当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省成都市2013届一诊模拟试题(理科数学)(含答案)


四川省成都市 2013 届一诊模拟试题



学(理科)

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1

.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 1} ,则 ?U A ? A. ( ? ? , 1) B. (1, 1) C. (1, ? ? ) 2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A. f ( x ) ? ?
1 x

D. ( ? ? , ? 1) U (1, ? ? )

B. f ( x ) ?

x

C. f ( x ) ?

1 2
x

D. f ( x ) ? tan x
uur uuu r

3.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 O (0, 0 ) ,A (0,1) ,B (1, 3 ) ,则 O A ? A B 的值为 A. 1 B. 3 ? 1 C. 3 D. 3 ? 1

4.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 2 n ? 1 , a 3 ? 则 A. ? 1 B. ? 2 C. ? 4 D. ? 8

5. sin 15 ? ? cos 15 ? 的值为 A.
1 2

B.

6 4

C.

6 2

D.

3 2

2

6.“ t ? 0 ”是“函数 f ( x ) ? x 2 ? tx ? t 在 ( ?? , ?? ) 内存在零点”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 7.已知函数 f ( x ) ? ? A. [ ? 1, ?? )
? ? 1, x ? 0 , ? 1, x ? 0 ,

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 则不等式 xf ( x ? 1) ? 1 的解集为 C. [1, 2] D. [ ? 1,1]

B. ( ? ? ,1]

8.已知集合 M ? {( x , y ) | y ? f ( x )} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x 2 , y 2 ) ? M , 使得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合”.给出下列 4 个集合: ① M ? {( x, y) | y ?
1 x }

② M ? {( x , y ) | y ? e x ? 2} ④ M ? {( x , y ) | y ? ln x} C.③④ D.①③④

③ M ? {( x , y ) | y ? cos x} 其中所有“好集合”的序号是 A.①②④ B.②③

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 1 -页 共 11 页

-1-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? e x d x ?
0 1

. .

10.设 a ? ? 0 .5 , ? lo g 3 2 , ? cos 2 ,则 a , b , c 从大到小的顺序为 b c .... 11.函数 f ( x ) ?
x ?1 1 ( ? x ? 2 ) 的值域为 x 2
2


uuur

12.在 ? A B C 中, M 为边 A B 的中点, O P ∥ O M , O P ? xO A ? y O B ( x ? 0) , 点 若 且 则
y x ?

uuu r

uuu r

uur

uuu r



y

13.已知函数 y ? g ( x ) 的图象由 f ( x ) ? sin 2 x 的图象向右 平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位得到,这两个函数的部分图象 如图所示, ? ? 则 .

O π
8

17π 24

x

14. 数列 { a n } 中, 如果存在 a k , 使得“ a k ? a k ?1 且 a k ? a k ? 1 ”成立 (其中 k ? 2 , ? N ? )则称 a k 为 { a n } , k 的一个峰值. (Ⅰ)若 a n ? ? 3 n 2 ? 11n , { a n } 的峰值为 则 ; .

(Ⅱ)若 a n ? t ln n ? n , { a n } 不存在峰值, 且 则实数 t 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 ? ? 5 ,S 5 ? ? 2 0 . 且 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 S n ? a n 成立的 n 的最小值.

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 2 -页 共 11 页

-2-

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 s in x ? c o s ( 2 x ?
2

? 2

) .

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;
8

?

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间.

17. (本小题满分 13 分)
? 在 ? A B C 中, A ? ? 4

,tan( A ? B ) ? 7 ,A C ? 3 2 .

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ? A B C 的面积.

18. (本小题满分 13 分) 如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 为了合理利用这块钢板, 将在五边形 ABC D E 内 C A E ? 4 米, D ? 6 米. 截取一个矩形块 B N P M , 使点 P 在边 D E 上.

A
M

E P

F D

B

(Ⅰ)设 M P ? x 米,P N ? y 米, y 表示成 x 的函数, 将 求该函数的解析式及定义域; (Ⅱ)求矩形 B N P M 面积的最大值.

N

C

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 3 -页 共 11 页

-3-

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

( 2 a ? 1) x ? ( a ? a ) x .
2 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值, 求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ? m ? R , 直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线, k 的取值范围; 求 (Ⅲ)若 a ? ? 1 , f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值. 求

20. (本小题满分 14 分) 已知数集 A ? { a1 , a 2 , … , a n } (1 ? a1 ? a 2 ? … ? a n , n ? 2 ) 具有性质 P:对任意 的 k (2 ? k ? n ) , i , j (1 ? i ? j ? n ) , 使得 a k ? a i ? a j 成立. ? (Ⅰ)分别判断数集 {1, 3, 4} 与 {1, 2, 3, 6} 是否具有性质 P, 并说明理由; (Ⅱ)求证: n ? 2 a1 ? a 2 ? … ? a n ?1 ( n ? 2 ) ; a (Ⅲ)若 a n ? 7 2 , 求数集 A 中所有元素的和的最小值.

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 4 -页 共 11 页

-4-



学 (理)参考答案及评分标准

说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 答案

1 B

2 C

3 B

4 D

5 C

6 A

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. e ? 1 10. a ? b ? c
π 3

11. [ 2 , ]
2

5

12.1

13.

14.10;

{t | t ?

1 ln 2

或t ? ln (

1 n ?1 n )

, n ? N 且 n ? 2}
*

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 { a n } 的公差为 d , 依题意,有 a 2 ? a 1 ? d ? ? 5, S 5 ? 5 a 1 ? 10 d ? ? 20 联立得 ?
? a1 ? d ? ? 5 ? 5a1 ? 1 0 d ? ? 2 0

………………2 分

解得 ?

? a1 ? ? 6 ?d ? 1

………………5 分

所以 a n ? ? 6 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 7

………………7 分

(II)因为 a n ? n ? 7 ,所以 S n ?
n ( n ? 1 3) 2

a1 ? a n 2

n ?

n ( n ? 1 3) 2

………………9 分



? n ? 7 ,即 n 2 ? 15 n ? 14 ? 0

………………11 分

解得 n ? 1 或 n ? 1 4 又 n ? N * ,所以 n ? 1 4
四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题 第- 5 -页 共 11 页 -5-

所以 n 的最小值为 1 5

………………13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 c o s x ? c o s ( 2 x ?
2

π 2

)

? 2 cos x ? sin 2 x
2

………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………7 分

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x
? 2 s in ( 2 x ? π 4 ? π 4 π 4 )?1 π 4 )?1 2? 1

所以 f ( ) ?
8

π

2 sin (

)? 1?

(Ⅱ)因为 f ( x ) ? 所以 T ?
2π 2 ? π

2 s in ( 2 x ?

………………9 分
π 2 , 2kπ ? 3π 2 ) , (k ? Z )

( 又 y ? sin x 的单调递减区间为 2 k π ?

………………10 分 ………………11 分 ………………12 分

所以令 2 k π ? 解得 k π ?
π 8

π 2

? 2x ?

π 4

? 2kπ ?

3π 2

? x ? kπ ?

5π 8 π 8 , kπ ? 5π 8 ) , (k ? Z )

所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( k π +

………………13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (I)在 ? ABC 中,因为 A ? B ? C ? π 所以 tan C ? tan[ π ? ( A ? B )] ? ? tan( A ? B ) 因为 tan( A ? B ) ? 7 ,所以 tan C ? ? 7
s in C ? ? ?7 ? ta n C ? cos C 又? ? s in 2 C ? c o s 2 C ? 1 ?
7 2

………………1 分 ………………3 分 ………………4 分

解得 | s in C |?

………………5 分

10

因为 C ? (0, π ),
四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题 第- 6 -页 共 11 页 -6-

所以 s in C ?

7

2

………………6 分

10
π 4 3 4 3 5 b s in B c s in C 1 ? ta n B 1 ? ta n B

(II)因为 A ?

,所以 ta n ( A ? B ) ?

? 7

解得 ta n B ?

………………8 分

因为 C ? (0, π ), 所以 s in B ?

………………9 分

由正弦定理

?

,代入得到 c ? 7

………………11 分

所以 S ? A B C ?
?

1 2 1 2

b c s in A ? 3 2 ? 7 ? s in π 4 ? 21 2

………………13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (I)作 P Q ? A F 于 Q ,所以 P Q ? 8 ? y , E Q ? x ? 4
EQ PQ EF FD

………………2 分

在 ? E D F 中,
x?4 8? y

?

所以

?

4 2

………………4 分

所以 y ? ?

1 2

x ? 1 0 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8}

………………6 分

(II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则
S ( x ) ? x y ? x (1 0 ? x 2 )? ? 1 2 ( x ? 10) ? 50
2

………………9 分

所以 S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? (4, 8) , S ( x ) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 B N P M 面积取得最大值 4 8 平方米 ………………11 分 ………………13 分

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 7 -页 共 11 页

-7-

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为
f ?( x ) ? x ? ( 2 a ? 1) x ? ( a ? a )
2 2

? ( x ? a ) [ x ? (a ? 1 ) ]

………………2 分



f ?( x ) ? 0

,得 x1

? ( a ? 1) , x 2 ? a

所以

f ?( x ) , f ( x )

随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x ) f (x)

(?? , a )

a

( a , a ? 1)

a ?1

( a ? 1, ? ? )

?
?

0 极大值

?

0 极小值

?
?

?

………………4 分 所以 a ? 1 ………………5 分

(II)因为

f ?( x ) ? ( x ?

2a ? 1 2

) ?
2

1 4

………………6 分

因为 ? m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线 所以 只要 所以
f ?( x ) ? ( x ? 2a ? 1 2 ) ?
2

1 4

? k

对 x ? R 成立

………………7 分

f ?( x )

的最小值大于 k
1 4

k ? ?

………………8 分

(III) 因为 a ? ? 1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, 所以当 x
f ?( x ) ? 0

对 x ? [0,1] 成立 取得最大值
f (1) ? a ?
2

? 1 时, f ( x )

1 6

………………9 分 单调递增 单调递减
1 2 a
2

当 0 ? a ? 1 时, 在 x ? (0, a ) 时, 在 x ? ( a ,1) 时, 所以当 x ? a 时,
f (x)

f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0

, ,

f (x) f (x)
1 3
3

取得最大值
f ?( x ) ? 0

f (a ) ?

a ?

………………10 分

当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, 所以当 x
?0



f (x)

单调递减 ………………11 分
f (x)

时,

f (x)

取得最大值
? 1)

f (0) ? 0

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a

时,

f ?( x ) ? 0



单调递减
第- 8 -页 共 11 页 -8-

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

在 x ? (a 又 当 ?1 ? 当? 当a
6 6 ? ? 6 6
f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? a ?
2

? 1,1)
1 6

时,

f ?( x ) ? 0



f (x)

单调递增


? 1 取得最大值 f (1) ? a ?
2

a ? ?

6 6

时,

f (x)

在x

1 6

? a ? 0 时, f ( x )

在x
?0

?0

取得最大值

f (0) ? 0

时,

f (x)

在x

,x

? 1 处都取得最大值 0

.

………………14 分

综上所述, 当 a ? 1或 ?1 ?
a ? ? 6 6

时,

f (x)

取得最大值
f (a ) ? 1 3 a ?
3

f (1) ? a ?
2

1 6

当 0 ? a ? 1 时, 当a 当?
? ? 6 6 6 6 ? a ? 0

f (x)

取得最大值 在x
?0

1 2

a

2

时,

f (x)

,x
?0

? 1 处都取得最大值 0

时,

f (x)

在x

取得最大值

f (0) ? 0

.

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 3 ? 1 ? 1 , 所以 {1, 3, 4} 不具有性质 P. 因为 2= 1 ? 2, 3= 1+ 2, 6= 3 ? 3 ,所以 {1, 2, 3, 6} 具有性质 P (Ⅱ) 因为集合 A = { a 1 , a 2 , ? ??, a n } 具有性质 P: 即对任意的 k ( 2 ? k ? n ), ? i , j (1 ? i ? j ? n ) ,使得 a k = a i + a j 成立, 又因为 1 ? a 1 < a 2 < ? ??< a n , n ? 2 ,所以 a i ? a k , a j ? a k 所以 a i ? a k ?1 , a j ? a k ?1 ,所以 a k = a i + a j ? 2 a k ?1 即 a n ? 2 a n ?1 , a n ?1 ? 2 a n ? 2 , a n ? 2 ? 2 a n ? 3 , ..., a 3 ? 2 a 2 , a 2 ? 2 a 1 将上述不等式相加得
a 2 + ? ? ? + a n ?1 + a n ? 2( a 1 + a 2 + ? ? ? + a n ?1 )

………………4 分

………………6 分

所以 a n ? 2 a 1 + a 2 + ? ? ? + a n ?1 (Ⅲ)最小值为 1 4 7 . 首先注意到 a1 =1 ,根据性质 P,得到 a 2 = 2 a1 = 2 所以易知数集 A 的元素都是整数.
四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

………………9 分

第- 9 -页 共 11 页

-9-

构造 A = {1, 2 , 3, 6, 9 , 1 8, 3 6, 7 2} 或者 A = {1, 2 , 4 , 5, 9 , 1 8, 3 6, 7 2} ,这两个集合具有性质 P, 此时元素和为 147. 下面,我们证明 147 是最小的和 假设数集 A = { a 1 , a 2 , ? ??, a n }( a 1 < a 2 < ? ??< a n , n ? 2 ) ,满足 S ?
n

?a
i =1

n

i

? 1 4 7 最小(存在性显

然,因为满足 ? a i ? 1 4 7 的数集 A 只有有限个).
i =1

第一步:首先说明集合 A = { a 1 , a 2 , ? ??, a n }( a 1 < a 2 < ? ??< a n , n ? 2 ) 中至少有8个元素: 由(Ⅱ)可知 a 2 ? 2 a 1 ,
a 3 ? 2 a 2 .......

又 a 1 =1 ,所以 a 2 ? 2, a 3 ? 4, a 4 ? 8, a 5 ? 16, a 6 ? 32, a 7 ? 64 ? 72 , 所以 n ? 8
9 第二步:证明 a n ?1 ? 3 6 ,a n ? 2 ? 1 8a,n ? 3 ? :

若 36 ? A ,设 a t = 36 ,因为 a n ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得 S ? 中一定不含有元素 a k ,使得 3 6 < a k ? 7 2 ,从而 a n ?1 ? 3 6 ;

?a
i =1

n

i

最小,在集合 A

假设 36 ? A ,根据性质 P,对 a n ? 72 ,有 a i , a j ,使得 a n ? 72 ? a i ? a j 显然 a i ? a j , 所以 a n ? a i ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 a n , a i , a j 的元素, 从而 S ? ( a n ? a i ? a j ) ? 5 a 1 ? 1 4 9 ,矛盾, 所以 36 ? A ,进而 a t = 36 ,且 a n ?1 ? 3 6 ; 同理可证: a n ? 2 ? 18, a n ? 3 ? 9 (同理可以证明:若 18 ? A ,则 a n ? 2 ? 1 8 假设 18 ? A . 因为 a n ? 1 ? 3 6, 根据性质 P,有 a i , a j ,使得 a n ?1 ? 36 ? a i ? a j 显然 a i ? a j , 所以 a n ? a n ?1 ? a i ? a j ? 144 , 而此时集合 A 中至少还有4个不同于 a n , a n ?1 , a i , a j 的元素
四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题 第- 10 -页 共 11 页 - 10 -

从而 S ? a n ? a n ?1 ? a i ? a j ? 4 a 1 ? 148 ,矛盾, 所以 18 ? A ,且 a n ? 2 ? 1 8 同理可以证明:若 9 ? A ,则 a n ? 3 ? 9 假设 9 ? A 因为 a n ? 2 ? 1 8, 根据性质 P,有 a i , a j ,使得 a n ? 2 ? 18 ? a i ? a j 显然 a i ? a j , 所以 a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a i ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有3个不同于 a n , a n ?1 , a n ? 2 , a i , a j 的元素 从而 S ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a i ? a j ? 3 a 1 ? 147 ,矛盾, 所以 9 ? A ,且 a n ? 3 ? 9 ) 至此,我们得到了 a n ?1 ? 36, a n ? 2 ? 18, a n ? 3 ? 9 . 根据性质 P,有 a i , a j ,使得 9 ? a i ? a j 我们需要考虑如下几种情形: ① a i ? 8, a j ? 1 , 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 a k ,才能得到元素 8, 则 S ? 148 ; ② a i ? 7, a j ? 2 ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 a k ,才能得到元素 7, 则 S ? 148 ; ③ a i ? 6, a j ? 3 ,此时集合 A ={1, 2, 3, 6, 9,18, 36, 72} 的和最小,为 147; ④ a i ? 5, a j ? 4 ,此时集合 A ={1, 2, 4, 5, 9,18, 36, 72} 的和最小,为 147. ………14 分

四川省名校联盟 2013 届高三年级 12 月试题

第- 11 -页 共 11 页

- 11 -


相关文章:
四川省成都市2013届一诊模拟试题(理科数学)(含答案)
四川省成都市2013届一诊模拟试题(理科数学)(含答案)_数学_高中教育_教育专区。四川省成都市 2013 届一诊模拟试题 数 学(理科) 本试卷共 4 页,150 分。考试...
【2013届成都一诊模拟试题】理科数学试题(含答案)
2013届成都一诊模拟试题理科数学试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。四川师大附中 2013 届成都一诊模拟试题 理科数学试题 本试题卷包括选择题、填空题和解答...
2013成都一诊理科数学试题及答案
2013成都一诊理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。2013 成都一诊理科数学试题答案高清可立即打印,了解四川第一年新课改命题动向!...
四川省成都市2013届高三一诊模拟考试理科数学试题
四川省成都市 2013 届高三一诊模拟考试 理科数学试题(考试时间: 2012 年 12 月 27 日一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 A 总分:150 分) x...
2014成都一诊数学(理)试题及答案
2014成都一诊数学(理)试题答案_数学_高中教育_教育专区。 今日推荐 180...四川省成都七中2014届高... 10页 免费 2014届成都一诊理科数学... 8页 1...
四川省成都市2013届一诊模拟试题(理综)(含答案)
四川省成都市 2013 届一诊模拟试题 理科综合能力测试本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 300 分。考试时长 150 分钟。 考生务必将...
成都市2013届一诊理科试题和答案
成都市2013届一诊理科试题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。成都市2013...【2013届成都一诊模拟试... 19页 免费 四川省成都市2013届一诊... 13页...
四川省成都市2013届一诊模拟试题(物理)(含答案)
四川省成都市2013届一诊模拟试题(物理)(含答案)_理化生_高中教育_教育专区。四川省成都市 2013 届一诊模拟试题 物 理 说明:本试卷共 8 页,共 100 分。考试...
四川省成都市2013届一诊模拟试题(化学)(含答案)
四川省成都市2013届一诊模拟试题(化学)(含答案) 隐藏>> 四川省成都市 2013 届一诊模拟试题 化本试卷、答题卡和答题纸一并交回。 可能用到的相对原子质量:H ...
更多相关标签:
成都一诊 | 2017成都一诊 | 2016成都一诊 | 成都市2017届一诊时间 | 2017成都高三一诊时间 | 2016成都一诊数学 | 成都一诊数学 | 2017绵阳一诊理科数学 |