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2011届高三数学苏教版创新设计一轮复习随堂练习:3.3 三角函数的周期性)


第 3 课时
一、填空题

三角函数的周期性、三角函数的图象与性质

1.(扬州市高三期末调研测试)函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x 的最小正周期是________. π? 2π ? 解析:∵f(x)=sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+ ?,∴f(x)的最小正周期 T= =π . 3? 2 ? 答案:π

π? ? 2.函数 y=3sin?2x+ ?,x∈[0,π ]的单调递减区间________. 4? ? π π 3π π 5π 解析:由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 4 2 8 8 π 5π 1 3 由 x∈[0,π ]得 0≤kπ + 且 kπ + ≤π ,于是- ≤k≤ ,∵k∈Z, 8 8 8 8 π? ? ?π 5π ? ∴k=0,∴y=3sin?2x+ ?在[0,π ]上的单调递减区间为? , ?. 4 8 ? ? ? ?8 答案:?

?π ,5π ? 8 ? ?8 ?
2

3.函数 y=(sin x-a) +1,当 sin x=a 时有最小值,当 sin x=1 时有最大值,则 a 的 取值范围是________. 解析:∵函数 y=(sin x-a) +1 当 sin x=a 时有最小值,∴-1≤a≤1, ∵当 sin x=1 时有最大值, ∴a≤0,∴-1≤a≤0. 答案:-1≤a≤0
2

? 2π 2π ? 4.(苏北四市高三第二次联考)若函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?- , ?上单调递增,则 3 ? ? 3
ω 的最大值为________. 2π 2π 3 3 解析:由题意得 ≥ ,∴0<ω ≤ ,则 ω 的最大值为 . 4ω 3 4 4 3 答案: 4 π 5.(江苏省高考命题研究专家原创卷)将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位,再将 6 所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标保持不变,得到图象 C,则图象 C 所对应的函数 g(x)的单调递减区间为________. π 解析:将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 ,所得图象对应的函数解析式为 y=cos2(x 6

- π? π ? ),即 y=cos?2x- ?,再将其所对应的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐 3? 6 ? π? ? 1 标保持不变,得到的图象 C 所对应的函数解析式为 y=cos?2× ×x- ?,即 g(x)= 3? ? 4

x π 2 8 ?x π ? cos ? - ? . 再 由 2kπ ≤ - ≤2kπ + π (k∈Z) , 解 得 4kπ + π ≤x≤4kπ + 2 3 3 3 ?2 3 ? π (k∈Z),故得
所求函数 g(x)的单调减区间为

?4kπ +2π ,4kπ +8π ?(k∈Z). ? ? 3 3 ? ?
2 8 ? ? 答案:?4kπ + π ,4kπ + π ?(k∈Z) 3 3 ? ?

6.已知函数 y=2cos x(0≤x≤1 000π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则 这个封闭的图形的面积是________. 解析:如图,y=2cos x 的图象在[0,2π ]上与直线 y=2 围成封闭图形的面积为 S=4π , 所以在[0,1 000π ]上封闭图形的面积为 4π ×500=2 000π . 答案:2 000π 2sin x-3sin x 7.(南通市调研考试)函数 f(x)= 2 的值域为________. (2sin x+3)
2

?t-3?2-3×t-3 2? ? 2 ? 2 ? t-3 1 解析:设 t=2sin x+3∈[1,5],则 sin x= ,f(x)=g(t)= = - 2 2 t 2 9 9 + 2 2t t
1 ?3 3?2 1 =? - ? - ,所以当 t=4 时,g(t)取得最小值- ;当 t=1 时,g(t)取得最大值 5. 16 ?t 4? 16

? 1 ? 答案:?- ,5? ? 16 ?
二、解答题 8.(苏州市高三教学调研测试)已知函数 f(x)=sin x+2 3sin xcos x+3cos x. (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)已知 f(α )=3,且 α ∈(0,π ),求 α 的值.
2 2

π? ? 解:(1)f(x)= 3sin 2x+cos 2x+2=2sin?2x+ ?+2, 6? ? π π π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),得- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z). 2 6 2 3 6 π ? π ? ∴函数 f(x)的单调增区间为?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 6 ? 3 ? π? π? 1 ? ? (2)由 f(α )=3,得 2sin?2α + ?+2=3.∴sin?2α + ?= . 6? 6? 2 ? ? π π π π 5 π ∵0<α <π ,∴ <2α + <2π + ,∴2α + = π ,∴α = . 6 6 6 6 6 3 9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量 a=( 3sin x,cos x),b=(cos x,cos x), 设函数 f(x)=2a·b+2m-1(x,m∈R). (1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间;

? π? (2)当 x∈?0, ?时,函数 f(x)的最小值为 5,求 m 的值. 2? ?
π? ? 2 解:(1)f(x)=2 3sin xcos x+2cos x+2m-1= 3sin 2x+cos 2x+2m=2sin?2x+ ? 6? ? + 2m, π π π π π 令- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),∴- +kπ ≤x≤ +kπ , 2 6 2 3 6 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 6 ? 3 ? π ? π 7π ? ? π? (2)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 2? 6 ? 6 ?6 ? π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,函数 f(x)取得最小值 2m-1.∴2m-1=5,∴m=3. 6 6 2 10.(2010·金陵中学上学期期中卷)已知 f(x)=4msin x-cos 2x(x∈R). (1)若 m=0,求 f(x)的单调递增区间;(2)若 f(x)的最大值为 3,求实数 m 的值. 解:(1)当 m=0 时,f(x)=-cos 2x,令 2kπ ≤2x≤2kπ +π (k∈Z),得 kπ ≤x≤kπ π + (k∈Z). 2 π? ? 因此 f(x)=-cos 2x 的单调增区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? (2)f(x)=4msin x-cos 2x=2sin x+4msin x-1=2(sin x+m) -(2m +1) 令 t=sin x,则 g(t)=2(t+m) -(2m +1)(-1≤t≤1).
2 2 2 2 2

?1+4m=3 ? ①若-m≤0,则在 t=1 时,g(t)取最大值 1+4m.由? ?-m≤0 ?

1 ,得 m= ; 2

②若-m>0,则在 t=-1 时,g(t)取最大值 1-4m.
?1-4m=3 ? 由? ? ?-m>0

1 1 ,得 m=- .综上,m=± . 2 2

1.(2010·扬州中学上学期期中卷)设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(m,cos 2x),b=(1+

?π ? sin 2x,1),x∈R,且 y=f(x)的图象经过点? ,2?. ?4 ?
(1)求实数 m 的值;(2)求 f(x)的最小正周期.

?π ? 解:(1)f(x)=a·b=m(1+sin 2x)+cos 2x,∵图象经过点? ,2?, ?4 ?
π? π ?π ? ? ∴f? ?=m?1+sin ?+cos =2,解得 m=1. 2? 2 ?4? ? π? 2π ? (2)当 m=1 时,f(x)=1+sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?+1,∴T= =π . 4 2 ? ? 2.已知函数 f(x)=sin x+2sin xcos x+3cos x,x∈R,求: (1)函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f(x)的单调增区间. 1-cos 2x 3(1+cos 2x) 解:(1)解法一:∵f(x)= +sin 2x+ =2+sin 2x+cos 2x 2 2 π? π π π ? =2+ 2sin?2x+ ?,∴当 2x+ =2kπ + (k∈Z),即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)取 4? 4 2 8 ? 得最大 π 值 2+ 2.因此,f(x)取得最大值的自变量 x 的集合是{x|x=kπ + ,k∈Z}. 8 解法二:∵f(x)=(sin x+cos x)+sin 2x+2cos x=1+sin 2x+1+cos 2x=2+ 2 π? ? sin?2x+ ?, 4? ? π π π ∴当 2x+ =2kπ + (k∈Z),即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+ 2.因此, 4 2 8 f(x)
? ? π ? 取得最大值的自变量 x 的集合是?x?x=kπ + ,k∈Z 8 ? ? ? ? ? ?. ? ?
2 2 2 2 2

π? π π π ? (2)f(x)=2+ 2sin?2x+ ?.由题意得 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 4 2 4 2 ? ?

3π π? 3 π ? 即 kπ - π ≤x≤kπ + (k∈Z).因此, f(x) 的单调增区间是 ?kπ - ,kπ + ? 8 8? 8 8 ? (k∈Z).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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