导数的应用

专题五 导数的应用（理） 康训德 从 2014 年高考题中看，有关导数应用的题型大致分为： 一．讨论单调性，求极值，比较大小。 例 1（2014 年全国新课标 I 理 21 题） （12 分） 设 函 数 f ( x) ? ae ln x ?
x

bex ?1 ， 曲 线 y ? f ( x) 在 点 （ 1 ， f ( x) ） 处 的 切 线

方 程 为 x

y ? e( x ? 1) ? 2
（I）求 a , b （II）证明 f ( x ) >1 解： （I） f ( x) ? ae ln x ?
' x

aex x( x ? 1)bex ?2 ? bex ?1 ? x x2

x ?1

? ae ? b

a ?1 ae ? b ? e f (1) ? b 依题意有 { ?{ b?2 b?2
（Ⅱ）由(Ⅰ)知， f ( x) ? e ln x ?
x

2e x ?1 此时 f ( x) ? e ln x ? x
x

2e x ?1 2 ， f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? x e
? ? 1? e? ?1 ?e ? ?

设函数 g ( x) ? x ln x ，则 g ??x ? ? 1 ? ln x. 当 x ? ? 0, ? 时， g ?( x) ? 0 ，当 x ? ? , ?? ?

? 1? ?1 ? g ?( x) ? 0 ，? g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减，在 ? , ?? ? 单调递增，从而 g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? e? ?e ?
1 1 g( ) ? ? . e e 2 ?x 设 函 数 h( x) ? xe ? x ? ， 则 h?( x) ? e ?1 ? x ? ， 所 以 当 x ? ? 0,1? 时 ， h?( x ) ? 0 ， 当 e

x ? ?1, ?? ? 时，h?( x) ? 0 ， 在 ?1, ?? ? 单调递减， ? h( x) 在 ? 0,1? 单调递增， ? h( x ) 在 x ? 1
取得最大值为 h(1) ? ? . 综上：当 x ? 0 时， g ( x) ? h( x) ，即 f ( x) ? 1 . 例 2（2014 年安徽卷.理 18 题） （12 分）
2 3 设函数 f(x) ? 1 ? ( 1 ? a)x-x ? x 其中 a ? 0

1 e

(I)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性； (II)当 x ? [0,1] 时，求 f(x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

解： （I） f ( x ) 的定义域为 (??,??)

f ?( x) ? 1 ? a ? 2x ? 3x 2 令 f ?( x) ? 0 得：
x1 ? x2

x1 ?

? 1 ? 4 ? 3a 3

x2 ?

? 1 ? 4 ? 3a 3

? f ?( x) ? ?3( x ? x1 )(x ? x2 )
? f ( x) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 ,??) 上单调递减，在 ( x1 , x2 ) 上单调递增。
（II）? a ? 0

? x1 ? 0

x2 ? 0

（i）当 a ? 4 时, x2 ? 1 ，由（I）知 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增，所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处 分别取得最小值和最大值. （ii） 当 0< a <4 时， x2<1,由 （I） 知 f(x)在 ?0, x2 ? 上单调递增， 在 ?x 2 ,1? 上单调递减. ? f(x)

? 1 ? 4 ? 3a 处取得最大值 .又 f(0)=1 .f(1)=a ? 当 0< a <1 时,f(x)在 x=1 3 处取得最小值. 当 a ? 1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值. 当 1 ? a ? 4 时,f(x)
在 x ? x2 ? 在 x=0 处取得最小值. 二．讨论单调性，求待定系数的范围. 例 3（2014 年全国新课标卷 II.理科 21 题） （12 分） 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ? 2 x ． （I）讨论 f ( x ) 的单调性； （II）设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ，当 x ? 0 时， g ?x ? ? 0. 求 b 的最大值； （III）已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143，估计 ln 2 的近似值（精确到 0.001） ．

解： （I） f ?( x) ? e x ? e ? x ? 2 ? 0 ，等号仅当 x ? 0 时成立. 所以 f ( x ) 在 (??,??) 上单调递增。 （II） g ( x) ? f (2x) ? 4bf ( x) ? e 2 x ? e ?2 x ? 4b(e x ? e ? x ) ? (8b ? 4) x

g ?( x) ? 2[e 2 x ? e ?2 x ? 2b(e x ? e ? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(e x ? e ? x ? 2)(e x ? e ? x ? 2b ? 2)
（i） 当 b ? 2 ，g ?( x) ? 0 ， 等号仅当 x ? 0 时成立。 所以 g ( x) 在 (??,??) 单调递增。 而 g (0) ? 0 ，所以对任意 x ? 0, g ( x) ? 0 ；

x ?x （ii）当 b ? 2 时，若 x 满足 2 ? e ? e ? 2b ? 2 ，

即 0 ? x ? ln( b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时 ， g ?( x) ? 0 ， 而 g (0) ? 0 ， 因 此 当

0 ? x ? ln( b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时， g ( x) ? 0 .
综上， b 的最大值为 2. （III）由（II）得 g (ln 2 ) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2
3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 ， ln 2 ? ? 0.6928 2 12

当 b ? 2 时， g (ln 2 ) ?

当b ?

3 2 ? 1 时， ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) ? ln 2 4

3 g (ln 2 ) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 2

ln 2 ?

18 ? 2 ? 0.6934 28

所以 ln 2 的近似值为 0.693. 例 4（2014 年山东卷..理 20 题)(13 分） 设函数 f ? x ? ?

ex 2 ? k ( ? ln x) （ k 为常数， k ? 2.71828 ? 是自然对数的底数） 2 x x

（I）当 k ? 0 时，求函数 f ? x ? 的单调区间； （II）若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点，求 k 的取值范围. 解： （I）函数 y ? f ?x ? 的定义域为 ?0,??? .

f ??x ? ?

x x x 2 e x ? 2 xe x k ?x ? 2? ?x ? 2? e x ? kx ? 2 1 ? xe ? 2e ? k? ? 2 ? ? ? ? ? . x? x4 x3 x2 x3 ? x

?

?

x 由 k ? 0. 可得 e ? kx ? 0. ? 当 x ? ?0,2? 时， f ??x ? ? 0. f ?x ? 单调递减；当 x ? ?2,??? 时，

f ??x ? ? 0. f ?x ? 单调递增.? f ?x ? 单调递减区间为 ?0,2? ，单调递增区间为 ?2,??? .

（II）由（I）知 k ? 0 时， f ?x ? 在 ?0,2? 内单调递减，? f ?x ? 在 ?0,2? 内不存在极值点；当

k ? 1 时，由 e x ? e ln k ? 0. 得 x ? ln k. ? x ? ?0, ln k ? 时， g ??x ? ? 0. y ? g ?x ?单调递 减; x ? ?ln k ,??? 时， g ??x ? ? 0. y ? g ?x ?单调递增.? y ? g ?x ? 的最小值为

k ? 0 时，设函数 g ?x? ? e x ? kx. x ? ?0,???.g ??x? ? e x ? k ? e x ? e ln k . 当 0 ? k ? 1 时，当 x ? ?0,2? 时， g ??x? ? e x ? k ? 0. y ? g ?x ? 单调递增.? f ?x ? 在 ?0,2? 内不存在极值点，当

? g ?0? ? 0 ? g ?ln k ? ? 0 ? ，解得 g ?ln k ? ? k ?1 ? ln k ? ? 函数在 ?0,2? 内存在两个极值点，当且仅当 ? ? ? g 2 ? 0 ? ? ?0 ? ln k ? 2 ? e2 ? e2 e ? k ? . 综上所述：函数 f ?x ? 在 ?0,2? 内存在两个极值点时， k 的取值范围为 ? ? e, 2 ? ?. 2 ? ?
例 5（2014 年重庆卷.理 20 题） （12 分） 已知函数 f ?x ? ? ae2 x ? be?2 x ? cx （a， b， c∈R） 的导函数， f ?? x ? 为偶函数， 且曲线 y ? f ?x ? 在点（0，f（0） ）处的切线的斜率为 4﹣c． （Ⅰ ）确定 a，b 的值； （Ⅱ ）若 c=3，判断 f（x）的单调性； （Ⅲ ）若 f（x）有极值，求 c 的取值范围． 解： （Ⅰ ）对 f ?x ? 求导得 f ??x? ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c .由 f ?? x ? 为偶函数知： f ??? x ? ? f ??x ? . 即 2?a ? b? e2 x ? e?2 x ? 0 .? e

?

?

2x

? e?2 x ? 0 ? a ? b .又 f ??0? ? 2a ? 2b ? c ? 4 ? c .即

2a ? 2b ? 4 .? a ? 1.b ? 1 .
（Ⅱ ）当 c ? 3 时， f ?x ? ? e2 x ? e?2 x ? 3x ， 那么 f ??x ? ? 2e 2 x ? 2e ?2 x ? 3 ? 2 2e 2 x ? 2e ?2 x ? 3 ? 1 ? 0

? f ?x ? 在 R 上为增函数.
（Ⅲ ）由（Ⅰ ）知 f ??x ? ? 2e
2x

? 2e?2 x ? c. 而 2e2 x ? 2e?2 x ? 2 2e2 x ? 2e?2 x ? 4. 当 x ? 0 时，

等式成立，下面分三种情况进行讨论. 当 c ? 4 时，对任意 x ? R. f ??x? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 0. 此时 f ?x ? 无极值. 当 c ? 4 时，对任意 x ? 0. f ??x? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 4 ? 0. 此时 f ?x ? 无极值. 当 c ? 4 时，令 e
2x

? t. 注意到方程 2t ?

2 c ? c 2 ? 16 ? c ? 0. 有两根 t1.2 ? ? 0. 即 t 4

f ??x ? ? 0 有两个根 x1 ?

1 1 ln t1 或 x2 ? ln t 2 .当 x1 ? x ? x2 时. f ??x? ? 0. 又当 x ? x2 时 2 2

f ??x? ? 0. 从而 f ?x ? 在 x ? x2 处取得最小值.
综上.若 f ?x ? 有极值.则 c 的取值范围为 ?4,??? . 例 6（2014 江西卷..理 18 题） （12 分） 已知函数 f ?x? ? x 2 ? bx ? b 1 ? 2x .（ b ? R ）.

?

?

（Ⅰ ）当 b ? 4 时.求 f ?x ? 的极值. （Ⅱ ）若 f ?x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增.求 b 的取值范围.

? 1? ? 3?

解： （Ⅰ ）当 b ? 4 时. f ?? x ? ?

? 5 x? x ? 2 ? . 由 f ??x ? ? 0 .得 x ? ?2 或 x ? 0. 1? 2x

当 x ? ?? ?,?2? 时. f ??x ? ? 0. f ?x ? 单调递减. 当 x ? ?? 2,0? 时. f ??x ? ? 0 . f ?x ? 单调递增. 当 x ? ? 0, ? 时. f ??x ? ? 0. f ?x ? 单调递减.

? ?

1? 2?

? f ?x ? 在 x ? ?2 处取得极小值 f ?? 2? ? 0. 在 x ? 0 处取得极小值 f ?0? ? 4.
（Ⅱ ） f ?? x ? ?

? x?5 x ? ?3b ? 2?? ?x ? 1? ? 1? . 因为当 x ? ? 0, ? 时， ? 0. 依题意，当 x ? ? 0, ? 1? 2x 1? 2x ? 3? ? 3?
5 1 1? ? ? ?3b ? 2? ? 0 ? 3b ? . 所以 b 的取值范围为 ? ? ?, ?. 3 3 9? ?

时.有 5 x ? ?3b ? 2? ? 0. 从而

三.新题型的探索. 例 7（2014 年湖北卷..理 22 题）(14 分） ? 为圆周率, e ? 2.71828 ? ? ? ? 为自然对数的底数. （Ⅰ ）求函数 f ? x ? ?
3 e

ln x 的单调区间. x
?
3

（Ⅱ ）求 e .3 .e .? .3 .? 这六个数中的最大数和最小数.
e

?

（Ⅲ ）将 e .3 .e .? .3 .? 这六个数按从小到大顺序排列,并证明你的结论.
3 e e 3

?

?

解： （Ⅰ ）函数 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x . 的定义域为 ?0,?? ?. f ?? x ? ? x x2

当 x ? ?0, e? 时. f ??x ? ? 0. 当 x ? ?e,??? 时. f ??x ? ? 0.

? 函数 f ?x ? 在 ?0, e ? 上为增函数，在 ?e,??? 上为减函数.
（Ⅱ ）? e ? 3 ? ? .? e ln 3 ? e ln ? .? ln e ? ? ln 3. 即 ln 3 ? ln ? . ln e ? ln 3 .
e e

?

?

x x 于是根据函数 y ? ln x. y ? e . y ? ? 在定义域上单调递增可知. 3 ? ? ? ? .e ? e ? 3 .
e e 3 3

?

?

? 这六个数中的最大数在 ? 3 与 3? 之中，最小数在 3e 与 e 3 之中.

又 e ? 3 ? ? 是（Ⅰ ）的结论得 f ?? ? ? f ?3? ? f ?e?. 即

ln ?

?

?

ln 3 ln e ln ? ln 3 ? .由 ? 得 3 e ? 3

ln 3 ln e ? ? ln 3e ? ln e3 . ? 3e ? e3 . ln ? 3 ? ln 3? . ? 3? ? ? 3 . 由 3 e
综上.这六个数中最大数是 3 .最小数是 3 .
?
e

ln e ? ? e ? e? . 只需比较 e 3 ? e 1 ln x 1 e ? 3 ? . 在上式中令 与 ? 和 e 与 ? 的大小.由 （Ⅰ ） 知.当 0 ? x ? e 时, f ? x ? ? f ?e ? ? . 即 x e e
（Ⅲ ） 由 （Ⅱ ） 知 3e ? ? e ? ? 3 ? 3? ,3e ? e3 . 又由 （Ⅱ ） 知

ln ?

?

x?

e2

?

.又

e2

?

? e. 则

e2

?

?

e

?

. 从而 2 ? ln ? ?

e

?

. 即 ln ? ? 2 ?

e

?

① .由① 得

e? 2.72 ? ? ? e 3 e ln ? ? e? 2 ? ? ? 2.7 ? ? 2 ? ? ? 2.7 ? ?2 ? 0.88? ? 3. 即 e ln ? ? 3. 亦得 ln ? ? ln e . ?? 3.1 ? ? ?
? e3 ? ? e . 又由① 得 3 ln ? ? 6 ?
e 3 e

3e

?
3

? 6 ? e ? ? . 即 3 ln ? ? ? . ? e? ? ? 3 .
?

综上可得. 3 ? e ? ? ? e ? ? ? 3 . 例 8（2014 年辽宁卷.理 21） （12 分） 已知函数

?

f ? x ? ? ?cos x ? x ??? ? 2 x ? ?

8 2x ? ?sin x ? 1?. g ?x ? ? 3?x ? ? ?cos x ? 4?1 ? sin x ?ln? ? 3 ? ?. 3 ? ? ?

证明： （Ⅰ ）存在唯一 x0 ? ? 0,

? ?? ?. 使 f ?x0 ? ? 0 . ? 2?

（Ⅱ ）存在唯一 x1 ? ?

?? ? ）中的 x0 有 x0 ? x1 ? ? . , ? ?. 使 g ?x1 ? ? 0. 且对（Ⅰ ?2 ?

证明： （Ⅰ ）当 x ? ? 0,

2 ? ?? ? 时, f ??x ? ? ??1 ? sin x ??? ? 2 x ? ? 2 x ? cos x ? 0. 函数 f ?x ? 在 3 ? 2?

8 16 ? ?? ?? ? 2 ? 0, ? 上为减函数,又 f ?0? ? ? ? ? 0. f ? ? ? ?? ? ? 0. 3 3 ? 2? ?2?
? ?? ? 存在唯一 x0 ? ? 0, ? 使 f ?x0 ? ? 0 . ? 2?
（Ⅱ ）考虑函数 h?x ? ?

3?x ? ? ? cos x 2x ? ?? ? ? ? 4 ln? 3 ? ?. x ? ? , ? ? . 1 ? sin x ? ? ?2 ? ?

令 t ? ? ? x, 则当 x ? ? 则 u ??t ? ?

3t cost ?? ? ? ?? ? 2 ? , ? ? 时， t ? ?0, ?. 记 u?t ? ? h?? ? t ? ? ? 4 ln?1 ? t ?. 1 ? sin t ?2 ? ? 2? ? ? ?

3?cost ? t sin t ??1 ? sin t ? ? 3t cos2 t 2 4 3 f ?t ? ? ? ? . 2 ? 1 ? 2 t ?? ? 2t ??1 ? sin t ? ?1 ? sin t ?

?

由 （Ⅰ ） 得,当 t ? ?0, x0 ?. 时, u ??t ? ? 0. 当 t ? ? x0 ,

? ?

??

? 时, u ??t ? ? 0. 在 ?0, x0 ? 上, u ?t ? 是增函数， 2?
? ?

又 u?0? ? 0 .从而当 t ? ?0, x0 ? 时, u?t ? ? 0. ? u?t ? 在 ?0, x0 ? 上无零点， 在 ? x0 , 函数， 由 u ?x0 ? ? 0.u?

??

? 上 u ?t ? 为减 2?

? ?? ?? ? ? ? ?4 ln 2 ? 0. 知存在唯一 t ? ? x0 , ? 使 u?t ? ? 0. 因此存在唯一的 2? ? ?2?

? ?? ?? ? t1 ? ? 0, ? 使 u ?t1 ? ? 0. 因此存在唯一的 x1 ? ? ? t1 ? ? , ? ?. 使 ? 2? ?2 ? ?? ? h?x1 ? ? h?? ? t1 ? ? u?t1 ? ? 0. 因为当 x ? ? , ? ? 时. 1 ? sin x ? 0. ?2 ?

? g ?x ? ? ?1 ? sin x ?h?x ? 与 h?x ? 有相同的零点.
?? ? ? 存在唯一的 x1 ? ? , ? ?. 使 g ?x1 ? ? 0. ?2 ?

? x1 ? ? ? t1 .t1 ? x0 . ? x0 ? x1 ? ?