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福建省莆田一中2013届高三上学期期末考试数学理试题


福建省莆田一中 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、若集合 A ? x x ? 1 , B ? y y ? x 2 , x ? A A. A ? B B. A ? B

?

?

?

? ,则(

) D. A ? B ? ? )

C. B ? A

2、已知函数 f ? x ?? x ? R ? 为奇函数, g ? x ?? x ? R ? 是偶函数,则( A.函数 f ? g ? x ? ? 是奇函数 ? ? C.函数 f ? x ? g ? x ? 是奇函数 3、 ? ? ? ? “ A. 充要
?
4

B.函数 g ? f ? x ? ? 是奇函数 ? ? D. 函数 f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数 )条件 D. 既不充分也不必要 )

”是“ ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 2 ”的 ( B. 充分不必要 C. 必要不充分

4、已知 S n 是等差数列 ?an ? 前 n 项和,且 S5 ? S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是( A.公差 d ? 0 B. a7 ? 0 C. S9 ? S5 D. S6 , S7 均为 S n 最大值

5、已知某几何体的三视图如上右图所示,其中正视图,侧视图 由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图 数据可得此几何体的体积为( ) A.

均是 中的

2? 1 ? 3 2
2? 1 ? 6 6

B.

4? 1 ? 3 6

C.

D.

2? 1 ? 3 2

? x ? y ?1 3 4 ? 6、已知 x, y 满足 ? x ? y ? ?1 若目标函数 z ? ax ? by, ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 7,则 + 的 a b ?2 x ? y ? 2 ?
最小值为( A.14 ) B.7 C.18 D.13

7、如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概 率为( )
·1·

A. C.

1 4

B. D.

1 5

1 6

1 7

8、在棱长为 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 P 是其棱上动点,则满足|PA|+|PC1|=2 的点 P 有( )个 A.4 B.6 C.8 D.12 9、点 F1,F2 分别是双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C a 2 b2

的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3: 4 : 5,则双曲线的离 心率为( A. 13 ) B. 15 C.2 D. 3 )

10、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是( ①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

③若 a 3 ? b3 ? c 3 ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a 2 ? b 2 )c 2 ? 2a 2b 2 ;则 C ? A.①② B.①②③

?
3

C.①②③④

D.②③⑤

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1 ? tan A ? 2c ,则角 A 的大小为
tan B b

2 12、 ( 3 x ? ) n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则它的常数项是 x ??? ? ???? ???? ??? ? 13、在四边形 ABCD 中,AB⊥BC, AD⊥DC, 若| AB |=1,| AD |=2,则 AC ? BD =



14、4 匹赛马冲过终点线(存在多匹马同时撞线的可能) ,有 (用数字作答) 15、若数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ?1? an ? n , S n 是其前 n 项和,则 S 4n =
n

种不同的先后顺序

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
·2·

? ? ? ? ? 1 ? 16、 (13 分) 已知向量 a ? ? sin ? x,1? ,b ? ? 3 cos ? x, cos 2? x ? , ?? ? 0 ? , 函数 f ? x ? ? a ? b 2 ? ?
的最小正周期为 ? . (1)求 ? 及函数的单调递减区间;
? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短 12 1 5? 为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, ] 上的值域. 2 24

(2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

18、 (13 分)一个口袋中装有大小相同的红、黄、绿三种颜色的小球,其中红球 1 个, 黄球 2 个,绿球 3 个。 ( 1) 如 果 从口袋中摸出的 3 个球,求摸出的球的颜色互不相同的概率。 ( 2)如 果 从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回且 摸 出 的 球 三 种 颜 色 齐 全 则停止摸球,求摸球次数 ? 的分布列和数学期望.

19、 (13 分)设点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任意一点,由点 P 向 x 轴作垂线 PP0 ,垂足为 P0 , ????? ? 3 ???? 且 MPO ? PPO 2 (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m, ? m ? 0 ? 与点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A,B. (1)若直线 OA,AB,OB 的斜率成等比数列,求实数 m 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过轨迹 C 与 x 轴正半轴的交点 Q,求证:直线 l 过定点
·3·

(Q 点除外),并求出该定点的坐标.

20、 (14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中常数 a ? 0 . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 4 时,给出两组直线: 6 x ? y ? m ? 0 与 3 x ? y ? n ? 0 ,其中 m, n 为常数.判 断这两组直线中是否存在 y ? f ( x) 的切线,若存在,求出该切线方程; (3)设定义在 D 上的函数 y ? h(x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,若
h( x ) ? g ( x ) 则称 P 为函数 y ? h(x) 的 “类对称点” 当 a ? 4 时, . ? 0 在 D 内恒成立, x ? x0

试问 y ? f (x) 是否存在“类对称点” ,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横 坐标;若不存在,请说明理由.

21. 本题(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分, 、 、 如果多做, 则按所做的前两题计分. 作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中 (Ⅰ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 1? ?2 ? 3 ?3? 已知矩阵 M ? ? ? , 曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M ?1 的变换作用下所得的 ?1 1 ? ? ? ?3 3 ? 曲线的方程. (Ⅱ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标的极点是直角坐标系原点,极轴为 x 轴的正半轴,直线 l 的参数方程是 1 ? ? x ? x0 ? 2 t ? (t 为参数) 。曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,若直线 l 与曲线 C ? ?y ? 3 t ? ? 2 相切,求实数 x0 的值。 (Ⅲ) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 1 2 3 已知 a, b, c ? R ? , 且 ? ? ? x ? x ? 2 对 ?x ? R 恒成立, a ? 2b ? 3c 的最小值。 求 a b c
·4·

莆田一中 2012-2013 学年度上学期期末考试试卷 高三数学理科参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 C

2 C

3 B

4 C

5 C

6 B

7 C

8 B

9 A

10 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

11.

?

3 三、解答题

12.

112

13. 3

14

75

15. 4n 2 ? 2n

18、解: (1) 设事件 A:摸出的球颜色互不相同
1 1 1 C3C2C1 3 C6

P ? A? ?

(2) ? 的可能取值有:3,4,5,6

P ?? ? 3? ? P ?? ? 5 ? ?

1 1 1 3 C3C2C1 A3 3 ? 3 A6 10 1 1 4 (C2C2 ? C32 ) A4 7 ? 5 A6 30

P ?? ? 4 ? ?

1 1 1 1 3 (C3C2 ? C2C32C2 ) A3 3 ? 4 A6 10 5 1 A5 C1 1 ? , 6 A6 6

P ?? ? 6 ? ?
·5·

E ?? ? ?

64 15

17

19、解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? , P ? x0 , y0 ? ,则由题意知 P0 ( x 0 ,0) .
由 MP0 ? ( x 0 ? x,? y ) , PP0 ? (0,? y 0 ) ,且 MP0 ?

???? ?

3 ???? PP0 , 2

得 ( x 0 ? x, ? y ) ?

3 (0,? y 0 ) . 2

? x0 ? x ? 0, ? x 0 ? x, ? ? 所以 ? 于是 ? 2 3 y0 , ?? y ? ? ? y 0 ? 3 y. 2 ? ?
2 2 又 x 0 ? y 0 ? 4 ,所以 x 2 ?

4 2 y ? 4. 3
·6·

所以,点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………(3 分) 4 3

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4
得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 .
2 2 2

所以, ? ? (8mk ) ? 16(3 ? 4k )(m ? 3) ? 0 ,即 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
2 2 2



8mk ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 且? 2 ? x ? x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
(i)依题意, k 2 ?

………………………………………………(5 分)

y1 y2 kx ? m kx2 ? m ,即 k 2 ? 1 . ? x1 x2 x1 x2

? x1 x2 k 2 ? k 2 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 .
8mk ) ? m2 ? 0 . 2 3 ? 4k 8k 3 ? m ? 0 ,? k (? ) ? 1 ? 0 ,解得 k 2 ? . 2 4 3 ? 4k 3 将 k 2 ? 代入①,得 m 2 ? 6 . 4

? km( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 0 ,即 km(?

所以, m 的取值范围是 (? 6 ,0) ? (0, 6 ) .

…………………………………………(8 分)

(ii)曲线

x2 y2 ? ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 Q(2,0) . 4 3

·7·

解得,

m ? ?2k 或 m ? ?

2k ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0) (舍去);

2k 2 2 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0) . 7 7 7 2 所以,直线过定点 ( ,0) . …………………………………………………(13 分) 7
当m ? ?

20 本题主要函数与导数、函数图象与性质、函数、方程与不等式等基础知识,考查学生抽象概括能
力、推理论证能力、创新意识,考查函数与方程思想、有限与无限思想、分类与整合 等思想.满分 14 分. 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域是{x| x ? 0 }.

? f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,
a 2( x ? )( x ? 1) a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a 2 ? ∴ f '( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ? . -----------------------1 分 x x x a ? a ? 2 ,∴ ? 1 . 2 a 2( x ? )( x ? 1) a 2 ? 0 ,? x ? 0 , ∴ 0 ? x ? 1, 或 x ? 令 f '( x) ? 0 ,即 x 2 a ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) , ( , ??) . ----------------------------------------4 分 2
(Ⅱ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 6 x ? 4 ln x ,则 f '( x) ?
2

2x2 ? 6 x ? 4 , x

·8·

2 ? x ? 0 ,∴ f '( x) ? 2( x ? ? 3) ? 4 2 ? 6 . x

-------------------------------------6 分

所以曲线 f ( x) 在定义域内的任意一点处的切线斜率都大于等于 4 2 ? 6 , 所以曲线 f ( x) 可以与 3 x ? y ? n ? 0 中的一条直线相切, 此时切线的斜率是 3,对应的切线方程是 y ? 3 x ? 20 ? 8ln 2 或 y ? 3 x ?

17 ? 4 ln 2 . 4

-----------------------------------------------------8 分 (Ⅲ)解法一:由(2)得函数 y ? f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为:

2 x0 2 ? 6 x0 ? 4 l : y ? g ( x) ? ( x ? x0 ) ? x0 2 ? 6 x0 ? 4 ln x0 . x0
若函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 4 ln x 存在“类对称点” P ( x0 , f ( x0 )) , 则
2

等价于当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) ,当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.------- 10 分 1 ○当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于 当 0 ? x ? x0 时, x ? 6 x ? 4 ln x ?
2

2 x0 2 ? 6 x0 ? 4 ( x ? x0 ) ? x0 2 ? 6 x0 ? 4 ln x0 恒成立, x0

即当 0 ? x ? x0 时, x0 x 2 ? (2 x0 2 ? 4) x ? 4 x0 ? ln x ? x03 ? 4 x0 ? 4 x0 ? ln x0 ? 0 恒成立. 令 ? ( x) ? x0 x 2 ? (2 x0 2 ? 4) x ? 4 ln x ? x0 ? x03 ? 4 x0 ? 4 ln x0 ? x0 ,则 ? ( x0 ) ? 0 , 要使 ? ( x) ? 0 在 0 ? x ? x0 恒成立,只要 ? ( x) 在 (0, x0 ) 单调递增即可. 又? ? '( x) ? 2 x0 x ? (2 x0 2 ? 4) ? ∴ x0 ?

4 x0 2( x0 x ? 2)( x ? x0 ) , ? x x
----------------------------------------12 分

2 ,即 0 ? x0 ? 2 . x0

2 ○同理当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立时, x0 ? ∴ x0 ?

2 .------------------------------------13 分

2. 2 .---14 分 2.

所以 y ? f (x) 存在“类对称点” ,其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ?

解法二:猜想 y ? f (x) 存在“类对称点” ,其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ?
·9·

--------------------------------------------------9 分 下面加以证明: 当 x0 ?

2 时, g ( x) ? (4 2 ? 6) x ? 6 ? 2 ln 2

1 ○当 0 ? x ? 当0 ? x ?

2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于

2 时, x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? (4 2 ? 6) x ? 6 ? 2 ln 2 恒成立,
4 ?4 2 ?0, x

令 ? ( x) ? x 2 ? 4 2 x ? 4 ln x ? 6 ? 2 ln 2 ,? ? '( x) ? 2 x ?

所 以 , y ? f (x) 存在“类对称点” 其中一个“类对称点”的横坐标是 x0 ? 2 .---14 分

21. (1) M

?1

? 1 1? ?? ? ? ?1 2 ?

设 P/(x/,y/)是曲线 C 上任意一点,其在矩阵 M-1 所对应的变换作用下得到点 P(x,y)

? / 2x ? y ?x ? 3 ? 1 1?? x ? ? x ? ? x ? y ? x ? 则? ?? ?? / ? ? ? ? ? ? / / ? ?1 2 ? ? y ? ? y ? ?? x ? 2 y ? y ? y / ? x ? y ? 3 ?
/ / /

又 P/(x/,y/)在 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 5x 2 ? 2 xy ? 2 y 2 ? 9 即为变换后曲线的方程
(2)直线的普通方程: y ? 3 ? x ? x0 ?

曲线 C 的直角坐标系下方程: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 又直线与曲线相切,所以

3 ?1 ? x0 ? 2

? 1 ? x0 ? 1 ?

2 3 3

·10·

·11·


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