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安徽省示范高中2016届高三第二次联考 数学【理】试题及答案


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安徽省示范高中 2016 届高三第二次联考
数学(理科)
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

? x

2 ? x ? 2 (1)函数 f ( x) ? 的定义域为 x
A-(-1,0) ? (0,2) B. (-1,0) ? (0,+∞) C. (一∞,-1) ? (2,+∞) D. (-1,2) (2)已知集合 M ? x | x ? a ? 2b, a ? N * ,对任意 x, y ? M ,则下列说法错误的是 A. x ? y ? M
2 2

?

?

B. x ? M
2

C. x ? y ? M

D.

x ?M y

(3)已知 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? log 3
5

2 5

3 5

2 , 则a, b, c 的大小关系是 5
D. a<b<c

A. a<c<b B. b<a<e C. c<a<b (4)下列函数中,随 x(x>0)的增大,增长速度最快的是 A. y =1,x∈Z (5) B. y=x C. y= 2
x

D. y= e

x

?

e

1

1 (2 x ? )dx 等于 x

A. e2 -2 B. e 一 1 C. e2 D.e+1 (6)原命题为“三角形 ABC 中,若 cosA <0,则三角形 ABC 为钝角三角形” ,关于其遵命题,否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是 A.真,真,真 B. 假,假,真 C.真,真,假 D.真,假,假 (7)已知函数 f ( x) ? x ? b ln x 在区间(0,2)上不是单调函数,则 b 的取值范围是 A. (一∞,0) B. (一∞,-2) C. (-2,0) D. (-2,+∞)

(8)函数 f ( x) ? sin x ? ln | x | 的图象大致是

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(9)下列函数中,与函数 f ( x) ?

e x ? e? x 的奇偶性、单调性均相同的是 3

A. f ( x) ?

e? x ? e x ???????????????????B. f ( x) ? x 2 ?x x e ?e

C. f ( x) ? tan x????????????????????????D. f ( x) ? ? ln( x 2 ?1 ? x)
(10)已知函数 f ( x) ?| e x ? 1| 满足 f (a) ? f (b)(a ? b) ,在区间[a,2b]上的最大值为 e-1,则 b 为 A. ln3 B.

1 3

C.

1 2

D. l

f ? x ? ? cos (11)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:①f ? x ? 2? =2f(x);②当x ?[-1,1]时,
记函数 g(x)= f(x) -log4(x+l),则函数 g(x)在区间[0,10]内零点个数是 A.12 B.11 C.10 D. 9 (12)函数 f ? x ? 在 R 上可导,下列说法正确的是 A.若 f ' ? x ? ? f (x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,则有 ef (2) ? f (1) B.若 f ' ? x ? ? f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,则有 e f (?1) ? f (1)
3

?
2

x.

C.若 f ' ? x ? ? f ( x) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,则有 f (0) ? e ? ef (1) ? 1 D.若 f ' ? x ? ? f (x) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,则有 ef (?1) ? e ? f (0) ? 1

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)命题“任意 x∈(0,+∞),都有 x2 -2x >0”的否定是____。 (14)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4), (2,0),(6,4),f ’(x)为 f ? x ? 的导函数,则 f(1) +f (4)= 。

(15)已知函数 f ? x ? = (2x -a +l)ln(x +a +1)的定义域为(-a -1,+∞) , 若 f ? x ? ≥0 恒成立,则 a 的值是 .

(16)定义在 R 的函数 y= f ? x ? ,如果函数图象上任意一点都在曲线 y2=|x|上,则下列结论正确的是 __ (填上所有正确结论的序号) ①f(0)=0; ②函数 y= f ? x ? 值域为 R;
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③函数 y= f ? x ? 可能既不是奇函数也不是偶函数; ④函数 y= f ? x ? 可能不是单调函数; ⑤函数 y= f ? x ? 的图象与直线 y=

1 x 有三个交点, 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在 答题卡上的指定区域内. (17)(本小题满分 10 分)

1 ?2 7 1 0 化简(I) (0.027) ? ( ) ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) ; 7 9
?

1 3

(Ⅱ)若正实数 a,b 满是 log8a +log2b =5,log8b +1og2a =7,求 log2 ab.

(18)(本小题满分 12 分) 设命题 p:实数 x 满足 x2 -2x+l -mz≤0,其中 m>0,命题 q: (I)若 m=2 且 p ? q 为真命题,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 q 是 P 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

12 ≥1 x?2

(19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

ax ? b ?1? 2 是定义在(一 1,1)上的奇函数,且 f ? ? ? 2 1? x ?2? 5

(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)证明:函数 f ? x ? 在(-1,1)上是增函数; (Ⅲ)解关于}的不等式, f ? t ?

? ?

1? ?? 2?

? 1? f ?t ? ? ? 0 . ? 2?

(20)(本小题满分 l2 分) 对于定义在区间 D 上的函数 f ? x ? ,若存在闭区间[a,b] ? D 和常数 c,使得对任意 x1 ? [a,b], 都有 f ? x1 ? ? c ,且对任意 x2 ? D,当 x2 ? [a,b]时 f ? x2 ? ? c 恒成立,则称函数 f(x)为区间 D 上的“平底型”函数
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(I)若函数 f ? x ? =|mx-1| +|x -2|是 R 上的“平底型”函数,求 m 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? =x+|x-l|是否为 R 上的“平底型”函数?并说明理由; (Ⅲ)若函数 g(x)=px+ |x –q|是区间[0,+∞)上的“平底型”函数,且函数的最小值为 1,求 p,q 的值. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 (a ? 0) x

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 {x | f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b<c),求 a 的取值范围,并说明[b,c] ? (0,1)。

(22)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = 21nx—x2+ax(a ? R) (I)当 a=2 时,求 f ? x ? 的图象在 x=l 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0) ,B( x2,0)(0< x1< x2) , 求证: f ' ?

? x1 ? x2 ? ? ? 0 (其中 f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数) ? 2 ?

安徽省示范高中 2016 届高三第二次联考 理数参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 【答案】A 【解析】 ?

?? x 2 ? x ? 2 ? 0 ?x ? 0

? x ? ? ?1,0 ? ? ? 0, 2 ? .
x 1 ? ?M . y 2

2. 【答案】D 【解析】当 x ? 1 ? 2, y ? 2 ? 2 2 时,

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2 ? 2 ?5 ? 3 ?5 3. 【答案】D 【解析】 ? ? ? ? ? ? 1, log 3 ? 1 . ? 5? ?5? 5 5
x 4. 【答案】D 【解析】指数函数模型增长速度最快,并且 e>2,因而 y=e 增长速度最快.

2

2

5. 【答案】C 【解析】

?

e

1

1? ? 2 e 2 ? 2 x ? ?dx ? ? x ? ln x ? 1 ? e . x? ?

6.【答案】B 【解析】 cos A ? 0 , A 为钝角,则三角形 ABC 为钝角三角形,逆否命题真 三角形 ABC 为钝角三角形,可能是 B 或者 C 为钝角, A 可能为锐角, cos A ? 0 . 7. 【答案】C 【解析】 f ? ? x ? ? 1 ?

b ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 有解,即 x ? b ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 有解 x

0 ? ?b ? 2? ? 2 ?b? 0 .
8.【答案】A 【解析】函数 f ? x ? ? sin x ? ln x 为奇函数,排除 BC,当 x ? ?? ,2? ? 时, f ? x ? ? 0 排 出 D. 9. 【答案】D 【解析】 f ( x) 为奇函数,单调递增,选项A, f ( x) ?

e? x ? e x 为奇函数,单调递减选项 e? x ? e x

D, f ? x ? ? ? ln

?

? ? 1 x 2 ? 1 ? x ? ? ln ? ? ? ln 2 x ? 1 ? x ? ?

?

?

x 2 ? 1 ? x 为奇函数,单调递增.

?

x 10 . 【答案】 C 【解析】 f (a) ? f ?b ? ? a ? 0 ? b , 函数 f ( x ) ? e ? 1 在 ?0, 2b? 上单调递增,

2b ,所以在区间 ? a, 2b? 上的最大值为 f (2b) ? e ? 1 ? e ? 1 ? b ? f (2b ) ? f (b )? f (a )

1 . 2

? ? 0 ? x ?1 ?cos 2 x ? ? ? ?2 cos x 1 ? x ? 3 11. 2 【答案】C【解析】 f ? x ? ? ? 如图: ??? ? ?32 cos ? x 9 ? x ? 10 ? ? 2
函数 g ? x ? 的零点的个数就是函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? log4 ? x ?1? 交点的个数.

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12. 【答案】D 【解析】构造函数 G ? x ? ? e f ? x ? , G? ? x ? ? e
x

x

? f ? ? x? ? f ? x?? ? 0 则函数 G ? x ? 为单

调递增, G ? 2? ? G ?1? ? ef ? 2? ? f ?1? ,A 错误,构造函数

G ? x? ?

f ? x? f ?? x? ? f ? x? , G? ? x ? ? ? 0 ,则函数 G ? x ? 单调递减 x e ex

G ?1? ? G ? ?1? ? e2 f ? ?1? ? f ?1? B 错误
构造函数 G ? x ? ? e f ? x ? ? e , G? ? x ? ? e
x x x

? f ? x? ? f ? ? x ? ?1? ? 0

则函数 G ? x ? 为单调递增, G ?1? ? G ? 0? ? f ? 0? ? e ? ef ?1? ?1,C 错误

G ? x? ?

f ? x? ?1 f ? ? x ? ? f ? x ? ?1 ? G? ? x ? ? ?0 x e ex

则函数 G ? x ? 为单调递减 G ? ?1? ? G ? 0? ? ef ? ?1? ? e ? f ? 0? ? 1,D 正确. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
2 13. 【答案】存在 x0 ? ? 0, ?? ? ,使 x0 ? 2 x0 ? 0

.

14. 【答案】 ?1 【解析】 15. 【答案】 a ?

kAB ? ?2, kBC ? 1 , f ? ?1? ? f ? ? 4? ? ?2 ? 1 ? ?1.

1 【解析】 y ? ? 2x ? a ?1? , y ? ln ? x ? a ?1? 在 ? ?a ?1, ??? 都是增函数,有且只有 3

一个零点,若 f ? x ? ? 0 恒成立,则函数 y ? ? 2x ? a ?1? , y ? ln ? x ? a ?1? 有相同的零点,即

a ?1 1 ? ?a ? a ? . 2 3
16. 【答案】①③④【解析】①当 x ? 0 时 y ? 0 所以 f ? 0 ? ? 0 成立 ②函数 y ? f ? x ? 的图像可能都在 x 轴上方,错误 ③函数 y ? f ? x ? 可能是奇函数,也可能是偶函数,也可能非奇非偶 ④函数 y ? f ? x ? 可能是增函数,也可能是减函数,也可能不是单调函数 ⑤函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ?

1 x 有可能只有一个交点(原点) ,也可能有两个,也可能有 2

三个交点. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答
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题卡的制定区域内. 17. 【解】 (1) ? 0.027 ?
? 1 3

?1? ? 7 ?2 ?? ? ??2 ? ? ?7? ? 9?
1 3

?2

1

?

2 ?1 ?

?

0

10 5 ? 49 ? ? 1 ? ?45 ; 3 3

???5 分

(2) log8 a ? log2 b ? 5 ? log2 a ? log2 b ? 5
1 log8 b ? log2 a ? 7 ? log2 b ? log2 a ? 7 3 log 2 ab ? log 2 a ? log 2 b ? 9 .
log 2 a ? 6.log 2 b ? 3
???10 分

18. 【解】 (1)当 m ? 2 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?1 ? x ? 3 则 p : ?1 ? x ? 3
?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 12 ?1? ? ?? 则 q : ?2 ? x ? 10 x?2 ?12 ? x ? 2 ? x ? 10

p ? q 为真命题,则 p 为真命题或 q 为真命题 得 ?2 ? x ? 10 ;???6 分
(2) ?q : x ? 10或x ? ?2

?p:x ? 1 ? m或x ? 1 ? m
?q是?p 的充分不必要条件: 0 ? m ? 3 .
19. 【解】 (1) f (0) ? 0 ? b ? 0 , f ( ) ? (2)任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1
???12 分 ???4 分

1 2

2 x ? a ? 1 ? f ? x? ? ; 5 1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

? x ? x ??1 ? x1 x2 ? ? 0 ? f ( x ) ? f ( x ) x1 x2 ? ? 1 2 1 2 2 2 1 ? x1 1 ? x2 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?
???8 分

所以函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数 (3) f (t ? ) ? ? f (t ? ) ? f (t ? ) ? f ( ? t )

1 2

1 2

1 2

1 2

? 1 1 ? ?t ? 2 ? 2 ? t ?t ? 0 ? ? 1 ? ? 3 ? 1 ? t ? ? 1 ? ? ?? ? t ? 2 ? ? 2 1 ? ? 1 ? ?t? ? ?1 ? t ? 2 ? 1 ? ? 2 ?

1 1 ?? ?t?0 . 2 2 3 2

???12 分

20. (1)若函数 f ? x ? ? mx ?1 ? x ? 2 是 R 上的“平底型”函数, 【解】 则 f ? 2? ? f ?

1 1 ?1? ? ? 2m ? 1 ? ? 2 ? m ? ?1 或 2 m ?m?
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当m ?

1 时,不符合题意,所以 m ? ?1 2

;

???3 分

(2) x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 1 ,对任意 x1 ? ? ??,1? ,总存在 x2 ? x1 ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以不 是“平底型”函数;
???6 分

(3) g ? x ? ? px ? x ? q 是区间 ? 0, ?? ? 上的“平底型”函数, 所以 px ? x ? q ? 1 ? x ? q ? 1 ? px ? ? x ? q ? ? ?1 ? px ?
2 2

x2 ? 2qx ? q2 ? p2 x2 ? 2 px ? 1
得 p ? 1, q ? 1, q ? p , q ? p ? 1, q ? p ? ?1
2 2

当 q ? p ? 1 时, f ? x ? ? x ? x ? 1 ? ?

0 ? x ?1 ?1 是“平底型”函数 ?2 x ? 1 x ? 1
???12 分

q ? p ? ?1 时, f ? x ? ? ? x ? x ? 1 ? 1不是“平底型”函数 .
21. (1) f ?( x ) ? 【解】

a 1 ax ? 1 ? ? x x2 x2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?? ? 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0, x ?

1 a

函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? , 单调递增区间为 ? , ?? ? a? ?a ?

; ???4 分

(2)当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?? ? ,所以函数 f ( x) 至多存在一个零点, 不符合题意.

1 f ( x) ? 0? ? ?b, c ? , f ( ) ? 0 ? a ? e a 1 1 2 当 a ? e 时, f ( 2 ) ? a ln( 2 ) ? a ? a ? a ? 2 ln a ? a a x?2 令 g ? x ? ? x ? 2 ln x ? x ? e ? ? g ? ? x ? ? x
当 a ? 0 时,若

?x

当 x ? e 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? e, ?? ? 上是增函数 所以 a ? e 时, g ? a ? ? a ? 2 ln a ? g ? e ? ? e ? 2 ? 0 ? f (

1 )?0 a2

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又因为

1 1 ? ? 1, a2 a

?1? f ? ? ? 0, f ?1? ? 1 ? 0 ?a?

所以 f ? x ? 在 ?

?1 ? ? 1 1? , ? 内存在一个零点,记为 b ,在 ? ,1? 内存在一个零点,记为 c 2 ?a ? ?a a?

?x

f ( x) ? 0? ? ?b, c ? ,即 a ? e
???12 分

? 1 1? ?1 ? b ? ? 2 , ? , c ? ? ,1? ? ?b, c ? ? ? 0,1? . ?a a? ?a ?
22. 【解】(1) f ?( x) ?

2 ? 2 x ? 2 ? f ?(1) ? 2 , f (1) ? 1 , x
???3 分

切线方程为 y ? 2 x ? 1 , (2) 2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 , 2ln x2 ? x22 ? ax2 ? 0 两式相减得

a ? ? x1 ? x2 ? ? f ?( x) ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2

???5 分

2 ? ln x1 ? ln x2 ? x ?x 2 4 ? 2 x ? a ? f ?( 1 2 ) ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ???7 分 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 只需要证 ? ?0? ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? 0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
?x ? 2 ? 1 ? 1? x x ? ? 2 ? ? ln 1 ? 0 x1 x2 ?1 x2
x1 ? t ? 0 ? t ? 1? x2
2



2 ? t ? 1? ? ? t ? 1? ? ln t , u? ? t ? ? ?0, 设 u ?t ? ? 2 t ?1 t ? t ? 1?
所以函数 u ? t ? 在 ? 0,1? 上为减函数, u ?t ? ? u ?1? ? 0 .
???12 分

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