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2016-2017学年2.2.2《反证法》课件


2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反 证 法 反证法 内容:反证法的概念、步骤 应用: 1.直接证明难以下手的命题 2.“至少”、“至多” 型命题 3.否定性命题 4.某些存在性命题 本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑 推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的

命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引 入新课,从生活实例抽象出反证法的概念、步骤. 让学生感受 到了反证法处处可在,也从这些具体的例子中更加熟悉反证法 的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择,以 及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同 ,且本节内容涉及过多以往知识点的应用,建议教师在使用本 课件时灵活掌握. 在讲述反证法的应用时,采用例题与变式结合的方法,通 过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时,改变 其思维方向,从反面进行思考,问题可能解决得十分干脆。通 过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证 法.采用一讲一练针对性讲解的方式,重点理解和巩固反证法 的运用方法. 1.直接证明的两种基本证法:综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点: 综合法 已知条件 分析法 结论 ????? 结论 由因导果 ????? 已知条件 执果索因 3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程 路边苦李 古时候有个人叫王戎, 7 岁那年的某天,他和小伙伴在路 边玩,看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了,小伙 伴们都跑去摘,只有王戎站着没动.他说:“李子是苦的,我不 吃 .”小伙伴摘来一尝,李子果然苦的没法吃 . 小伙伴问王戎: “这就怪了!你又没吃怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没有 了!李子现在还这么多,所以啊,肯定李子是苦的,不好吃! ” 路边苦李 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗?是什么方法? 反证法 反证法是我们常见的一种证明方法,它隶属于间接证明,今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用. (1)如果有5只鸽子飞进两只鸽笼,至少有3只鸽子在 同一只鸽笼,对吗? (2)A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗?为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明 注:反证法是最常见的间接证法, 反证法:假设命题结论的反面成立, 经过正确的推理,引出矛盾,因此说 明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法.(归谬法) 反证法的思维方法:正难则反 例1:求证: 2 是无理数。 解析:直接证明难以下手的命题,改变 其思维方向,从反面进行思考,问题可 能解决得十分干脆。 例1:求证: 2 是无理数。 证明:假设 2 是有理数 m 则存在互质的整数m,n使得 2 ? ?m ? 2 2n ? m ? 2n 2 2 n ? m 是偶数,从而m必是偶数, 故设m ? 2k (k ? N ) 从而有4k 2 ? 2n2 ,即n2 =2k 2 ? n 是偶数,即n是偶数,这与m,n互质矛盾 2 ?假设不成立,即 2是无理数. ?反证法的证明过程: 否定结论——推出矛盾——肯定结论

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