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1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案


正弦函数, §1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
【教学目标】 1、知识与技能: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y = sin x, x ∈ R 的图象,明确图象的形状; (2)根据关系 cos x = sin( x +

π
2

) ,作出 y = cos x, x ∈ R 的图象;

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。 2、过程与方法 进一步培养合作探究、分析概括,以及抽象思维能力。 3、情感态度价值观 通过作正弦函数和余弦函数图象,培养认真负责,一丝不苟的学习精神。 【教学重点难点】 教学重点:“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象 教学难点:运用几何法画正弦函数图象。 【教学过程】 1. 问题引入,创设情境: 问题 1: :任意给定一个实数 x, 对应的正弦值 sinx、 余弦值 cosx 是否存在?是否唯一? 问题 2:一个函数总具有许多基本性质,要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性, 我们应从哪个方面入手?图象 视频演示: “装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹” 思考: 有什么办法画出该曲线的图象? 2、新课讲解 (1)提出问题: 根据以往学习函数的经验, 你准备采取什么方法作出正弦函数的图象?作图过程中有 什么困难? 答:列表、描点、连线。由于表中部分值只能取近似值,再加上描点时的误差,部分同学 取的点较少,所以画出的图象难免误差大。如何画出更精确的图象呢? (2)探究新知:根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次: 引导学生画出点 (

π

, sin ) 3 3

π

问题一:你是如何得到

3 的呢?如何精确描出这个点呢? 2

问题二:请大家回忆一下三角函数线,看看你是否能有所启发? 电脑演示正弦线、余弦线的定义,同时说明:当角度变化时,对应的线段 MP 的长度就 是这个角度的正弦值。演示点 ( 问题三:能否借用画点 (

π

π

, sin ) 的画法。 3 3

π

, sin ) 的方法,作出 y=sinx,x∈[0,2π]的图象呢? 3 3

π

课件演示:正弦函数图象的几何作图法

教师引导:在直角坐标系的 x 轴上任意取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆,从圆 O1 与 x 轴的交点 A 起把圆 O1 分成 12 等份(份数宜取 6 的倍数,份数越多,画出的 图象越精确) ,过圆 O1 上的各分点作 x 轴的垂线,可 以得到对应于 0、

π
6



π
3



π
2

、……、 2π 等角的正

弦线,相应地,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份,把角 x 的正弦线向右平移,使 它的起点与 x 轴上的点 x 重合, 再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来, 就得到了函 数 y = sin x , x ∈ [0,2π ] 的图象 问题四:如何得到 y = sin x , x ∈ R 的图象 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y = sin x 在

x ∈ [2kπ ,2(k + 1)π ] , k ∈ Z , k ≠ 0 的图象与函数 y = sin x , x ∈ [0,2π ] 的图象的形状完全
一样,只是位置不同,于是只要将它向左、右平行移动(每次 2π 个单位长度) ,就可以得 到正弦函数 y = sin x , x ∈ R 的图象,即正弦曲线。 问题五:如何作余弦函数 y = cosx , x ∈ [0,2π ] 的图象? 放手让学生独立思考,自主活动,通过自己的探究得出余弦曲线。实际上,只要学生能 够想到正弦函数和余弦函数的内在联系 即

cos x = sin(

π
2

+ x)

通过图象变换,由正弦曲线得出余弦曲线的方法是比较容易想到的。
y 1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 π 2π 3π 4π 5π 6π x o π 2π 3π 4π 5π 6π x

y=sinx

y=cosx

问题六:这个方法作图象,虽然比较精确,但不太实用,如何快捷地画出正弦函数的 图象呢?

学生活动:请同学们观察,边口答在 y = sin x , x ∈ [0,2π ] 的图象上,起关键作用的点有 几个?引导学生自然得到下面五个:

π 3π (0,0), ( ,1), (π ,0), ( ,?1), ( 2π ,0) 2 2
组织学生描出这五个点, 并用光滑的曲线连接起来, 很自然得到函数的简图, 称为 “五点法” 作图。 小结作图步骤:1、列表 2、描点 3、连线 学生活动:试试用五点法画出函数 y = cos x , x ∈ [0,2π ] 的图象 3、例题分析 例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx , x ∈ [0,2π ] y=-cosx , x ∈ [0,2π ] 4、练习巩固 在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x∈[0, 2π] 和 y= cosx,x∈ [ ?

π 3π
2 , 2

] 的简图

5、课堂小结 通过这节课的学习,同学们,你们有什么收获吗? ① 正弦函数图象的几何作图法 ② 正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取) ③ 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象 6、布置作业: 画出下列函数的图象简单,并说说他们分别与函数 y=sinx, π]有什么关系? (1) y=1-sinx x∈[0,2π] (2)y=3cosx x∈[0,2π] (3)y=cos2x x∈[0,2π] x∈[0,2π] y=cosx,x∈[0,2


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