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线面平行的判定定理


?

直线与平面平行的判定

复习引入

直线与平面有几种位置关系?
有三种位置关系:在平面内,相交、平 行.

其中平行是一种非常重要的关系,不仅应用较 多,而且是学习平面和平面平行的基础.

引入新课

怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? a

?

实例感受

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象.

实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关

系.

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?
A A

B

B

直线与平面平行

下图中的直线 a 与平面α平行吗?

a

?

直线与平面平行

如果平面 ? 内有直线 b 与直线 a平行,那么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何?
是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行?

a

?

b

直线与平面平行

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交

a

?

b

直线与平面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行.

a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

证明直线与平面平行,三个条件必须具备,才能 得到线面平行的结论. 直线间平行关系 直线与平面平行关系 空间问题 平面问题

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD(三角形中位线性质) EF ? 平面BCD ? ? BD ? 平面BCD ? ? EF// 平面BCD ? FE//BD ?

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.(04年天津高考)
B

变式2:

A

F
D

E O
C

分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

变式2:

A

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

反思~领悟:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”,缺一不可。

巩固练习:
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 CC?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 B?BCC? ;
D? A? B?

C?

D A B

C

巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

归纳小结,理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

? 线面平行);

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等 来完成。 3.数学思想方法:转化的思想,空间问题转化为平面 问题


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