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2015年广西“创新杯”高二初赛试题及评分标准


2015 年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷
考试时间:2015 年 9 月 20 日(星期日) 8:30--10:30 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题 相应题号后面的括号内) 1、函数 y ? x ? 1 ? x ? 4 ? 1 的零点( (A)只有一个 x ? 0 (C)只有一个 x ? ?4 答案:D。 )

/>
(B)只有一个 x ? 1 (D)无零点

解析:验证地 A、B、C 都不正确,或 x ? 1 ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? 0 。

2、函数 y ? 3 y
1

log 3 x

的图象是( y
1



y 1

y 1
x

O

1

x

O

1

x

O

O

1

x

(A) 答案:A。

(B)

(C)

(D)

?x , x ? 1 解析:特殊点验证 B、C、D 都不正确,或 y ? ? ?1 。 ?x , 0 ? x ? 1
3、如右图,某几何体的正视图与左视图都是边长为 2 的正 方形,且体积为 4。则该几何体的俯视图可以是( )
2 2 2 2
2 正视图

2 2 左视图

2

2

(A)

(B)

(C)

(D)

答案:C。 解析:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 2 的正方形,那么 此几何体是立方体,显然体积是 8,注意到题目体积是 4,知其是立方体的一半, 可知选 C。 4、已知 sin ? ? cos ? ? 2 ,那么 tan ? ? (A)1 (B)

1 的值是( tan ?
(D)



3 2

(C)2

1 2

第 1 页 共 7 页

答案:C。

1 解析:将 sin ? ? cos? ? 2 两边平方有 sin? ? cos? ? , 2
故 tan ? ?

1 sin ? cos? sin2 ? ? cos2 ? ? ? ? ? 2. (由陈敦元老师提供) tan ? cos? sin ? sin ? ? cos?

5、两直线 2 x ? 2 y ? 3 和 3 x ? 3 y ? 2 的夹角为( (A)30? 答案:D。 (B)45? (C)60?

) (D)75?

解析:直线 2 x ? 2 y ? 3 的倾斜角为 135?,直线 3 x ? 3 y ? 2 的倾斜角为 60?,故 它们的夹角为 75?。

? ? ? ? ? ? ? ? 6、若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? c 的最小值为(
(A) 2 ? 1 (B)1 (C) 2 ?1 (D) 2



答案:A。 ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析: a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 3 ? 2(a ? b) ? c , ? ? ? ? ? ? ? 因 为 a ?b ? 0 , 且 a ? b ? c ?1 , 所 以 a ?b ? 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 所 以 (a ? b) ? c ? a ? b c cos ? a ? b, c ?? 2 cos ? a ? b, c ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? a ? b ? c ? 3 ? 2 2 cos ? (a ? b), c ? , 所以当 cos ? (a ? b), c ?? 1 时, a ? b ? c 最小 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 为 a ? b ? c ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 , 所以 a ? b ? c ? 2 ? 1 , 即 a ? b ? c 的最小值为

2 ? 1 ,选 A。或几何法也可得。 (由赵英明老师提供)

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分,请将答案填写在第二页答题区填空题相应 题号后面的横线上) 7、已知集合 A ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? x 3 ? 0} , A ? B ? ? , 则 a 的取值范围是____________. 答案: 0 ? a ? 1 。 解析:函数 y ? x 和 y ? x ,图像如右图,所以集合
2 1 3 1

y

A ? (a,1) , B 应该是 (??, 0) ? (1, ??) 。 而对于 0 ? a ? 1 ,
显然此时 A ? B ? ? ;对于 a ? 0 , A ? (a,1) ,显然此 时 A ? B ? (a, 0) ? ? ;对于 a ? 1 , A ? (1, a ) ,此时不可
第 2 页 共 7 页

y=x2 1

1 y=x3

0

1

x

能有 A ? B ? ? ; 若 a ? 1, 则 A??, 则显然此时 A ? B ? ? 。 综合上述, 有 0 ? a ? 1。 (本题由李燕娥老师提供) 8、 三棱锥 A ? BCD 中,E , F 分别是 AC , BD 的中点, 若 CD ? 4, AB ? 2 , 且 EF ? AB, 则 EF 与 CD 所成的角为 答案: 30 ? 。 解析:如图,取 BC 的中点 G,有 EG=1,FG=2,∠ FEG=90?,于是∠EFG=30?,即所求。 。
A

E

D F G B

C

9、 已知函数 y ? a x ?3 x?3 , 当 x∈[1,3]时有最小值 8, 则实数 a 的值为 答案:16。

2



a ?1 ? ?0 ? a ? 1 3 ? 解析:当 x∈[1,3]时,有 t ? x ? 3 x ? 3 ? [ ,3] 。故有 ? 3 或者 ? 3 。 4 4 ?a ? 8 ? a ? 8 ? a ?1 ? ?0 ? a ? 1 ? 3 而当 a ? 8 时有 a ? 2 ,故 ? 3 无解;求解 ? 3 得 a ? 16 。 4 ?a ? 8 ? a ? 8 ?
2

10、 sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? ? 答案:



1 。 16 cos 6? sin 6? cos 48? cos 24? cos12? cos 6?

解析: sin 6? cos 48? cos 24? cos12? ?

?

sin12? cos12? cos 24? cos 48? sin 24? cos 24? cos 48? sin 48? cos 48? ? ? 2 cos 6? 4 cos 6? 8cos 6?

sin 96? 1 ? ? . ? 16 cos 6 16
11、 若定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且当 0 ? x ? 1 时,

1 f ( x) ? log 3 x ,则方程 f ( x) ? ? ? f (0) 在区间 (0 , 10) 内的所有实根之和 3 为 。
答案:30。
第 3 页 共 7 页

答案:30。 解 析 : 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 以 及 f ( x)奇 函 数 知 ,

f ( x ? 2) ? f (? x) ? ? f ( x) ,因此 f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) , f ( x) 是周期函数,4
是它的一个周期.

1 由 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,知 f (0) ? 0 ,方程 f ( x) ? ? ? f (0) 化为 3 1 f ( x) ? ? . 3 1 结合图象可知, f ( x) ? ? 在 (0 , 1) 、 (1 , 2) 内各有一个实根,且这两根之和 3 1 1 为 2;f ( x) ? ? 在 (4 , 且这两根之和为 10;f ( x) ? ? 5) 、 (5 , 6) 内各有一个实根, 3 3
在 (8 , 9) 、 (9 , 10) 内各有一个实根,且这两根之和为 18.

1 所以,方程 f ( x) ? ? ? f (0) 在区间 (0 , 10) 内有 6 个不同的实根,这 6 个实 3 根之和为 30.
12、一个三角形的三边长分别为 a,a,b,另一个三角形的三边长分别为 a,b, b,其中 a>b,若两个三角形的最小内角相等,则 答案:

a 的值为 b



5 ?1 。 2
A α D B C

解析:设△ABC 中,AB=AC=a,BC=b,如图 D 是 AB 上一点,有 AD=b,因 a>b,故∠A 是△ABC 的最小角, 设∠A=α,则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为α,从 而它与△ABD 全等,所以 DC=b,∠ACD=α,因有公共 底角∠B,所以有等腰△ABC∽等腰△CBD,从而得

BC BD b a?b a a 5 ?1 . ? , 即 ? ,令 x ? , 即得方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 解得 x ? ? AB BC a b b b 2

以下为答题区域
请将选择题、填空题的答案填写在下面相应位置
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
第 4 页 共 7 页

1、 (

D

) ;2、 ( A

) ; 3、 (

C

) ;4、 (

C

) ;5、 (

D

) ;6、 ( A

).

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
7、______ 0 ? a ? 1 ________; 8、______ 30 ________; 9、_______16__________;
?

10、______

1 _________; 16

11、_______30_______;12、______

5 ?1 _______. 2

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13、 (20 分)求函数 f ( x) ? 2(2 cos x ? 1) sin 2 x ? cos 3 x( x ? R ) 的最大值。 解: f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 sin 2 x ? cos(2 x ? x) …………5 分

? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 sin 2 x ? cos 2 x cos x ? sin 2 x ? sin x ? sin 2 x ? sin x ? cos 2 x cos x ? 2 sin 2 x ? cos(2 x ? x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? cos x ? ?2 cos 2 x ? cos x ? 2 1 17 ? ?2(cos x ? ) 2 ? 4 8 1 17 当 cos x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 。 4 8
…………10 分 …………15 分 …………20 分

14 、 ( 20 分 ) 已 知 P 是 直 线 l : 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 上 的 动 点 , PA 、 PB 是 圆 2 x ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线, C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值。 解:圆的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 圆心为 C (1,1) ,半径为 r ? 1 。 根据对称性可知四边形 PACB 面积等于 1 2 2 S ?APC ? 2 ? PA r ? PA ? PC ? r 2 , 2 要使四边形 PACB 面积的最小值,则只需 PC 最小, 此时最小值为圆心到直线 l : 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 3 ? 4 ? 11 10 d? ? ?2, 5 32 ? 42 所以四边形 PACB 面积的最小值为

…………5 分

…………10 分

…………15 分

2 S ?APC ?

PC ? r 2 ? 4 ? 1 ? 3 .

2

…………20 分

(由赵英明老师提供)
第 5 页 共 7 页

15、 (20 分)如图,已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,线段 DE 经过 ???? ??? ? ??? ? ???? 点G , 并绕点 G 转动, 分别交边 AB 、AC 于点 D 、E ; 设 AD ? m AB ,AE ? n AC , 其中 0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1 . 1 1 (1)求表达式 ? 的值,并说明理由; m n (2)求 ?ADE 面积的最大和最小值,并指出相应的 m 、 n 的值.
A

E D B F G C

15.解: (1)如图延长 AG 交 BC 与 F,? G 为△ABC 的中心, 1 1 ? F 为 BC 的中点,则有 AF ? AB ? AC , 2 2 2 ? AD ? m AB , AE ? n AC , AG ? AF , 3 3 1 1 ? AG ? AD ? AE , 2 2m 2n 1 1 即 AG ? AD ? AE , 3m 3n 1 1 ? D、G、E 三点共线,? ? ? 1。 3m 3n 1 1 ? =3。 故 ……………………………5 分 m n (2)? △ABC 是边长为 1 的正三角形, 3 ? AD ? m , AE ? n 。? S ?ADE = mn, 4 1 1 m 1 1 由 ? =3,0<m ? 1,0<n ? 1? n= , 1 ? ? 2 ,即 ? m ? 1 。 m n 3m ? 1 m 2 2 3 3 m mn= ? S ?ADE = 。 …………10 分 4 4 3m ? 1 1 1 1 2 3 3 1 2 设 t=m- 则 m=t+ ( ? t ? )? S ?ADE = mn= (t+ + ) 3 3 6 3 4 12 9t 3 1 ?1 1? ?1 2 ? 易知 f ?t ? ? t ? 在 ? , ? 为减函数,在 ? , ? 为增函数。 9t ? 6 3? ?3 3 ? 1 2 2 ? t= ,即 m ? n ? ,时, f ?t ? 取得最小值 , 3 3 3
第 6 页 共 7 页

即 S ?ADE 取得最小值

3 。 9

…………15 分

5 ?1? ?2? 5 又 f ? ? ? f ? ? ? ,? f ?t ? 取得最大值是 , 6 ?6? ?3? 6 3 所以 S ?ADE 取得最大值 , 8 1 2 1 此时 m ? , n ? 或 m ? 1, n ? 。 2 5 2

…………20 分

第 7 页 共 7 页


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