x0 的值. =π,

【解析】 : 解: (1)∵f(x)的周期 T=π,即 ∴ω=±2, 由 ω>0 解得 ω=2,即 f(x)=2sin(2x+ ) ,

∴f(

)=2sin(

)=2sin( ,得 sin(2x0+

)=﹣2sin )= ,

=﹣1,

(2)由 f(x0)= 又∵x0∈( ∴2x0+ ∴sin2x0= = . ,

) ,∴2x0+ ,

∈(

,π) ,

,即 2x0=

【点评】 : 本题主要考察了正弦函数的图象和性质,同角三角函数的基本关系式,诱导公式, 两角和与差的正弦公式的应用,考察了计算能力,属于基础题. 17. (12 分)空气质量指数(简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空 气污染越严重,为了及时了解空气质量状况,广东各城市都设置了 AQI 实时监测站.下表是 某网站公布的广东省内 21 个城市在 2014 年 12 月份某时刻实时监测到的数据: 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 城市 AQI 数值 广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47 佛山 160 惠州 113 汕头 88 汕尾 74 阳江 112 韶关 68 梅州 84 (1)请根据上表中的数据,完成下列表格: 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) 城市个数 (2)现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定 6 个城市,省 环保部门再从中随机选取 2 个城市组织专家进行调研, 则选取的城市既有空气质量“良好”的又 有“轻度污染”的概率是多少? 【考点】 : 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (I)根据频率分布的表的知识,填表即可 (II)先求出由分层抽样方法抽取“良”、“轻度污染“,利用列举法写出抽取 2 天数据的所有基 本事件,并从中找出 2 天的空气质量选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的基本 事件,利用基本事件个数比求概率. 【解析】 : 解: (1)表格如下, 空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) 城市个数 2 12 6 1 (2)按分层抽样的方法,从“良好”类城市中抽取 从“轻度污染”类城市中抽取 所有的基本事件有: ×6=2 个,记为 a,b ×6=4 个,分别记为 1,2,3,4

(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,a) , (1,b) , (2,3) , (2,4) , (2,a) , (2,b) (3,4) , (3,a) , (3,b) (4,a) , (4,b) , (a,b)共 15 种, 选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的事件有: (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2, b) , (3,a) , (3,b) , (4,a) , (4,b) ,共 8 种. 故选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率 P= 【点评】 : 本题考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算,考查了学生搜集处理数据的能 力,综合性较强,利用列举法写出所有的基本事件并从中找出符合条件的基本事件是解题的 关键,属于中档题 18. (14 分)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,侧 SBC 是正三角形, 点 E 是 SB 的中点,且 AE⊥平面 ABC. (1)证明:SD∥平面 ACE; (2)若 AB⊥AS,BC=2,求点 S 到平面 ABC 的距离.

【考点】 : 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)连结 BD,交于点 F,由已知得 EF∥SD,由此能证明 SD∥平面 ACE. (2)由已知得 AB= ,AE=1,AE⊥CE,CE= ,AC=2,由 VS﹣ABC=VA﹣SBC,能求出点 S 到平面 ABC 的距离. 【解析】 : (1)证明:连结 BD,交于点 F, ∵ABCD 是平行四边形,∴F 是 BD 的中点, 又∵点 E 是 SB 的中点,∴EF∥SD, ∵SD?平面 ACE,EF?平面 ACE, ∴SD∥平面 ACE. (2)解:∵AB⊥AS,BC=2,且点 E 是 SB 的中点, ∴AB= ,AE=1, 又∵AE⊥平面 SBC,CE?平面 SBC,∴AE⊥CE, ∴侧面 SBC 是正三角形,∴CE= , ∴AC= =2, ,腰为 2 的等腰三角形.

∴△ABC 是底边为



=



设点 S 一平面 ABC 的距离为 h, 由 VS﹣ABC=VA﹣SBC,得 ,

∴h=

=

=



【点评】 : 本题考查空间点、线、面的位置,考查线线平行、线面平行、线线垂直与线面垂 直,考查等积法求几何体的体积,考查空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力及化归思想 等. 19. (14 分)已知各项为正的等差数列{an}的公差为 d=1,且 + = .

(1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)若数列{bn}满足:b1=λ,an+1bn+1+anbn=(﹣1) (n∈N) ,是否存在实数 λ,使得数列 {bn}为等比数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】 : 等比数列的性质;等差数列的性质. 【专题】 : 计算题;存在型;等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)运用等差数列的性质和通项公式,解方程可得首项,即可得到通项公式; (2)化简整理条件,可令 cn= ,则 c1=﹣b1=﹣λ,cn+1﹣cn=1,运用等差数列的通

项公式,可得 bn,存在实数 λ,使得数列{bn}为等比数列,则由前三项,解方程可得 λ=﹣1 或 3.再讨论即可得到结论. 【解析】 : 解: (1)由 + = = ,

由于{an}为等差数列,则 a1+a3=2a2, 则 = ,即有 a1a3=3,由于 a1>0,d=1,

则 a1(a1+2)=3,解得,a1=1 或﹣3(舍去) , 则有数列{an}的通项公式是 an=a1+n﹣1=n; n+1 (2)由 an+1bn+1+anbn=(﹣1) (n∈N) , n+1 即(n+1)bn+1+nbn=(﹣1) ,



=1,

令 cn=

,则 c1=﹣b1=﹣λ,cn+1﹣cn=1,

数列{cn}为首项为﹣λ,公差为 1 的等差数列, cn= =n﹣λ﹣1,bn= ,

假设存在实数 λ,使得数列{bn}为等比数列, b1=λ,b2=
2

,b3= =(
n

, ),
2

则 b2 =b1b3,即 λ? 解得,λ=﹣1 或 3.

当 λ=﹣1 时,bn=(﹣1) ,则{bn}为等比数列, 当 λ=3 时,bn= ,b4=0,则{bn}不为等比数列.

则存在实数 λ=﹣1,使得数列{bn}为等比数列. 【点评】 : 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查构造数列求通项,考查运算能 力,属于中档题.

20. (14 分)如图,A,B 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右顶点,F 为其右焦点,

2 是|AF|与|FB|的等差中项, 是|AF|与|FB|的等比中项. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴,若过 F 作直线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q.证明:Q,P,B 三点共线.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】 : (1)F(1,0) ,|AF|=a+c,|BF|=a﹣c.由 2 是|AF|与|FB|的等差中项, 与|FB|的等比中项.联立
2 2 2

是|AF|

,及其 b =a ﹣c .解得即可. (2)
2

直线 l 的方程为:x=﹣2,直线 AP 的方程为:y=k(x+2) (k≠0) ,与椭圆方程联立化为(3+4k ) x +16k x+16k ﹣12=0,利用根与系数的关系可得 xP= 可得 kPF=﹣ .直线 QF 的方程为:y=﹣ Q
2 2 2

,yP=k(xP+2) .由于 QF⊥AP, ,把 x=﹣2 代入上述方程可得

.只有证明 kPQ=kBQ,即可得出 B,P,Q 三点共线. 是|AF|

【解析】 : (1)解:F(1,0) ,|AF|=a+c,|BF|=a﹣c.由 2 是|AF|与|FB|的等差中项, 与|FB|的等比中项. ∴ ∴b =a ﹣c =3. ∴椭圆 C 的方程为 =1.
2 2 2

,解得 a=2,c=1,

(2)证明:直线 l 的方程为:x=﹣2,直线 AP 的方程为:y=k(x+2) (k≠0) ,
2 2 2 2

联立

,化为(3+4k )x +16k x+16k ﹣12=0,





∴xP=

,∴yP=k(xP+2)=



∵QF⊥AP,∴kPF=﹣ . 直线 QF 的方程为:y=﹣ 把 x=﹣2 代入上述方程可得 yQ= , ∴Q . ,

∴kPQ=

=

,kBQ=



∴kPQ=kBQ, ∴B,P,Q 三点共线. 【点评】 : 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得 根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系、等差数列与等 比数列的性质,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分)已知 a,b∈R,函数 f(x)=(ax+2)lnx,g(x)=bx +4x﹣5,且曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x)在 x=1 处有相同的切线. (1)求 a,b 的值; (2) (2)证明:当 x≠1 时,曲线 y=f(x)恒在曲线 y=g(x)的下方; (3)当 x∈(0,k]时,不等式(2k+1)f(x)≤(2x+1)g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】 : 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 计算题;证明题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 : (1)求导 f′(x)=a(lnx+1)+ ,g′(x)=2bx+4;从而可得 b+4﹣5=0,a+2=2b+4; 从而求参数的值; (2)要使得当 x≠1 时,曲线 y=f(x)恒在曲线 y=g(x)的下方,只证 f(x)<g(x) (x≠1) , 不妨设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,从而求导 F′(x)=4lnx+ ﹣2x﹣4=4lnx+ ﹣2x;从而化
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为恒成立问题,再转化为最值问题. (3)由题意知,k>0,2x+1>0;故不等式(2k+1)f(x) 2 2 ≤(2x+1)g(x)可转化为 2(2k+1)lnx≤x +4x﹣5,从而构造函数 H(x)=2(2k+1)lnx﹣x ﹣4x+5,讨论求实数 k 的取值范围. 【解析】 : 解: (1)∵f′(x)=a(lnx+1)+ ,g′(x)=2bx+4; ∴f′(1)=a+2,g′(1)=2b+4; 又∵曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在点(1,0)处有相同的切线, ∴f(1)=0=g(1)=b+4﹣5,f′(1)=g′(1) ; 即 b+4﹣5=0,a+2=2b+4; 从而解得,b=1,a=4; (2)证明:要使得当 x≠1 时,曲线 y=f(x)恒在曲线 y=g(x)的下方, 即需证 f(x)<g(x) (x≠1) , 不妨设 F(x)=f(x)﹣g(x) , 2 则 F(x)=(4x+2)lnx﹣x ﹣4x+5; ∴F′(x)=4lnx+ 令 G(x)=F′(x) , ∴G′(x)= ﹣ ﹣2≤0 恒成立, ﹣2x﹣4=4lnx+ ﹣2x;

∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减, 又∵F′(1)=0, ∴当 x∈(0,1)时,F′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0; ∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 即当 x=1 时,F(x)取得最大值 F(1)=0.

∴当 x≠1 时,F(x)<F(1)=0,即 f(x)<g(x) ; ∴当 x≠1 时,曲线 y=f(x)恒在曲线 y=g(x)的下方; (3)由题意知,k>0,2x+1>0; 2 ∴不等式(2k+1)f(x)≤(2x+1)g(x)可转化为 2(2k+1)lnx≤x +4x﹣5, 2 构造函数 H(x)=2(2k+1)lnx﹣x ﹣4x+5, ∴H′(x)=
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在二次函数 y=﹣2x ﹣4x+4k+2 中,开口向下,对称轴为 x=﹣1; 且过定点(0,4k+2) ; 2 解﹣2x ﹣4x+4k+2=0 得,x=﹣1﹣ (舍去) ;x=﹣1+ ; ①当﹣1+ <k 时,即 k<﹣1(舍去)或 k>1; ②当﹣1+ =k 时,k=1;经检验成立; ③当﹣1+ >k 时,0<k<1, 当 x∈(0,k)时,H′(x)>0, 2 ∴H(x)在(0,k]时取得最大值记为 H2(k)=2(2k+1)lnk﹣k ﹣4k+5, 由(2)可知,H2(k)的图象与 F(x)的图象相同, ∴0<k<1 时,H2(k)<H2(1)=0,原不等式恒成立; 综上所述,实数 k 的取值范围是(0,1]. 【点评】 : 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了分类讨论的思想应用,属 于难题.


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