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2017年春季学期苏教版高中数学必修5学案:第7课时等差数列的前n项和(2)


第 5 课时 【学习导航】 【例 2】已知两个等差数列{an} 、 {bn} ,它 们 的 前 n 项 和 分 别 是 Sn 、 Sn ′ , 若 听课随笔 知识网络 Sn Sn ' ? a 2n ? 3 ,求 9 . b9 3n ? 1 【解法一】 【解法二】 学习要求 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公 式和前 n 项和公式. 2.了解等差数列的一些性质, 并会用它 们解决一些相关问题 【自学评价】 1. 等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 那么数列 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k ,(k∈N*)成 _____________,公差为________. 2.在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在______.若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小值. 3. 对等差数列前项和的最值问题有两种方 法: (1)利用 an :当 an >0, d<0, 前n项和有最大值 王新敞 奎屯 新疆 【例 3】数列{an}是首项为 23,公差为整 数的等差数列, 且第六项为正, 第七项为负. (1)求数列的公差. (2)求前 n 项和 Sn 的最大值. (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 【解】 可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得n的值 当 an <0,d>0,前 n 项和有最小值 可由 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得 n 的值 (2)利用 S n :由 S n ? 王新敞 奎屯 新疆 d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次 2 2 王新敞 奎屯 新疆 函数配方法求得最值时n的值 点评: 可将本题中的公差为整数的条件去 掉,再考虑当 n 为何值时,数列{an}的前 n 项和取到最大值. 【例 4】等差数列 {a n } 中, a1 ? 0,s9 ? s12 , 该数列的前多少项和最小? 【精典范例】 【例 1】 已知一个等差数列的前四项和为 21, 末四项和为 67,前 n 项和为 286,求数列的 项数 n 。 分析 条件中的 8 项可分为 4 组,每组中的 两项与数列的首、尾两项等距。 【解】 思路 1: 求 出 Sn 的 函 数 解 析 式 ( n 的 二 次 函 数 , ,再求函数取得最小值时的 n 值. n ? N? ) 思路 2: 公差不为 0 的等差数前 n 项和最小的条件 为: a n ? 0,a n ?1 ? 0, 听课随笔 思路 3: 由 s9=s12 得 s12-s9=a10+a11+a12=0 得 a11=0. 思维点拔: 说明: 根据项的值判断前 下结论: ①当 a1 ? 0, d ? 0 时, 项和的最值有以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? ?, 则 S1 最小; ②当 a1 ? 0, d ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ? an?1 ? ?, 则 Sn 最大; ③当 a1 ? 0, d ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ? an?1 ? ? , 则 Sn 最小; ④当 a1 ? 0, d ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? ?, 则 Sn 最大 【追踪训练一】 1. 已知在等差数列{an}中,a1<0,S25= S45,若 Sn 最小,则 n 为( ) A.25 B.35 C.36 D.45 ? 2. 两等差数列 {an}、

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