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2011届高三数学苏教版创新设计一轮复习随堂练习:3.4 三角函数的应用)


第 4 课时
一、填空题

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象、三角函数的应用

1.(2010·东台中学高三诊断性试卷)若函数 f(x)= 3cos(ω x+φ )(ω >0)的图象的相邻两 条 对称轴的距离是 4π ,则 ω 的值为________. 1 答案: 4 2.

电流强度 I(安培)

随时间 t 变化的函数 I=Asin(ω t+ )的图象如上图所示, 则当 t= 时的电流强度是 解析:依题意:A=10, I=10sin(100π t+ 当 t= ). =0. . ,∴ ,∴ω =100π ,∴



时,得 I=10sin

答案:0 安培 π? ? 3.(江苏省高考名校信息优化卷)已知 x∈[0,m]时,函数 y= 2sin?2x+ ?的值域是 4? ? [1, 2],那么实数 m 的取值范围是________.

解析:如图,函数 y= y= 答案: 的值域是

的图象与直线 y=1 相交,而 x∈[0,m]时,函数 ,故 m∈ .

π 4.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把所得图象 3 1 上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 2 ________.

解析:y=sin x

y=sin?x+ ? 3

? ?

π?

?

y=sin?2x+ ?. 3

? ?

π?

?

π? ? 答案:y=sin?2x+ ?,x∈R 3? ? 5.若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的对称中心为 ________. π? 2π ? 解析:∵f(x)=sin ax+cos ax= 2sin?ax+ ?,∴ =1,∴a=2π . 4 a ? ? π? ? ∴f(x)= 2sin?2π x+ ?, 4? ?

?k 1 ? ∴对称中心为? - ,0?(k∈Z). ?2 8 ? ?k 1 ? 答案:? - ,0?(k∈Z) ?2 8 ?
6.(江苏省高考名校联考信息优化卷)

函数 y=A(sinω x+ )(ω >0,x∈R)的部分图象如图所示,则函数的表达式为 答案:y= 7.(江苏省高考名校联考信息优化卷)函数 f(x)=A(sin 2ω xcos

.

π π 2 +2cos ω x·sin )- 6 6

Asin

π 6

(x∈R,A>0,ω >0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为
? ? ? ? P? ,2?,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q? ,0?.则函数 f(x)的表达式为________. 3 6
1 5

?

?

?

?

π? ? 答案:f(x)=2sin?π x+ ?(x∈R) 6? ? 二、解答题

8.(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知向量 a=(sin x-cos x,cos x),

b=(sin x,3cos x-sin x)(x∈R),且函数 f(x)=a·b.
(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)若 x∈?- , ?时,求 f(x)的最小值; ? 4 4?
(3)设有不相等的实数 x1,x2∈(0,π ),且 f(x1)=f(x2)=1,求 f(x1+x2)的值. 解:因为向量 a=(sin x-cos x,cos x),b=(sin x,3cos x-sin x)(x∈R),且函数

f(x)=a·b,
所以 f(x)=sin x-sin xcos x+3cos x-sin xcos x(x∈R), π? 1-cos 2x 3(1+cos 2x) ? 即 f(x)= -sin 2x+ =2+cos 2x-sin 2x= 2cos?2x+ ?+2. 4? 2 2 ? 2π (1)T= =π . 2 π π 3 π 2 ? ? ? π π? (2)由 x∈?- , ?,得- ≤2x+ ≤ π ,所以 cos(2x+ )∈?- ,1?. 4 4 4 4 4 4 ? ? ? 2 ? π 故当 x= 时,f(x)min=1. 4 π ?π 9 ? (3)因为 x∈(0,π ),所以 2x+ ∈? , π ?. 4 ?4 4 ? π? 2 π π ? 又 f(x)=1,得 cos?2x+ ?=- ,∴2x+ =π ± . 4? 2 4 4 ? π π π π 3 又由题意,得 x1= ,x2= 或 x1= ,x2= ,∴x1+x2= π . 4 2 2 4 4 π? ?3 ? ?3 故 f(x1+x2)=f? π ?= 2cos? π + ?+2=3. 4 2 4? ? ? ?
2 2

9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量 m=(sin ω x,- 3cos ω x),n=

?sin ω x,cos?ω x+π ??(ω >0),若函数 f(x)=m·n 的最小正周期为 π . ? ? ? 2? ? ? ??
(1)求 ω 的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 12 来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的单调递减区间. 解: (1) 由题意得 f(x) = m·n = sin ω x - 3cos ω xcos(ω x + ω xsin ω x
2

π 2 ) = sin ω x + 3cos 2



π? 1 1-cos 2ω x 3 3 1 1 ? + sin 2ω x= sin 2ω x- cos 2ω x+ =sin?2ω x- ?+ . 6? 2 2 2 2 2 2 ?

2π 因为函数 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0,所以 =π ,解得 ω =1. 2ω π ? π? (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 y=f?x+ ?的图象, 再将所得图 12 ? 12?

?x π ? 象横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=f? + ?,即函数 y=g(x)的图 ?4 12?
象. π? 1 ? 由(1)知 f(x)=sin?2x- ?+ , 6? 2 ?

x 1 ? ?x π ? π ? 1 ?x π ? 所以 g(x)=f? + ?=sin?2? + ?- ?+ =sin + . 2 2 ?4 12? ? ?4 12? 6 ? 2
π x 3π 令 2kπ + ≤ ≤2kπ + (k∈Z),解得 4kπ +π ≤x≤4kπ +3π (k∈Z). 2 2 2 因此函数 y=g(x)的单调递减区间为[4kπ +π ,4kπ +3π ](k∈Z).

A A π 10.已知函数 f(x)= - cos(2ω x+ )(A>0,ω >0),且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相 2 2 2
邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2).计算 f(1)+f(2)+…+f(2 008).

A A π A A 解:∵y= - cos(2ω x+ ),且 y=f(x)的最大值为 2,A>0,∴ + =2,A=2. 2 2 2 2 2
1 2π π 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为 2,ω >0,∴ ( )=2,ω = . 2 2ω 4 π π π ∴f(x)=1-cos( x+ )=1+sin x.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 2 2 2 又∵y=f(x)的周期为 4,2 008=4×502,∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

π π 1. 已知函数 y=Asin(ω x+ )+n 的最大值为 4,最小值是 0,最小正周期是 ,若 A>0, 6 2 ω >0,则函数解析式为____________.
? ?A+n=4 解析:依题意知? ?-A+n=0 ?

,∴?

? ?A=2 ?n=2 ?

π 2π 2π .又∵T= ,∴ω = = =4, 2 T π 2

π ∴y=2sin(4x+ )+2. 6 π? ? 答案:y=2sin?4x+ ?+2 6? ?

?π ? ?π ? 2.已知函数 f(x)=asin x+bcos x 的图象经过点? ,0?和? ,1?. ?3 ? ?2 ?
(1)求实数 a 和 b 的值; (2)当 x 为何值时,f(x)取得最大值.

?π ?= 3a+1b=0 ? f ? ?? 2 ?3? 2 解:(1)依题意,有? ?π ?=a=1 ? ? ?f? ?2?

?a=1,b=- 3.

? π? (2)由(1)知:f(x)=sin x- 3cos x=2sin?x- ?. 3? ?
π π 5π 因此,当 x- =2kπ + (k∈Z),即 x=2kπ + (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2. 3 2 6

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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